1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (Люлько, Максимова - Функциональный анализ. Теоремы и задачи), страница 3

В пространствах  2 , 12 ,  2 метрики определяются, соответственно, следующим образом:  ( x, y ) 222x1  y1  x2  y2 ,  ( x, y )  x1  y1  x2  y2 ,21  ( x, y )  max  x1  y1 , x2  y2  ,2где x  ( x1 , x2 ), y  ( y1 , y2 ) . Поэтому в пространстве  2 расстояние между точками равно длине отрезка, соединяющего эти точки,в пространстве 12  сумме длин проекций этого отрезка на координатные оси, в пространстве  2  наибольшей из длин этих проекций. ■Пример 1.1.2.

В пространствах2y  (1, 3) ,  12 ,  2 расстояние от точкиx  (2, 1) до точкиравноследующим(рис. 1):  ( x, y ) 22y  (1,3)значениям22  1  1  3  9  16  5 , 2 ( x, y )  2  1  1  3  7 ,1  ( x, y )  max  2  1 , 1  3  x  (2, 1)2 4. ■Рис. 117В пространствах  np , l p (1  p  ) точку x  (0, 0,..., 0,...) будем обозначать x  0 и называть нулем.Пример1.1.3.РассмотримоткрытыешарыB(0,1)   x  X :  ( x, 0)  1 в пространствах  2 ,  12 ,  2 :B  B (0,1)  x  X :  ( x, 0)  x12  x22  1 в  2 ,B1  B (0,1)   x  X :  ( x, 0)  x1  x2  1 в  12 ,B  B(0,1)  x  X :  ( x, 0)  max  x1 , x2   1 в  2 .Геометрически эти множества изображены на рис.

2. ■ВBВ11-11-11Рис. 2Пример 1.1.4. В дискретном пространстве (Х, ) шары с центрами в точке a  X имеют вид:{a}, r  1,B ( a , r )   x  X :  ( x , a )  r   X , r  1,{a}, r  1,■B[a, r ]   x  X :  ( x, a )  r   X , r  1.Пример 1.1.5. В пространстве l рассмотрим множествоM  {x : x  ( x1 , x2 ,..., xn ,...), | xn |  1, n  } .Покажем, что B (0, 1)  M  B[0, 1] .18Действительно,B (0, 1)  {x : x  ( x1 , x2 ,..., xn ,...), sup | xn |  1} ,nB[0, 1]  {x : x  ( x1 , x2 ,..., xn ,...), sup | xn |  1} .Если x  B(0, 1) , то x  M .

При этомn1 21x  (0, , ,...,1  ,...)  M и x  B(0, 1) .n2 3Если x  M , то x  B[0, 1] . При этомx  (1, 0, 0,...)  B[0, 1] и x  M . ■Функция, определенная на всем множестве натуральных чисел  со значениями в пространстве X , называется последовательностью точек метрического пространства X и обозначается{xn } , {xn }n 1 или xn (n  ) , xn , n  1, 2,... .Значение x(n)  X этой функции на элементе n  это n -й член xnпоследовательности.Пусть M  X  произвольное множество метрического пространства X . Запись {xn }  M означает, что элементы последовательности есть точки множества M .

Числовая последовательностьобозначается ( x1 , x2 ,..., xn ,...) .Определение 1.1.7. Последовательность {xn }  X сходится кточке x  X ( x n  x ), если ( xn , x)  0 при n   .Точка x называется пределом последовательности {xn } , а самапоследовательность называется сходящейся.Пример 1.1.6. Последовательностьxn  (1 1 11, 2 , 2 ,..., 2 , 0, 0, 0,...), n   ,2nn n nnсходится к точке x  0 в метрических пространствах l1 и l2 .19Имеем при n  1n21l2 ( xn , 0)  n  4 nl ( xn , 0)  n 110,n1 0.

■n3Пример 1.1.7. Последовательность11 1 1xn  ( , , ,..., , 0, 0, 0,...), n   ,nn nnnсходится к точке x  0 в метрическом пространстве l2 , но не сходится к нулю в пространстве l1 .Действительно,11 0 при n   .2nn1l1 ( xn , 0)  n   1  0 при n   . ■nПример 1.1.8. Пусть X  дискретное пространство. Последовательность {xn }  X сходится к точке x  X тогда и только тогда,когда найдется N   такое, что xn  x для всех n  N (т. е.

когдапоследовательность {xn } становится стационарной, начиная с некоторого номера N ). ■Утверждение 1.1.1. Метрика  есть непрерывная функция сво-l ( xn , 0)  n 2их аргументов, т. е.xn  x, yn  y   ( xn , yn )   ( x, y ) .n► Из аксиомы треугольника имеем ( xn , yn )   ( xn , x)   ( x, y )   ( yn , y ) ,т. е. ( xn , yn )   ( x, y )   ( xn , x)   ( yn , y ) .Аналогично получаем ( x, y )   ( xn , x)   ( xn , yn )   ( yn , y ) ,20т. е. ( x, y )   ( xn , yn )   ( xn , x)   ( yn , y ) .Поэтому справедливо неравенство|  ( x, y )   ( xn , yn ) |   ( xn , x)   ( yn , y ) ,из которого следует доказываемое утверждение.

