1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (Люлько, Максимова - Функциональный анализ. Теоремы и задачи), страница 10

е. множествоM вполне ограничено в X . Пусть X  полное пространство и множество M вполне ограничено в X . Докажем, что множество M относительно компактно в X . Рассмотрим произвольную последовательность{xn }  M . Пусть   1 и множество A1  X есть конечная  -сетьдля M .

Тогда найдется шар B1  B ( a1 ,1), a1  A1 , который содержит бесконечное число элементов исходной последовательности.Обозначим через xn 1 произвольную точку последовательности{xn } , принадлежащую шару B1 . Пусть  естьконечная -сетьдляM.1и множество A2  X2Тогданайдетсяшар1B2  B(a2 , ), a2  A2 , который содержит бесконечное число эле2ментов последовательности {xn } , причем B1  B2   . Возьмемточку xn2  B2 , где n2  n1 .74Продолжая этот процесс, построим последовательность шаров1), k  .2k 11-сеть для M , приЗдесь ak  Ak , где Ak  конечная2k 1чем Bk  Bk 1   .

Каждый шар Bk содержит бесконечное числоэлементов исходной последовательности {xn } , поэтому мы находим подпоследовательность {xn k } ( xn k  Bk , k  1, 2,...) , обладаю-Bk  B(ak ,щую свойством ( xn , xn )   ( xn , a)   (a, xnk 1kkk 1)113 k  k,k 1222где a  Bk  Bk 1 . Из этого неравенства следует фундаментальность{xn k }, так как для любого p   справедливо ( xn , xn )   ( xn , xn )  ...   ( xnkk pkk 1k  p 1, xn k  p ) 3331 13 ...

 k  p 1  k (1   2  ...)  k 1 .k2222 22Так как X  полное метрическое пространство, то {xn k } сходитсяв этом пространстве. Таким образом, множество M относительнокомпактно в X . ◄Следствие 1.3.1. Пусть X  произвольное метрическое пространство. Множество M вполне ограничено в X тогда и толькотогда, когда из любой последовательности {xn }  M можно выделить фундаментальную в X подпоследовательность {xnk } . ЕслиX  полное метрическое пространство, то множество M вполнеограничено в X тогда и только тогда, когда M относительно компактно в X .Следствие 1.3.2. Пусть X  метрическое пространство.

Для того чтобы множество M было компактным в X , необходимо, а вслучае полноты пространства X и достаточно, чтобы множество M было замкнуто и вполне ограничено в X .75Утверждение 1.3.4. МножествоM  {x  l p : x  (1 ,  2 ,...,  n ,...)}относительно компактно в пространстве l p , 1  p   , тогда итолько тогда, когдаа) M  ограничено, т. е. существует такая константа K  0 , что| k 1k|p  K , x  M ;б)   0 N : n  N| k nk|p   , x  M .► Пространство X  l p , 1  p   , является полным.

В силутеоремы Хаусдорфа множество M  l p относительно компактно впространстве l p тогда и только тогда, когда M вполне ограниченов l p . Докажем, что условия а), б) необходимы и достаточны длявполнеограниченностимножестваMвпространствеlp ,1 p   . Пусть множество M вполне ограничено в пространстве l p ,1  p   . Выполнение условия а) очевидно (утверждение 1.3.3).Докажем выполнение условия б).Зафиксируем произвольное число   0 .

