1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (Люлько, Максимова - Функциональный анализ. Теоремы и задачи)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТМеханико-математический факультетКафедра прикладной математикиН. А. Люлько, О. Д. МаксимоваФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗТЕОРЕМЫ И ЗАДАЧИУчебное пособиеРекомендовано Ученым советом ММФ НГУНовосибирск2017УДК 517.98(075.8)ББК В162я73-1Л 946Рецензенты:член-корр. РАН П. И. Плотников,д-р физ.-мат. наук С.

А. СаженковИздание подготовлено в рамках реализации Программы развития государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Новосибирский государственный университет» на 20092018 годы.Люлько, Н. А.Л 946 Функциональный анализ. Теоремы и задачи : учеб. пособие /Н. А. Люлько, О. Д.

Максимова ; Новосиб. гос. ун-т.  Новосибирск : ИПЦ НГУ, 2017. – 384 с.ISBN 978-5-4437-0667-2Материал пособия соответствует программе курса «Функциональныйанализ» механико-математического факультета Новосибирского государственного университета.Пособие посвящено основам классического и элементам современноголинейного функционального анализа. Оно состоит из трех глав: метрические пространства, линейные функционалы и операторы, интеграл Римана  Стилтьеса, содержит большое количество задач и достаточно полныйтеоретический материал, иллюстрируемый многочисленными примерами.В приложении расположен справочный материал из курса математического анализа и смежных математических дисциплин, а также обобщающиетаблицы утверждений, используемых при решении задач.Пособие предназначено для студентов высших учебных заведений, изучающих курс функционального анализа, и преподавателей функционального анализа.Рекомендовано Ученым советом механико-математического факультета Новосибирского государственного университета для обучающихся по образовательнымпрограммам высшего образования по направлениям подготовки "01.03.01  Математика", "01.03.02  Прикладная математика и информатика", "01.03.03  Механика и математическое моделирование", "02.03.01  Математика и компьютерныенауки".УДК 517.98(075.8)ББК В162я73-1ISBN 978-5-4437-0667-2 Новосибирский государственныйуниверситет, 2017 Н.

А. Люлько, О. Д. Максимова, 2017ПредисловиеВ основе функционального анализа лежит естественное обобщение понятий и методов, используемых в алгебре, геометрии ианализе, а также применение этих методов к объектам более сложной структуры: бесконечномерным пространствам, линейным и нелинейным операторам и т. д. Как самостоятельное направление вматематике функциональный анализ сформировался в 20-х годахXX века. Его возникновение стимулировалось как внутренними потребностями самой математики (прежде всего, таких ее разделов,как вариационное исчисление, интегральные уравнения, гармонический анализ), так и прикладными задачами, особенно задачамиквантовой механики.

Историю возникновения функциональногоанализа, его направления развития, приложения, обзор литературыпо современному функциональному анализу можно найти в [23 27; 30]. С основами нелинейного функционального анализа, имеющего большое прикладное значение, можно познакомиться по книгам [28; 29].Авторы настоящего пособия ставят своей целью помочь студентам при изучении курса функционального анализа и при самостоятельном решении задач по этому курсу.В трех главах пособия рассматриваются теория метрических,нормированных и гильбертовых пространств, теория линейных ограниченных операторов и интеграл Римана  Стилтьеса. В началепособия помещен список основных обозначений, в конце приведены ответы и указания к решению задач, а также список используемой литературы.

Для усвоения новых понятий и их свойств, отраженных в теоремах и утверждениях, в пособии приведены задачиразличной степени сложности. Каждый параграф снабжен решениями типичных задач.Для быстрой ориентации в материалах пособия все определения,утверждения, примеры и задачи снабжены тройной нумерацией:глава, параграф, порядковый номер. Рисунки и формулы имеютсвою нумерацию в каждом параграфе.Материал пособия и методика изложения материала основаны наопыте чтения авторами лекций и ведения семинарских занятий пофункциональному анализу на механико-математическом факультете НГУ.3Основные обозначения►…◄■<…, …, …> [ a ,b ]Re Im a XX YX YX \Ypqpq начало и окончание доказательств теорем иутверждений окончание примеров доказательство необходимого условия утверждениядоказательстводостаточного условия утверждения ссылка на справочный материал (глава, параграф, порядковый номер) множество всех натуральных, т.

