1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (Люлько, Максимова - Функциональный анализ. Теоремы и задачи), страница 7

в. на [0,1] .1) Поточечным пределом последовательности {xn } являетсяфункция t 2 ,x(t )   0,0  t  1,t  1,которая не принадлежит пространству C[0,1] . Поэтому рассматриваемая последовательность не сходится в пространстве C[0,1] .Функция x принадлежит пространству L1[0,1] и равна п. в. на[0,1] функции y (t )  t 2 . В пространстве L1[0,1] эти функцииотождествляются. Так как1 ( xn , y )   t n dt 01 0, n   ,n 1то в пространстве L1[0,1] последовательность {xn } сходится к непрерывной функции y .2) Поточечным пределом последовательности {xn } являетсяфункция x(t )  3t , которая принадлежит обоим рассматриваемымпространствам. В пространстве C[0,1] справедливо xn  x , таккак3n 2t 3t | 0 t 1 1  n 2  t 23t (1  t 2 ) 3(1  1)6 max 0, n   .20 t 1 1  n 2  t 21 n1  n2С другой стороны, если y, z  C [a, b] , то y, z  L p [a, b]( 1  p   ) и имеет место неравенство ( xn , x)  max | L [ a ,b ] ( y , z ) pbp | y(t )  z (t ) |a52pdt  p (b  a ) C [ a ,b ] ( y, z ) .Отсюда получаем, что xn  x и в пространстве L1[0,1] .

■Определение 1.2.3. Метрические пространства ( X ,  ) и (Y , 1 )называются изометричными, если между множествами X и Y существует взаимно однозначное отображение  : X  Y , сохраняющее расстояние, т. е. ( x, y )  1 ( ( x),  ( y )), x, y  X .Отображение  называется изометрией между пространствами ( X ,  ) и (Y , 1 ) .Аналогично можно ввести понятие изометричности множеств Aи B , где A  ( X ,  ) , B  (Y , 1 ) .Определение 1.2.4. Пополнением метрического пространства( X ,  ) называется такое метрическое пространство (Y , 1 ) , длякоторого выполняются следующие условия:1) (Y , 1 )  полное метрическое пространство;2) X изометрично Y1 , где Y1  Y и Y 1  Y .Теорема 1.2.1.

(о пополнении метрического пространства)Любое метрическое пространство ( X ,  ) имеет единственное, сточностью до изометрии, пополнение (Y , 1 ) .Пример 1.2.10. Пополнением метрического пространства(,  ( x, y )  | x  y |)является пространство 1 . ■Пример 1.2.11. Построим пополнение метрического пространства X из примера 1.2.4. Заметим, что пространствоX  ((, ),  ( x, y )  | arctg x  arctg y |)изометрично метрическому пространствуY1  (( , ), 1 ( x, y )  | x  y |) .2 253Действительно, функция  (t )  arctg t , t  , взаимно однозначноотображает всю числовую прямую (, ) на интервал ( , )2 2и ( x, y )  | arctg x  arctg y |  1 ( ( x),  ( y ))для всех x, y  (, ) .

Таким образом, пополнением метриче-ского пространства X является пространствоY  ([ , ], 1 ( x, y )  | x  y |) . ■2 2Теорема 1.2.1 утверждает, что пополнение метрического пространства единственно с точностью до изометрии. Построим дляпространства X из примера 1.2.4 еще одно пополнение Y2 , изометричное пополнению Y из примера 1.2.11.Пример 1.2.12. Пополнением метрического пространстваX  ((, ),  ( x, y )  | arctg x  arctg y |)является также метрическое пространствоY2  ([, ],  2 ) ,где метрика  2 определяется следующим образом:| arctg x  arctg y |, | arctg x   |,2 2 ( x, y )   | arctg x   |,2,x  , y  ,х  , y  ,х  , y  ,x  , y  .Добавление точек  к множеству X привело к необходимостиопределить расстояние до этих точек и между этими точками. Расx  , y   .Положимсмотрим,например,точки 2 ( x, )  lim  ( x, yn ) , где { yn }  произвольная фундаментальn ная последовательность из пространства X , сходящаяся к + впространстве Y2 [8, с.70].

Тогда arctg yn 542и 2 ( x, )  lim  ( x, yn )  lim | arctg x  arctg yn |  | arctg x n Примерn 1.2.13.Пополнениемметрического2|. ■пространстваX  ( M ,  ) из примера 1.2.5 является пространство l1 . Действи-тельно, l1  полное метрическое пространство, M  l1 и M  l1(пример 1.1.12). ■Пример 1.2.14. Пополнением метрического пространстваL p [a, b]  является пространство L p [ a, b] ( 1  p   ).Функцииx, y  Lp [a, b] называются эквивалентными, еслиx(t )  y (t ) п.

в. на отрезке [a, b] . Пространство L p [ a, b] состоит изклассов эквивалентных функций, при этом каждый класс отождествляется с одной из функций этого класса. Каждая функцияx  L p [a, b] является пределом по метрике этого пространства последовательности непрерывных функций. ■Критерий полноты метрического пространства сформулирован втеореме о вложенных шарах, обобщающей лемму о вложенных отрезках 1.2.3, известную из курса математического анализа.Теорема 1.2.2 (критерий полноты метрического пространства). Для того чтобы метрическое пространство ( X ,  ) было полным, необходимо и достаточно, чтобы в нем любая последовательность замкнутых вложенных друг в друга шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имела непустое пересечение.Пример 1.2.15. В полном пространстве 1 рассмотрим последовательность открытых шаров1 12Bn  B ( , )  (0, ) , n   ,n nnчьи радиусы стремятся к нулю. Очевидно, что шары вложены друг вдруга, т.