Пусть точкиa (i )  (a1(i ) , a2(i ) ,..., an( i ) , ...)  l p , i  1,..., k ,pобразуют конечную2-сеть в пространстве l p для множества M .Так как a (i )  l p , то существуют N i такие, чтоp | an(i ) | p n  Nip2, i  1,..., k .Для каждой точки x  (1 ,  2 ,...,  n ,...)  M найдем элемент aтакой, что76( k0 )p ( x, a ( k ) ) .2Обозначив N  max N i , для всех n  N получим соотношения01i  kp|  j |p pj n (| j nj a (jk0 ) |  | a (jk0 ) |) p p |  j  a (jk0 ) | p | apj n  ( x, aj np( k0 ))2| ( k0 ) pj ,pиз которых следует выполнение условия б) для множества M . Пусть множество M удовлетворяет условиям а), б). Докажем, что оно вполне ограничено, для чего возьмем произвольноечисло   0 и построим в пространстве l p конечную  -сетьдля M .В силу условия б) для данного  найдется N  1 такое, чтоpn N2 | n | p , xM .(1)Обозначим m  N  1 и рассмотрим множество M   mp :M  {x  (1 ,  2 ,...,  m ) : x  (1 ,  2 ,...,  m ,  m 1 ,...)  M } .В силу условия а) множество M ограничено в пространстве  mp , а следовательно, и вполне ограничено.

Пусть точкиa (i )  (a1(i ) , a2(i ) ,..., am(i ) )   mp , i  1,..., k ,образуют конечнуюp2-сеть в пространстве  mp для множест-ва M . Тогда точкиa (i )  (a1(i ) , a2(i ) ,..., am( i ) , 0, 0,....)  l p , i  1,..., k ,77образуют конечную  -сеть для множества M в пространстве l p ,(k )т. е.

для любой точки x  M найдется элемент a 0 такой, что ( x, a ( k0 ) )   .Действительно, любой точке x  (1 ,  2 ,...,  m ,  m 1 ,...)  M соответствует точка x  (1 ,  2 ,...,  m )  M , для которой существуетэлемент a ( k0 )   mp такой, что ( x , a ( k ) ) 0mp| n an( k0 ) | p p.(2)2(k )В силу оценок (1), (2) справедливо неравенство  ( x, a 0 )   , такn 1как ( x, a ( k ) ) 0p| n 1N 1pn an( k0 ) | p  | n  an( k0 ) | p   | n | p n 1n Npp2p2.◄Пример 1.3.18. Исследуем относительную компактность и вполне ограниченность в пространстве l2 множестваM  {x  l2 : x  ( x1 ,..., xn ,...)} ,если:1) | xn | 31, n  ;n1, n  3;nn 13) x  (1, 2, 0, 0,..., 0,1, 0, 0,...) , n   .2)xn 1 ; | xn | n 2В силу теоремы Хаусдорфа критерием как вполне ограниченности множества M  l2 , так и его относительной компактности впространстве l2 является выполнение условий а), б) утверждения1.3.4.

Проверим выполнение этих условий.781) Выполнение условий а), б) есть следствие сходимости числового ряда1nn 12. Действительно, для любого x  M справедливонеравенство12| xk |   2 .6k 1k 1 k2Поэтому  0 N : n  N | xk |2 k n1kk n2.2) Так же, как и в случае 1), условие б) выполнено.

Но условие а)не выполняется, так как множество M не является ограниченным впространстве l2 . Действительно, для точекx ( n )  (n,  n, 0, 0,...)  M , n   ,имеем ( x ( n ) , 0)  2 n   при n   .Итак, множество M не относительно компактно и не вполне ограничено в пространстве l2 .3) Множество M ограничено, но не вполне ограничено и не относительно компактно.Выполнение условия а) вытекает из неравенства| xk 1k|2  1  4  1  6, x  M .При этом условие б) не выполняется, т. е.  0 N n  N и x  M :| xk nk|p  .Действительно, пусть   1 , n  N  2 . Рассмотрим точкуx  (1,2, 0,0, ...,0,1, 0, 0,...)  M ,N 4для которой справедливо| xk nk|p  1 .

■79Пример 1.3.19. МножествоM  { y  l2 : y  (1 x1 ,  2 x2 ,...),| xnn 1| 2  1}относительно компактно в пространстве l2 тогда и только тогда,когда  n  0 . Пусть множество M относительно компактно в l2 , но n  0 . Тогда найдется подпоследовательность { n k } такая, что|  n k |  c  0, k   . Положимy(n k ) (0, 0,..., 0,  n k , 0, 0,...) ,k  .nkТогда y(n k )M и(y(n k ), y(n m ))|  n k |2  |  n m |2  2c, k  m .(n )Следовательно, у последовательности { y k }k 1 нет сходящейсяподпоследовательности, что противоречит относительной компактности множества M . Пусть  n  0 .

