1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (Люлько, Максимова - Функциональный анализ. Теоремы и задачи), страница 9

Действительно, если для точек x  y два шара211B ( x, ) , B ( y, ) , x, y  A,2211пересекаются, то найдется точка z  B( x, )  B( y, ) . Но это про22тиворечит аксиоме треугольника, так как1 1  1.2 2Пусть M  l  произвольное всюду плотное в l множество.1Тогда в любом шаре B( x, ), x  A, найдется точка a x  M . Так21как шары B( x, ), x  A, не пересекаются, то a x  a y , если21   ( x, y )   ( x , z )   ( z , y ) 67x  y .

Следовательно, мощность множества M не меньше мощности множества A , т. е. M несчетно. ■Определение 1.3.5. Множество M в метрическом пространстве( X ,  ) называется компактным, если из всякого его покрытия открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие.Если M  X , то метрическое пространство ( X ,  ) называетсякомпактным пространством, или компактом.Очевидно, что в метрическом пространстве любое конечноемножество является компактным.Рассмотрим в метрическом пространстве X произвольное множество M  X и число   0 .Определение 1.3.6. Множество A  X называется  -сетью длямножества M , если для любой точки x  M найдется точка a  Aтакая, что  (x, a )   , т. е.M   B (a,  ) .a AПример 1.3.11. Множество всех точек в пространстве  2 с це-2) для любого мно2жества из  2 . Аналогичное множество в  n является  -сетьюn) для любого множества из  n .

■( 2Определение 1.3.7. Множество M в метрическом пространстве X называется вполне ограниченным, если для любого числа  0 в X существует конечная  -сеть для M .Если M  X , то метрическое пространство ( X ,  ) называетсялыми координатами является  -сетью (  вполне ограниченным пространством.Утверждение 1.3.2. Для любого вполне ограниченного в метрическом пространстве X множества M конечную  -сеть (   0 )можно выбрать из точек самого множества M .► Построим для данного   0 конечную2-сеть для множест-ва M , состоящую из точек z1 , z2 ,.., zl  X .

Обозначим через mk68любую точку из M , принадлежащую шару B ( z k , ) , 1  k  l (мысчитаем, что22-сеть состоит только из таких точек, для которыхрассматриваемые шары пересекаются с M ). Множество{m1 ,.., ml }  M есть конечная  -сеть для M . Действительно, длякаждой точки x  M найдется точка z i такая, что  ( x, z i ) 2.Тогда из аксиомы треугольника получаем нужное соотношение (x, mi )   ( x, z i )   ( z i , mi )   . ◄Утверждение 1.3.3.

Вполне ограниченное множество ограничено.► Пусть множество M вполне ограничено в метрическом пространстве X . Тогда при   1 существует конечная  -сеть для M ,состоящая из точек z1 , z2 ,.., zn  X , иnM   B ( zk ,1) .k 1nПокажем, что множество B( z ,1) ограничено, т. е.kk 1n B( z ,1)  B( z , r ) ,k1где r  max  ( z1 , zk )  1 .k  2,..., nk 1Действительно, пусть x n B( z ,1) . Тогда найдетсяkk0 такое, чтоk 1x  B( zk0 ,1) и ( z1 , x)   ( z1 , zk )   ( zk , x)   ( z1 , zk )  1  r .Следовательно, M  B( z1 , r ) , т. е. множество M ограничено.

◄000Пример 1.3.12. Единичная сфераS  {x  l1 : x  ( x1 , x2 ,..., xn ,...),| xn 1n|  1}ограничена, но не вполне ограничена в пространстве l1 .69Пусть   1 и A   -сеть для S . Покажем, что A не можетбыть конечным множеством.Рассмотрим последовательностьx ( n )  (0, 0, ..., 0,1, 0, 0,...)  S , n   .nТак как  ( x , x )  2 , n  m , то шары B ( x ( n ) ,1) , n   , попарно не пересекаются. В каждом шаре найдется точка  -сети A .Следовательно, A не является конечным множеством. ■Пример 1.3.13.

МножествоM  {x  l2 : x  ( x1 , x2 ,..., xn ,...), | xn |  |  n |, n  } ,(n)где| n 1n(m)|2   , замкнуто и вполне ограничено в пространстве l2 .Пусть x ( k )  ( x1( k ) , x2( k ) ,..., xn( k ) ,...)  M , k   , и x ( k )  x в пространстве l2 , где x  ( x1 , x2 ,..., xn ,...) . Тогда для всех n   имеемxn( k )  xn при k   , где| xn( k ) |  |  n | .Отсюда получаем | xn |  |  n |, n   , следовательно, x  M . Значит, множество M замкнуто.Зафиксируем произвольное число   0 и выберем такое натуральное число k , что2 | n |    .2n  k 1Каждой точке x  ( x1 , x2 ,..., xn ,...)  M сопоставим финитную по2следовательность x*  ( x1 , x2 ,..., xk , 0, 0,...) , тогда ( x, x * ) n  k 1| xn |2  |n  k 1n|2 2.Обозначим множество всех полученных финитных последовательностей x* через M * .

МножествоM k  {x  ( x1 , x2 , ..., xk ) : x*  ( x1 , x2 , ..., xk , 0, 0, ...)  M *}ограничено в пространстве  k , так как70kk | xn |2  (0, x )  |  n |2 n 1Ограниченное в kn 1| n 1n|2 .множество вполне ограничено. Поэтому длямножества M k найдется конечная{a ( p ) : a ( p )-сеть2( p)( p) (a1 , a2 ,..., ak( p ) ), p  1,..., P} ,где P   – некоторое фиксированное число. Тогда соответствующее множество{a*( p ) : a*( p )  (a1( p ) , a2( p ) ,..., ak( p ) , 0, 0,...), p  1,..., P}будет  -сетью в пространстве l2 для множества M .