е.B1  B2  ...  Bn  Bn 1  ...,но пересечениеBnn 1всех шаров Bn пусто. ■55Пример 1.2.16. В неполном метрическом пространствеX  ( \{0},  ( x, y )  | x  y |)рассмотрим последовательность замкнутых вложенных друг в другашаров1 12Bn  B[ , ]  (0, ] , n   ,n nnчьи радиусы стремятся к нулю. Очевидно, что пересечениеBnn 1всех шаров Bn пусто. ■Пример 1.2.17. РассмотримX  (,  ) , гдеметрическоепространство0,n  m, (n, m)  11  n  m , n  m,n, m  произвольные натуральные числа.Пространство X является полным, так как в нем любая фундаментальная последовательность {nl }l1 , начиная с некоторого номера l 0 , становится стационарной, т.

е. nl  nl0 , l  l 0 . Поэтому последовательность {nl } сходится к точке nl0 . Замкнутые шарыBn  B[n, 1 1]  {k   : k  n} , n   ,2nвложены друг в друга, но их пересечениеBnпусто. Это не про-n 1тиворечит утверждению теоремы 1.2.2, так как в рассматриваемомпримере радиусы rn шаров Bn не стремятся к нулю при n   .Действительно,rn  1 11.

■2n56Задачи1.2.1. Доказать ограниченность фундаментальной последовательности в метрическом пространстве.1.2.2. Пусть {xn } , { yn }  фундаментальные последовательностив метрическом пространстве X . Доказать сходимость числовойпоследовательности n   ( xn , yn ) , n   .X  полное метрическое пространство иBn  B[an , rn ], n   ,  последовательность вложенных друг в дру1.2.3. Пустьга замкнутых шаров, радиусы rn которых стремятся к нулю.

Доказать, что существует единственная точка, принадлежащая всем шарам.Доказать,чтопоследовательностьфункций1.2.4.xn (t )  t n , n   , является фундаментальной в пространствеC[0,1   ] для любого числа   (0,1) , но не является таковой впространстве C[0,1] .1.2.5. Доказать, что если для последовательности {xn } сходитсячисловой ряд (x , xn 1nn 1) , то последовательность является фун-даментальной.

Верно ли обратное утверждение?1.2.6. Доказать, что в полном метрическом пространстве ( X ,  )множество Y  X образует полное пространство (Y ,  ) тогда итолько тогда, когда Y замкнуто в X .1.2.7. Пусть {xn }  фундаментальная последовательность вметрическом пространстве X , имеющая сходящуюся подпоследовательность. Доказать, что { x n } сходится в X .1.2.8.

Доказать, что сходимость в пространствах  np (1  p  )эквивалентна покоординатной сходимости. Верно ли это утверждение для пространств l p (1  p  ) , c0 , c ?571.2.9. Привести примеры последовательностей, которые1) сходятся в l , но не сходятся в l1 ;2) сходятся в l2 , но не сходятся в l1 ;3) сходятся в l , но не сходятся в l2 .1.2.10. Доказать, что если последовательность сходится в пространстве l1 , то она сходится в пространствах l p , 1  p   . Привести примеры, когда обратное утверждение неверно.1.2.11. Доказать, что если последовательность сходится в пространстве l p ( 1  p   ), то она сходится в пространстве l .

Привести примеры, когда обратное утверждение неверно.1.2.12. Пусть последовательность {xn }n 1 сходится в пространстве L p [ a, b] ( 1  p   ) к функции x и сходится п. в. на отрезке[a, b] к функции y . Доказать, что x  y п. в. на [a, b] .1.2.13. Сходятся ли в пространстве l2 последовательности{xn }n 1 , если:11,...,, 0, 0,...) ;2n11,...,1,,,...) ;3) x n  (1n 1 n  2n1) xn  (1,121n114) x n  ( 0,...,0, n  1 , n  2 ,...) ?n2) xn  (1, ,..., , 0, 0,...) ;1.2.14. Сходятся ли в пространствах l1 , l2 , l последовательности {xn }n 1 , если:1 11,...,, 0, 0,...) ; n n  12nn 11) xn  (0,..., 0, ,111,,...,, 0, 0,...) ; n n  13nn 12) xn  (0,..., 0,3) xn  (0, ..., 0, (1) n , 0, 0,...) ;n 1584) xn  (11,..., 2 ,1, 0, 0,...) ;2nnn1 115) xn  (1, , 2 ,..., n 1 , 0, 0,...) ;2 22116) xn  (  ,...,  , 0, 0,...),    ?n nn1.2.15.

Исследовать сходимость последовательностей {xn }n 1 вметрическом пространстве X , если:121n12) xn  (0,..., 0, , 0, 0,...) , X  l1 ; nn 11) xn  (1, , ..., , 0, 0, ...) , X  l3 ; X  l1 ;1n 3) xn  ( , 0,..., 0,1, 0, 0,...) , X  l2 ;n 11n4) xn  (1, 0,..., 0, , 0, 0,...) , X  l2 ;n111  nt , t  [0, n ],5) xn (t )  X  L2 [0,1] ; X  C[0,1]; 0, t  ( 1 ,1],nt n6) xn (t )  e t , X  L2 [0,1] ; X  C[0,1];1 2n,...,, 0, 0,...) , X  l2 ;n nn118) xn  ( , 0,..., 0,, 0, 0,...) , X  l1 ;1n n 7) xn  ( ,n 1599) xn  (n 1n, 0,..., 0,, 0, 0,...) , X  l2 ;1nnn 11110) xn  ( ,..., ,1, 0, 0,...) , X  l1 ;nnn11) xn  (1, 0,..., 0,1, 0, 0,...) , X  l3 ;n11 nt , X  C[0,1] ;n113) x n ( t )  t n , X  C 1[0,1] .n12) x n ( t ) 1.2.16.