е. целых положительных, чисел множество всех целых чисел множество всех рациональных чисел множество всех действительных (вещественных) чисел множество всех комплексных чисел множество всех рациональных чисел из отрезка[a, b] сопряженное число для комплексного числа  вещественная часть комплексного числа  мнимая часть комплексного числа  элемент a принадлежит множеству X множество X содержится в множестве Y илимножество Y содержит множество X , приэтом множество X может совпадать с Y множество X содержится в множестве Y , приэтом в множестве Y есть элементы, не принадлежащие X множество элементов, принадлежащих X и непринадлежащих Y из высказывания p следует высказывание q высказывания p и q равносильны для любого; для всех; для каждого (кванторобщности)4: x1 , x2 ,..., xn ,... xn  ,  xn n1 x ,   A x : p( x) , x  X : p( x) существует; найдется (квантор существования) такой, что; такие, что числовая последовательность последовательность элементов xn , n   , метрического пространства система элементов (множество элементов x ,где A  множество индексов) множество элементов x , удовлетворяющихусловию p( x) почти всюду взаимно однозначное отображение между множествами X и YB[0, 1] {x  X : || x ||  1}  единичный шар в нормированном пространстве XS [0, 1] {x  X : || x ||  1}  единичная сфера в нормированном пространстве XL() линейная оболочка множества  в линейномпространствеf : X   ()  функционал, действующий из нормированногопространства XA: X  Y оператор A , действующий из нормированногопространства X в нормированное пространство YD( A) область определения оператора AIm( A) множество значений оператора AKer( A) ядро оператора A обратный оператор к оператору A : X  YA1 :Y  XL( X ,Y ) множество всех линейных ограниченных операторов, определенных на пространстве X , созначениями в пространстве YL( X ) множество всех линейных ограниченных операторов, определенных на пространстве X , созначениями в Xп.

в.: X Y5I L( X )X*X* YA*  L (Y * , X * ) ( A)R ( A) ( A)r ( A) p ( A) r ( A) c ( A) тождественный оператор, действующий в нормированном пространстве X сопряженное пространство к нормированномупространству X , т. е. множество всех линейных ограниченных функционалов, определенных на нормированном пространстве X сопряженное пространство X * изоморфно иизометрично нормированному пространству Y сопряженный линейный оператор к операторуA L( X ,Y ) резольвентное множество линейного оператора A резольвента линейного оператора A спектр линейного оператора A спектральный радиус линейного оператора A точечный спектр линейного оператора A остаточный спектр линейного оператора A непрерывный спектр линейного оператора A6Предварительные сведенияЭквивалентность множеств.

Понятие мощности множества.Множество  набор, совокупность, собрание каких-либо объектов, называемых его элементами и обладающих общим характеристическим свойством. Чтобы определить множество, достаточноуказать характеристическое свойство элементов, т. е.

такое свойство, которым обладают все элементы этого множества и только они.Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается  . Если каждый элемент множества A является элементом множества B , то множество A называется подмножеством множества B и записывается A  B .Пустое множество считается по определению подмножеством любого множества. Каждое непустое подмножество A множества B ,отличное от всего множества B , называется собственным подмножеством множества B .Пусть A и B  два произвольных множества.

Множества Aи B называются эквивалентными ( A ~ B ), если между элементамиэтих множеств можно установить взаимно однозначное соответствие. Если множества A и B эквивалентны, то они имеют одинаковую мощность: m( A)  m( B ) .Пример П1. Множество всех действительных чисел отрезка [0,1] эквивалентно множеству всех действительных чисел отрезка [a, a  1] , где a   . ■Множество A называется конечным, если оно эквивалентномножеству натуральных чисел n , удовлетворяющих неравенству1  n  N для некоторого натурального числа N .

Для конечногомножества A понятие мощности совпадает с понятием числа эле7ментов: m( A)  N . Пустое множество причисляется к конечным.Число элементов пустого множества равно 0.Пример П2. Множество всех целых чисел отрезка [1,100] конечно и состоит из 100 элементов. Множество всех действительныхчисел x таких, что x 2  3 , конечно и состоит из двух элементов.Множество всех рациональных чисел x таких, что x 2  3 , пусто.

■Множество A называется бесконечным, если оно не являетсяконечным, то есть для любого числа N  1, 2, ... множествоAсодержит подмножество, состоящее из N элементов.Простейшим примером бесконечного множества является множество всех натуральных чисел.Множество A называется счетным, если оно эквивалентномножеству  всех натуральных чисел.Пример П3. Примеры счетных множеств на числовой прямой:1) множество M  {k : k  2n, n  } всех четных чисел;2) множество  всех целых чисел, так как отображение z  0  1, :  z  n  2 n, z  n  2n  1,устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами  и  ;3) множество Q[0,1] всех рациональных чисел на отрезке [0,1] . ■Отметим следующие свойства счетных множеств: всякое подмножество счетного множества конечно или счетно; конечное или счетное объединение счетных множеств естьсчетное множество; всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.Бесконечное множество, не являющееся счетным, называется несчетным.

Например, множество всех действительных чисел отрезка[0,1] является несчетным множеством. Множества, эквивалентныемножеству всех действительных чисел отрезка [0,1] , имеют мощность континуума.8Пример П4. Примеры несчетных множеств мощности континуума на числовой прямой: множество всех действительных чиселлюбого интервала (a, b) , где a  b ; множество всех действительных чисел промежутка [a, ) , где a   – любое число; множество  всех действительных чисел.