1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (Люлько, Максимова - Функциональный анализ. Теоремы и задачи), страница 11

множество Mравностепенно непрерывно. ■Пример 1.3.21. МножествоM  {x : x(t )  e t ,   [1, 2]}компактно в пространстве C[0,1] .В силу теорем Хаусдорфа и Арцела, компактность множества Mв C[0,1] равносильна тому, что M равномерно ограничено, равностепенно непрерывно и замкнуто. Докажем, что множество М обладает этими свойствами.Множество M равномерно ограничено, так как | x(t ) |  e  t  1для всех   [1, 2] и t  [0,1] .Функции x(t )  e  t удовлетворяют условиям теоремы Лагранжа 1.3.5 на любом отрезке [t1 , t2 ]  [0,1] . Поэтому для каждого  [1, 2] справедливы соотношения| x(t1 )  x(t2 ) |  | e  t  e  t |   e  ( ) | t1  t2 |  2 | t1  t2 | ,где  ( )  некоторая точка из интервала (t1 , t2 ) .12Следовательно, в определении равностепенной непрерывностимножества М для произвольного   0 в качестве  можно взятьчисло  2, т.

е. множество M равностепенно непрерывно.В силу полноты пространства C[0,1] из равномерной ограниченности и равностепенной непрерывности множества M получаем, что M относительно компактно в C[0,1] . В примере 1.1.18 доказана замкнутость множества M .

Следовательно, M компактно впространстве C[0,1] . ■Пример 1.3.22. МножествоM  {x  C[0,1] : x(t )  e t ,   0}не является вполне ограниченным в пространстве C[0,1] .Очевидно, что множество M равномерно ограничено, так как| x(t ) |  1 , t  [0,1] , для всех x  M .83Докажем, что множество M не равностепенно непрерывно, т. е.  0   0  t1 , t2  [0,1] и  x  M :| t1  t2 |  и | x(t1 )  x (t2 ) |   .Заметим, что x (0)  1 для всех x  M и x (t )  e  t  0 для лю бого t  (0,1] . Пусть  числа t1  0, t2 1, тогда для любого   0 рассмотрим21( n0   ) такие, что | t1  t2 |   и для функn0ции xn0 (t )  e  n0t  M будет справедливо неравенство| xn0 (t1 )  xn0 (t2 ) |  1  e 1   .Итак, множество M не равностепенно непрерывно, а следовательно, не относительно компактно и не вполне ограничено в C[0,1] .

■Задачи1.3.1. А) Будет ли множество всех финитных последовательностей всюду плотно в пространствах1) с; 2) c0 ; 3) l2 ; 4) l ?Б) Доказать, что множество всех финитных последовательностейс рациональными координатами всюду плотно в пространствах1) c0 ;2) l p , 1  p   .1.3.2. Доказать, что множество всех непрерывных кусочнолинейных функций всюду плотно в пространстве C[a, b] .1.3.3. Доказать, что множество всех многочленов с рациональными коэффициентами всюду плотно в пространстве L2 [a, b] .1.3.4.

Будет ли всюду плотно в пространстве l p , 1  p   ,множество M  l p , если:1) M  {x : x  (q1 , q2 ,..., qn , 0, 0,...), n  фиксированное натуральное число , qi  } ;2) M  {x : x  (q1 , q2 ,..., qn , 0, 0,...), n  , qi   } ;843) M  {x : x  (0, q2 ,..., qn ,...), qi  } ;4) M  {x : x  (q1 , 0, q3 , 0,..., 0, q2 n 1 , 0,...), qi  } ?1.3.5. Пусть множество A нигде не плотно в метрическом пространстве X . Доказать, что1) множество X \ A всюду плотно в X ;2) множество А нигде не плотно в X .1.3.6. Доказать, что в метрическом пространстве ( X ,  ) множество A нигде не плотно тогда и только тогда, когда его замыканиеА не содержит внутренних точек.1.3.7.

Пусть множества A и B всюду плотны в метрическомпространстве X . Возможен ли случай, когда A  B   ?1.3.8. Пусть A  открытое всюду плотное множество в метрическом пространстве X . Доказать, что множество X \ A нигде неплотно в X .1.3.9. Доказать, что пространство l1 сепарабельно.1.3.10. Доказать, что подпространство (Y ,  ) сепарабельногометрического пространства ( X ,  ) является сепарабельным пространством.1.3.11.