◄Определение 1.1.8. Точка x  X называется точкой прикосновения множества M  X , если в любом шаре B ( x,  ) ,   0 , найдется точка a  M .Это определение эквивалентно следующему определению.Определение 1.1.8*. Точка x  X называется точкой прикосновения множества M  X , если найдется последовательность xn   M , сходящаяся кx.Определение 1.1.9. Точка x  X называется предельной точкоймножества M  X , если в любом шаре B( x,  ) ,   0 , найдетсяточка a  M , a  x .Это определение эквивалентно следующим определениям.Определение 1.1.9*.

Точка x  X называется предельной точкой множества M  X , если в любом шаре B ( x,  ) ,   0 , найдется бесконечно много точек из множества M.Определение 1.1.9**. Точка x  X называется предельной точкой множества M  X , если найдется последовательность xn   M , сходящаяся кx и такая, что x n  x , n   .Множество всех предельных точек множества M обозначается M  .Определение 1.1.10. Точка x  M называется изолированнойточкой множества M  X , если существует   0 такое,что B( x,  )  M  x .Определение 1.1.11. Точка x  M называется внутренней точкой множества M  X , если существует   0 такое,что B ( x,  )  M .21Определение 1.1.12. Точка x  X называется граничной точкоймножества M  X , если в любом шаре B ( x,  ) ,   0 , найдутсяточки a  M и b  X \ M .Определение 1.1.13.

Множество всех внутренних точек множества M называется внутренностью множества M и обозначается M 0 .Определение 1.1.14. Множество всех граничных точек множества M называется границей множества M и обозначается M .Определение 1.1.15. Множество всех точек прикосновениямножества M называется замыканием множества M и обозначается M .Утверждение 1.1.2. Для любого множества M  X в метрическом пространстве X справедливы соотношения:1) M  M  M  ;2) M  M   {множество всех изолированных точек множества M };3) M  M 0  M ;4) M  M  M .Утверждение 1.1.3.

Для любых множеств A, B  X в метрическом пространстве X справедливы соотношения:1) A  A ;2) A  A ;3) A  B  A  B .►1) Очевидно. Пусть x  A . Так как x  B ( x,  ) для любого  0 , то x  A .2) Из предыдущего соотношения следует, что A  A . Докажем,что A  A .Пусть x  A , т. е. x – точка прикосновения множества A .

Тогдадля любого   0 существует точка x  A такая, что x  B ( x,  ) .Так как x – точка прикосновения множества A , то для любого22  0 существует точка x  A такая, что x  B ( x ,  ) . Возьмемв качестве   0 число     ( x, x ),тогда x  B ( x,  ) . Действительно, ( x , x)   ( x , x )   ( x , x)     ( x, x )   ( x, x )   .Окончательно получаем  0  x  A : x  B( x,  ) ,т.

е. x  A .3) Пусть x  A , тогда для любого   0 существует точкаy  B( x,  ) такая, что y  A . Так как A  B , то y  B и, следовательно, x  B . Итак, A  B . ◄Пример 1.1.9. Рассмотрим множествоM  (0,1]  {2}в пространстве 1 . ТогдаM  [0,1]  {2} , M   [0,1], M 0  (0,1), M  {0, 1, 2}.Множество M имеет единственную изолированную точку x  2. ■Пример 1.1.10. Рассмотрим множествоM  {x   : 0  x <2}в пространстве 1 .

ТогдаM  [0,2 ], M   [0,2 ], M 0  , M  [0,Изолированных точек множество M не имеет.2 ].Если рассмотреть это же множество в метрическом пространстве(  ,  ( x, y )  х  у ),тоM  {x   : 0  x <2 },M 0 {x   : 0 < x <2 },M   {x   : 0  x <2 },M  {0}.Изолированных точек множество M не имеет и в этом пространстве. ■23Пример 1.1.11.

Пусть X  непустое множество и x  X . В дискретном пространстве ( X ,  ) рассмотрим одноточечное множество M  {x} . Так как B( x,1)  {x}  M (пример 1.1.4), то x  внутренняя точка множества M . С другой стороны,B( x,1)  M  {x} ,поэтому точка x  изолированная точка множества M . ■Пример 1.1.12. Пусть M  множество всех финитных последовательностей, т. е.M  {x : x  ( x1 , x2 ,..., xn , 0, 0, ...), xn  , n  } .Очевидно, что M  l1 . Покажем, что M  l1 .Рассмотрим произвольную точкуx  ( x1 , x2 ,..., xn ,...)  l1 .Тогда последовательностьx ( n )  ( x1 , x2 , ..., xn , 0, 0,...)  M , n   ,сходится в пространстве l1 к x , так как при n   ( x ( n ) , x)  |xk  n 1k|  0.Следовательно, любая точка x  l1 является точкой прикосновения множества M , и поэтому M  l1 . ■Определение 1.1.16.

Множество M  X называется замкнутым, если оно совпадает со своим замыканием, т. е. M  M .Из свойств замыкания (утверждение 1.1.2) получаем эквивалентное определение.Определение 1.1.16*. Множество M  X называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки, т. е. M   M .Определение 1.1.17. Множество M  X называется открытым, если любая точка множества M является его внутреннейточкой, т.

е. M  M 0 .Теорема 1.1.1. Множество M  X открыто в метрическомпространстве X тогда и только тогда, когда его дополнениеX \ M замкнуто.24Пример 1.1.13. В любом метрическом пространстве ( X ,  ) само множество X и пустое множество  одновременно замкнуты иоткрыты. ■Пример 1.1.14. МножествоM  {x   : 0  x <2}из примера 1.1.10 не замкнуто и не открыто в пространстве 1 , нозамкнуто в пространстве(  ,  ( x , y )  х  у ). ■Пример 1.1.15.