1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (Люлько, Максимова - Функциональный анализ. Теоремы и задачи), страница 12

Является ли вполне ограниченным в пространстве C[0,1]множество M непрерывных функций y , удовлетворяющих следующим условиям:1) y (0)  [0,1] , y(t )  m , t  [0,1] ,где m    фиксированное число;2) | y(t ) |  m , t  [0,1] ,где m  0  фиксированное число;3) | y (1 2) |  k , | y(t ) |   , t  [0,1] ,где k  0 ,   0  фиксированные числа;4) y (0)  y (1)  1 ;5) y (0)  y (1), | y(t ) |  m , t  [0,1] ,где m  0  фиксированное число;6) y (1)  [0,1] , | y (t1 )  y (t2 ) |  k | t1  t2 | , t1 , t2  [0,1] , t tгде k  0  фиксированное число?1.3.49. Будет ли компактным в пространстве C[0,1] множество M , состоящее из следующих функций x :1) x(t )  k t 2  b , 0  k  2 , 1  b  3 ;2) x(t )  cos  t ,   [1, 4] ;13) x(t )  еt  s y ( s ) ds , y  C[0,1] ;04) x(t )   sin(  t )  2e t ,  ,  ,   [2,3] ;15) x(t )  cos(ts ) y ( s ) ds, y  K ,0где K – компактное множество в C[0,1] ?911.3.50.

Пусть y  y (t , s )  непрерывная функция на множестве[0,1]  [0,1] . Для каждого s  [0,1] определим функциюxs (t )  y (t , s) , t  [0,1] .Доказать, что множество функций {xs , s  [0,1]} относительнокомпактно в пространстве C[0,1] .1.3.51. Пусть E  множество непрерывно дифференцируемых наотрезке [0,1] функций x , для которых справедливо неравенство1 | x(t ) |2 | x(t ) | 2  dt  1 .0Доказать, что множество E относительно компактно в C[0,1] .1.3.52. Пусть E  множество непрерывно дифференцируемыхна отрезке [a, b] функций x таких, чтоb| x(a ) |  K1 , | x(t ) |2dt  K 2a( K1  0 , K 2  0  фиксированные числа). Доказать, что множество E относительно компактно в C[a, b] .1.3.53.

Является ли множествоM  {x  l2 : x  ( x1 ,..., xn ,...)}а) относительно компактным, б) компактным в l2 , если:1) | xn |  10 , n  1,...,10 ; xn  0 , n  10 ;2) | x2 n |  1 , x2 n 1  0 , n   ;103) 0 ; | xn | x 1 ; xn  0 , n  20 ;n 1204)1, n  10 ;nxn 1nn5) | x2n |  1 , | x2 n 1 | 6) | xn | 1, n;n1, n;2n927) | xn | 1, n;n1, n  10 ;n8) | xn |  n , n  1,...,10 ; | xn | 1, n  ;2n10) x  (1, 2, 0, 0,..., 0,1, 0, 0,...), n   ;9) | xn | n211) x  (1,1, 0, 0,..., 0, n, 0, 0,...), n   ;n21n12) x  (1,1, 0, 0,..., 0, , 0, 0,...), n   ?n 21.3.54. Доказать, что относительно компактное в пространстве l2множество нигде не плотно в l2 .1.3.55. Доказать, что множествоM  {x  l2 : x  ( x1 ,..., xn , ...), n| xn 1n| 2  1}относительно компактно в l2 .1.3.56. ПустьM  {x  l2 : x  (1 x1 ,  2 x2 ,...,  n xn ,...),| xn 1n| 2  1} .Доказать, что для вполне ограниченности множества M в l2 необходимо и достаточно, чтобы lim  n  0 .n 1.3.57.

Пусть| xn | 2M  {x  l2 : x  ( x1 ,..., xn ,...) ,  1 , где an  0 , n  } .2n 1 | an |Доказать, что для относительной компактности множества M в l2необходимо и достаточно, чтобы lim an  0 .n 931.3.58. Найти критерий компактности множества в дискретномпространстве.1.3.59. Найти критерий компактности множества в пространстве l p (1  p  ) .1.3.60. Найти критерий компактности множества в пространстве C[a, b] .1.3.61.

Найти критерий компактности множества в пространстве C 1[a , b] .94§ 1.4. Нормированные пространстваЛинейные пространства, нормированные пространства.Изоморфизм конечномерных нормированных пространств евклидову пространству. Ряды в нормированных пространствах,критерий полноты нормированного пространства.Пусть E  линейное пространство 1.4.1, тогда в нем определены операции сложения элементов ( x  y ) и умножения элементана число (  x ), где x, y  X ,    или    .В зависимости от того, на какие числа  , действительные иликомплексные, допускается умножение элементов пространства E ,мы получаем действительное (вещественное) или комплексное линейное пространство.Пример 1.4.1.