Пусть   дискретная метрика. Доказать, что метрическое пространство X  ([0,1],  ) не сепарабельно.1.3.12. Найти критерий сепарабельности дискретного пространства.1.3.13. Доказать, что множество изолированных точек сепарабельного метрического пространства не более чем счетно.1.3.14. Доказать, что в сепарабельном метрическом пространствелюбое семейство попарно непересекающихся открытых множествне более чем счетно.1.3.15. Пусть в метрическом пространстве X существует несчетное множество A такое, чтоx, y  A x  y   ( x, y )   ,где   0  фиксированное число. Доказать, что X  несепарабельное пространство.851.3.16.

Доказать, что метрическое пространство X является сепарабельным тогда и только тогда, когда для любого   0 в Xсуществует не более чем счетная  -сеть.1.3.17. Проверить по определению компактность и вполне ограниченность следующих множества) в пространстве C[0,1] :2) M   y : y ( x )  kx , k  [0, 2] ;3) M   y : y ( x )  x , n  1, 2,... ;1) M  y : y ( x )  kx, k  [0,1] ;2n4) M  { y : y  C[0,1] , | y ( x) | 1 для всех x  [0,1]} ;5) M  { y : y ( x)  sin( x) e  x ,   [2,3],   [1, 4]} ;6) M  { y : y  C 1[0,1], y (0)  y (1)} ;7) M  { y : y  C[0,1], y (0)  0, y (1)  1} ;8) M  y : y ( x)  kx 2  1, k  [1, 2] ;9) M   y : y ( x )  kx  1, k  (0,1] ;10) M   y : y ( x)  x  k , k  (0,1) ;11) M  { y : y ( x)  sin  x  3e  x ,   [1,3], |  | 2} ;б) в пространстве (,  ( x, y )  | x  y |) :12) M  {x : x  , 0  x  1 } ;13) M  {x : x  , 2  x 2  3} ;14) M  {x : x 1, n  } .n1.3.18.

Доказать, что любое компактное множество в метрическом пространстве замкнуто и ограничено. Привести примеры пространств, в которых верно обратное утверждение.1.3.19. Является ли шар B[0,1] компактным множеством в следующих пространствах:1)  n ; 2) l1 ; 3) l2 ; 4) l ; 5) C[a, b] ?861.3.20. Доказать, что множество четных чисел в пространствеX  (,  ) (см. пример 1.2.17) замкнуто, ограничено, но не компактно.1.3.21. Доказать, что множество {sin nt , n  } замкнуто, ограничено, но не компактно в пространстве L2 [  ,  ] .1.3.22.

Пусть a  l2 , где a  ( a1 ,..., an ,...) , an  0 . Доказать, чтомножествоM a  {x  l2 : x  ( x1 ,..., xn ,...), | xn |  an , n  1, 2,...}компактно в пространстве l2 .1.3.23. Пусть в компактном метрическом пространстве X последовательность { x n } имеет единственную предельную точкуa  X . Доказать, что { x n } сходится к a .1.3.24. Доказать, что пересечение замкнутого и компактногомножеств в метрическом пространстве является компактным множеством.1.3.25.

Доказать, что1) объединение конечного числа компактных множеств в метрическом пространстве является компактным множеством. Привестипример, когда объединение счетного числа компактных множествне является компактным множеством;2) пересечение конечного числа компактных множеств в метрическом пространстве является компактным множеством. Можно липривести пример, когда пересечение счетного числа компактныхмножеств не является компактным множеством;3) объединение конечного числа относительно компактных множеств в метрическом пространстве является относительно компактным множеством.

Привести пример, когда объединение счетногочисла относительно компактных множеств не является относительно компактным множеством;4) пересечение конечного числа относительно компактных множеств в метрическом пространстве является относительно компактным множеством. Можно ли привести пример, когда пересечениесчетного числа относительно компактных множеств не являетсяотносительно компактным множеством?871.3.26.