Для доказательства относительной компактности множества M воспользуемся утверждением 1.3.4.Множество M ограничено, так как (0, y ) | n 1n|2 | xn |2  max |  n | , y  M .nЗафиксируем произвольное число   0 и выберем такое N , что|  n |   для всех n  N . Тогда получаемn  N y  Mk nk n |  k |2 | xk |2    | xk |2   .Итак, относительная компактность множества M доказана. ■Определение 1.3.9.

Множество M  C[a, b] называется равномерно ограниченным, если существует такая константа K  0 , что| x(t ) |  K для всех t  [a, b] и всех x  M .80Определение 1.3.10. Множество M  C[a, b] называется равностепенно непрерывным, если для любого   0 существует   0 ,зависящее только от  , такое, что для любых t1 , t 2  [a, b ] , удовлетворяющих неравенству | t1  t2 |   , и для любой функции x  Mсправедливо | x(t1 )  x (t2 ) |   .Теорема 1.3.4 (теорема Арцела).

Множество M  C[a, b] относительно компактно в пространстве C[a, b] тогда и толькотогда, когда оно равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.Заметим, что для множества M  C[a, b] свойства ограниченности и равномерной ограниченности эквивалентны.Пример 1.3.20. Пусть множество A ограничено в пространствеC[a, b] , т. е. существует число K  0 такое, что | x(t ) |  K длявсех t  [a,b ] и всех x  A . Если F  C ([ a, b]  [ a, b]) , то множествоtM  { y : y (t )   F (t , s ) x( s ) ds, x  A}aвполне ограничено в пространстве C[a, b] .В силу теорем Хаусдорфа и Арцела, вполне ограниченностьмножества M в C[a, b] равносильна тому, что M равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.Заметим, что непрерывная на компакте [a, b]  [a, b] функция Fобладает свойствами:  функция F ограничена, т.

е. существует константа c  0 такая, что | F (t , s ) |  c для всех (t , s )  [a, b]  [a, b] ;  функция F равномерно непрерывна 1.3.4, т. е. для любого  0 существует   0 такое, что если(t1 , s1 ), (t2 , s2 )  [a, b]  [a, b] ито| t1  t2 |2  | s1  s2 |2   ,| F (t1 , s1 )  F (t2 , s2 ) |   .81(3)Докажем равномерную ограниченность множества M . Имеемt| y (t ) |   | F (t , s) x( s ) | ds a max | F (t , s ) | max | x( s) | (b  a)  cK (b  a ) .a  t ,s  basbДокажем равностепенную непрерывность множества M .

Зафиксируем произвольное число   0 . Для t1 , t2  [a, b] имеемt2t1aa| y (t2 )  y (t1 ) |  |  F (t2 , s ) x( s ) ds   F (t1 , s ) x( s ) ds | .Не ограничивая общности, считаем, что t 2  t1 . Прибавим и отниt2мем в выражении справа слагаемое F (t , s) x(s) ds , тогда полу1aчим| y (t2 )  y (t1 ) | t2t2at1  | F (t2 , s )  F (t1 , s ) || x( s) | ds   | F (t1 , s ) || x( s) | ds .Возьмем число  2(b  a) K(4)и найдем 1  0 такое, что нера-венство (3) выполняется для любых t1 , t2  [a, b] , s1 , s2  [a, b] таких, что | t1  t2 |  1 и s1  s2 .

Тогдаt2 | F (t , s)  F (t , s) || x(s) | ds   (b  a) K  2 .21aЕсли | t1  t2 |   2 t2 Kc, то2 | F (t , s) || x(s) | ds  cK | t11 t2 |  cK  2 t12.В результате из (4) получаем, что для всех t1 , t 2  [a, b ] таких, что| t1  t2 |   , где   min (1 ,  2 ) ,82справедливо неравенство | y (t2 )  y (t1 ) |   , т. е.