Ранее введенные пространства n , l p ( 1  p   ), C[a, b] , L p [ a, b] ( 1  p   )являются вещественными линейными пространствами. Операциисложения и умножения на число в этих пространствах определяются естественным образом – либо покоординатно (в пространствахпоследовательностей), либо поточечно (в пространствах функций).

■Пусть A  произвольное непустое множество. Множество элементов x  E , где A  множество индексов  , будем называтьсистемой в пространстве E и обозначать {x ,   A} .Определение 1.4.1. Элементы x1 , x2 ,..., xn  E называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинацияn i xi  0 , где не все  i равны 0 . Если равенствоi 1n xi 1i i0возможно только при условии 1  ...   n  0 , то элементыx1 ,..., xn называются линейно независимыми.

Конечная системаиз n элементов называется линейно независимой, если все элементыэтой системы линейно независимы. Бесконечная система элементовлинейного пространства называется линейно независимой, если любая её конечная подсистема линейно независима.95Определение 1.4.2. Линейное пространство называется конечномерным размерности n (n  ) , если в нем существует n линейно независимых элементов, а любые n  1 его элементов являются линейно зависимыми.Если линейное пространство состоит только из одного элемента x , то x  0 . Такое пространство называется нулевым и обозначается E  {0} .

Нулевое линейное пространство считается конечномерным размерности n  0 .В линейном пространстве E размерности n (n  ) любая линейно независимая система из n элементов a1 ,..., an образует базис, т. е. для каждого элемента x  E существует единственноепредставление x n x a , где числаi 1i ixi называются координатамиэлемента x в данном базисе.Определение 1.4.3. Линейное пространство называется бесконечномерным, если в нем для любого числа n   существует nлинейно независимых элементов.Определение 1.4.4.

Непустое множество L линейного пространства E называется линейным многообразием, если для любыхx, y  L справедливо  x   y  L , где  ,   произвольные числа.Линейное многообразие L линейного пространства E само является линейным пространством.Пусть   произвольное множество линейного пространства E .Определение 1.4.5. Линейной оболочкой множества  называется множество L() , которое является пересечением всех линейныхмногообразий пространства E , содержащих  .Очевидно, что L() есть минимальное линейное многообразие,содержащее  . Если    , то L()  {0} . Если    , то определение 1.4.5 эквивалентно следующему определению.Определение 1.4.5*. Линейной оболочкой непустого множества  называется множество L() , состоящее из всевозможных конечных линейных комбинаций 1 x1   2 x2  ...

  n xn элементов96этого множества. Здесь x1 , x2 ,..., xn  произвольные элементыиз  , а 1 ,  2 ,...,  n  произвольные числа, n   .Пример 1.4.2. Рассмотрим n -мерное линейное многообразие Lлинейного пространства E . Если   {a1 ,..., an }  линейно независимая система в L , то она образует базис в L и L()  L . ■Пример 1.4.3. Рассмотрим множество P[a, b] всех многочленовна отрезке [a, b] . Очевидно, что P[a, b] есть линейное многообразие в линейных пространствах C[a,b] , L p [ a, b] ( 1  p   ).Система элементов 1, x, x 2 ,..., x n ,...

множества P[a, b] линейнонезависима. Действительно, зафиксируем число n   . Линейнаяnкомбинация xi 0iiможет обращаться в нуль на отрезке [a, b] неnболее чем в n точках этого отрезка. Поэтому xi 0iiесть нулеваяфункция тогда и только тогда, когда все  i обращаются в нуль.Аналогично доказывается, что любая конечная подсистема этой системы также линейно независима.Так как система элементов 1, x, x 2 ,..., x n ,... бесконечна, то линейное многообразие P[a, b] бесконечномерно.

Следовательно,пространства C[ a, b] и L p [ a, b] ( 1  p   ) также являются бесконечномерными линейными пространствами. ■Пример 1.4.4. Рассмотрим множество Pn [ a, b] всех полиномовна отрезке [a, b] степени не большей n , где n – фиксированноенатуральное число. Pn [a, b] есть конечномерное линейное многообразие размерности n  1 в пространствах C[ a, b] , L p [ a, b]( 1  p   ). Функции 1, x, x 2 , ..., x n образуют базис этого многообразия. Очевидно, что Pn [ a, b] есть линейная оболочка базисныхэлементов. ■97Пример 1.4.5. Рассмотрим в пространстве l p , 1  p   , множество  {en , n  } , где en  (0,...,0,1, 0, 0,...) .nОчевидно, что элементы en , n   , линейно независимы.