Доказать, что компактное метрическое пространство является полным и сепарабельным пространством. Привести примерполного и сепарабельного метрического пространства, не являющегося компактным.1.3.27. Доказать, что последовательность непустых вложенныхдруг в друга компактных множеств в метрическом пространствеимеет непустое пересечение.1.3.28. Доказать, что в компактном метрическом пространствелюбая последовательность замкнутых вложенных друг в друга шаров имеет непустое пересечение.1.3.29. Пусть M  компактное множество в метрическом пространстве X .

Доказать, что для любой точки x  X в множествеM найдется наилучший элемент приближения точки x элементами множества M .1.3.30. Пусть A  компактное множество, B  замкнутое множество в метрическом пространстве X и A  B   . Доказать,что  ( A, B)  0 .1.3.31. Доказать, что компактное в l1 множество нигде не плотнов l1 .1.3.32.

Привести пример вполне ограниченного, но не относительно компактного множества в метрическом пространстве X .1.3.33. Доказать, что любое ограниченное множество в пространстве  n вполне ограничено.1.3.34. Является ли шар B(0,1) вполне ограниченным множеством в пространстве l p , если:2) p   ?1) 1  p   ;1.3.35. Является ли шар B[0,1] вполне ограниченным множеством в пространстве C[0, 2 ] ?1.3.36. Доказать, что единичная сфераS [0,1]  {x :  (0, x)  1}в пространстве l1 не вполне ограничена.881.3.37.

Доказать, что множествоM  {x  l2 : x  ( x1 ,..., xn ,...)}вполне ограничено в пространстве l2 , если:1) | xn |  1 , n  1, 2,..., n0 ; xn  0, n  n0 , где n0 – фиксированное натуральное число;2) | xn | 1, n;2n 13) | xn |  |  n | , где| n 1n|  ;4) | xn |  n , n  1, 2,..., n0 ; | xn | 1, n  n0 , где n0 – фиксироnванное натуральное число.1.3.38. Доказать, что множествоM  {x  l p : x  (1 ,  2 ,...,  n ,...)}вполне ограничено в пространстве l p , 1  p   , тогда и толькотогда, когдаа) M  ограничено;б)   0 N : n  N x  M| k nk|p   .1.3.39. Доказать, что множествоM  {x  c : x  (1 ,  2 ,...,  n ,...)}относительно компактно в пространстве c тогда и только тогда,когдаа) M  ограничено;б)   0 N : n , m  N x  M |  n   m |   .1.3.40.

Пусть M – вполне ограниченное множество в метрическом пространстве X . Доказать, что М имеет не более чем счетноеплотное в М подмножество.1.3.41. Доказать, что относительно компактное множество в метрическом пространстве ограничено.1.3.42. Является ли шар B(0,1) относительно компактным множеством в пространстве l p ( 1  p   )?891.3.43. Доказать, что вполне ограниченное множество в пространстве C[a, b] равностепенно непрерывно.1.3.44. Пусть B1  B[0,1]  единичный шар в пространстве1C [a, b] . Доказать, что множество B1 вполне ограничено в пространстве C[a, b] .1.3.45. Пусть M  множество непрерывных на отрезке [0,1]функций y таких, что y (0)  0 .

Будет ли множество M1) ограниченным;2) замкнутым;3) всюду плотным;4) вполне ограниченным;5) компактнымв пространствах C[0,1] , L p [0,1] (1  p  ) ?1.3.46. Пусть множество M ограничено в пространстве C[a, b] .Доказать вполне ограниченность в C[a, b] множеств, состоящих изследующих функций y :s1) y ( s )  x(t )dt , x  M ;as2) y (s )  cos( st ) x(t ) dt ; x  M ;asb3) y ( s )  sin( s  t ) x(t ) dt  cos( s  t ) x(t ) dt , x  M ;abs4) y ( s )  ( s  t ) 2 x(t ) dt , x  M ;ab5) y ( s )  K ( s, t ) x(t ) dt , x  M , где K  C ([a, b]  [a, b]) .a1.3.47. Являются ли относительно компактными в пространствеC[0,1] множества, состоящие из следующих функций:1) xn (t )  1  t n , n   ;2) x n ( t )  sin nt , n   ;903) x n (t )  sin( t  n ) , n   ;4) xn (t )  etn, n ;5) x(t )  te ,   0 ;6) x(t )  e cos  t ,   0 ?1.3.48.