Итак, вполнеограниченность множества M доказана. ■Пример 1.3.14. МножествоM  {x  C[0,1] : x(t )  k t 2 , k  [2, 4]}вполне ограничено в пространстве C[0,1] .Зафиксируем произвольное число   0 и построим конечную -сеть для M .Отрезок [2, 4] ограничен и, следовательно, вполне ограниченв 1 .

Действительно, рассмотрим разбиение отрезка [2, 4] точками2  k1  k2  ...  kn  4 ,где | ki  ki 1 |   для всех i  1,..., n  1. Полученное множество{k1 , k2 , ..., kn } образует конечную  -сеть для отрезка [2, 4] .Покажем, что множество функций {x1 , x2 , ..., xn } , гдеx j (t )  k j t 2 , j  1, 2, ..., n ,есть конечная  -сеть для M . Пусть x  M , т.

е.x(t )  k t 2 , k  [2, 4] .Выберем такое km , что | k  km |   . Тогда ( x, xm )  max | x(t )  xm (t ) |  max | k t 2  km t 2 |  | k  km |   . ■t[0,1]t[0,1]71Теорема 1.3.2. Для множества M в метрическом пространстве ( X ,  ) следующие утверждения эквивалентны:1) множество M компактно;2) из любой последовательности {xn }  M можно выделитьподпоследовательность {xnk } , сходящуюся к некоторой точ-ке x  M ;3) множество M вполне ограничено и подпространство( M ,  ) полно.Пример 1.3.15. Ограниченное и замкнутое множество M в пространстве  n является компактным.Действительно, по лемме Больцано  Вейерштрасса <1.3.3> излюбой последовательности, содержащейся в ограниченном множестве M , можно выбрать подпоследовательность, сходящуюсяв  n .

В силу замкнутости множества M предел подпоследовательности принадлежит M . ■Пример 1.3.16. МножествоM  {x  C[0,1] : x(t )  k t 2 , k  [2, 4]}компактно в пространстве C[0,1] .Покажем, что из любой последовательности {xn }  M можновыделить подпоследовательность {xn j } , сходящуюся к некоторойточке x0  M . Пусть xn (t )  kn t 2 , n   . Так как kn  [2, 4] , тосуществует подпоследовательностьkn j  k0  [2, 4] .j Покажем, что xn j  x0  M , где x0 (t )  k0 t 2 .

Действительно,j  ( xn , x0 )  max | xn (t )  x0 (t ) |  max | kn t 2  k0 t 2 | jt[0,1]t[ 0,1]jj | kn j  k0 |  0 . ■j Определение 1.3.8. Множество M называется относительнокомпактным в метрическом пространстве X , если его замыканиеM компактно.72Это определение эквивалентно следующему определению.Определение 1.3.8*. Множество M называется относительнокомпактным в метрическом пространстве X , если из любой последовательности {xn }  M можно выделить подпоследовательность {xnk } , сходящуюся в X .Пример 1.3.17.

Рассмотрим два метрических пространстваX 1  ([0,1] ,  (q1 , q2 )  | q1  q2 |),X 2  ([0,1],  ( x1 , x2 )  | x1  x2 |)и множество1M  {q   : q  (0, )} .2Очевидно, что M  X 1 и M  X 2 .Множество M не относительно компактно в X 1 , так как в Mсуществует последовательность, из которой нельзя выбрать подX1последовательность,сходящуюсяв(например,11(1  ) n , n   ).10nМножество M относительно компактно в X 2 , так как из любойпоследовательности в M можно выбрать подпоследовательность,сходящуюся в X 2 .

Это следует из леммы Больцано  Вейерштрасса 1.3.3 и полноты пространства X 2 . ■Теорема 1.3.3 (теорема Хаусдорфа). Пусть X  метрическоепространство. Для того чтобы множество M было относительно компактным в X , необходимо, а в случае полноты пространства X и достаточно, чтобы множество M было вполне ограничено в X .►  Пусть M  относительно компактное в X множество и  0  произвольное фиксированное число. Докажем, что в Xсуществует конечная  -сеть для M .Рассмотрим произвольную точку x1  M . Если M  B( x1 ,  ) ,то множество {x1} есть конечная  -сеть для M , в противном слу-xn 73такая, что  ( x1 , x2 )   . Есличае существует точка x2  MM  ( B( x1 ,  )  B( x2 ,  )) , то множество {x1 , x2 } есть искомая  сеть, в противном случае существует точка x3  M такая, что ( x1 , x3 )   и  ( x2 , x3 )   .

Продолжая указанный процесс, имеемдве возможности.1) Процесс закончится через конечное число шагов, т. е. найдутnся точки x1 , x2 ,..., xn  M такие, что M   B ( xi ,  ) . В этом случаеi 1множество {x1 , x2 ..., xn } есть искомая  -сеть.2) Процесс длится бесконечно, что означает существование последовательности {xn }n 1  M такой, что  ( xi , x j )   ( i  j ). Ноэто противоречит относительной компактности множества M , таккак из данной последовательности нельзя выбрать сходящуюсяподпоследовательность.Таким образом, возможен только первый случай, т.