1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (Люлько, Максимова - Функциональный анализ. Теоремы и задачи), страница 4

Замыкание M любого множества M  X естьзамкнутое множество в метрическом пространстве X .Действительно, в силу утверждения 1.1.3, п.2) имеем M  M . ■Пример 1.1.16. В метрическом пространстве X открытый шарB( x, R) , R  0 , является открытым множеством, а замкнутый шарB[ x, R] – замкнутым множеством.Покажем, что все точки открытого шара являются внутренними.Пусть y  B ( x, R ) , т.

е.  ( x, y )  R . Возьмем число   0 такое,что   R   ( x, y ), тогда  -окрестность точки y содержится вшаре B ( x, R ) . Действительно, пусть z  B ( y,  ) , тогда из аксиомытреугольника имеем ( z , x )   ( z , y )   ( y , x )     ( y , x )  R,т. е. z  B( x, R) , что означает B ( y,  )  B ( x, R) .Покажем, что замкнутый шар B[ x, R ] содержит все свои точкиприкосновения. Пусть y  X – точка прикосновения шара, тогда,поопределению1.1.8*,существуетпоследовательностьтакая,чтоxy.Докажем,чтоy  B[ x, R] .xB[x,R] nnПринадлежность точки xn шару B[ x, R ] означает ( xn , x)  R,n  .Перейдем в этом числовом неравенстве к пределу при n   .

Всилу непрерывности метрики (утверждение 1.1.1) получаем ( у, x)  R , т. е. y  B[ x, R] . ■25Пример 1.1.17. В дискретном пространстве X любое множество M  X является одновременно и открытым, и замкнутым.Действительно, из примера 1.1.11 вытекает, что любое множество M  X в дискретном пространстве открыто, так как все точкимножества M внутренние. Поэтому множество X \ M также открыто. По теореме 1.1.1 множество M замкнуто в пространстве X . ■Пример 1.1.18. МножестваM 1  { x  C [0,1] : x(t )  e  t ,   [1, 2]},M 2  { x  C [0,1] : x(t )  e  nt , n  }замкнуты в пространстве C[0,1] .Докажем, что множество M 1 замкнуто, потому что оно содержит все свои точки прикосновения.

Пусть x0  C[0,1] – точка прикосновения множества M 1 . Тогда существует последовательность{xn }  M 1 такая, что x n  x0 в пространстве C[0,1] . Докажем,что x0  M 1 .Так как x n  M 1 , то x n (t )  e n t, где  n  [1, 2] , n   . Чи-словая последовательность { n } ограничена, поэтому существуетподпоследовательность { nk } такая, что  nk   0  [1, 2] . В силуk непрерывностиxnk (t )  e nk tэкспоненциальнойek  0 tфункциисправедливо,чтодля любого t  [0, 1] .

Так как x n  x0 впространстве C[0,1] , то xnk  x0 в C[0,1] . С другой стороны, изk равномерной сходимости в пространстве C[0,1] следует поточечная сходимость, поэтому xnk (t )  x0 (t ) для любого t  [0, 1] . Вk силу единственности предела числовой последовательности имеемx0 (t )  e 0t , t  [0,1] . Итак, множество M 1 замкнуто в C[0,1] .Докажем, что множество M 2 замкнуто, потому что оно не имеетпредельных точек. Пусть x0  C[0,1] – предельная точка множест26ва M 2 .

Тогда существует последовательность {xk }  M 2 такая, чтоxk  x0 в пространстве C[0,1] и xk  x0 , k   .Так как xk  M 2 , то xk (t )  e nk t, где nk   при k   . Изравномерной сходимости в пространстве C[0,1] следует поточечная сходимость, но поточечным пределом рассматриваемой последовательности является разрывная функция 1, t  0,x(t )  0, 0  t  1.Поэтому множество M 2 не имеет предельных точек в пространстве C[0,1] . ■Пример 1.1.19. МножествоM  {x  C[0,1] : x(t )  k t 2 , k  [2, 4]}замкнуто в пространстве C[0,1] .Пусть x0  C[0,1] – точка прикосновения множества M .

Тогдасуществует последовательность {xn }  M такая, что x n  x 0 впространстве C[0,1] . Докажем, что x0  M .Если x n  M , то xn (t )  kn t 2 , где kn  [2, 4] , n   . Так как ( xn , x0 )  max | xn (t )  x0 (t ) |  max | kn t 2  x0 (t ) |  0 ,t[0,1]t[0,1]n то для всех t  [0,1] имеет место поточечная сходимость:| xn (t )  x0 (t ) |  max | xn (t )  x0 (t ) |  0 .t[0,1]n Следовательно,| xn (1)  x0 (1) |  | kn  x0 (1) |  0 .n Отрезок [2, 4] есть замкнутое множество в 1 , поэтомуlim kn  x0 (1)  [2, 4] .n Обозначим k  x0 (1) и рассмотрим функцию y (t )  k t 2 .

Последовательность {xn } сходится к y  M в C[0,1] , так как ( xn , y )  max | kn t 2  kt 2 |  | kn  k |  0 .t[0,1]n 27В силу единственности предела x0  y  M . ■Пример 1.1.20. МножествоM  {x : x  ( x1 , x2 ,..., xn ,...), | xn | 1, n  }nне является открытым ни в пространстве l , ни в пространстве l2 .В пространстве l рассмотрим точку x  ( x1 , x2 ,..., xn ,...) , где1, n   . Очевидно, что x  M . Покажем, что x не являет2nся внутренней точкой множества M , т.

е. для любого числа   0найдется такая точка y  ( y1 , y2 ,..., yn ,...)  l , что y  B( x,  )и yM .Зафиксируем произвольное   0 и положим1 yn  , n .2n 2xn Так как | xn  yn | 2, n   , то ( x, y )  sup xn  yn  ,2nи, следовательно, y  B( x,  ) . При этом y  M . Действительно,1 , имеем2N 21 111yN   .2N 2 2N 2N NВ пространстве l2 рассмотрим точку1 11x  ( , ,...,,...) .2 3n 1Очевидно, что x  M .

Покажем, что точка x не является внутренней точкой множества M . Для этого в любом шаре B( x,  ) найдемтакую точку y  l2 , что y  M .для N такого, что28Зафиксируем произвольное   0 и выберем m   такое,что1  . Положимm1 11 111,...) y  ( y1 ,..., ym ,...)  ( , ,..., , ,2 3m m 1 m m  21 x  (0, 0,..., 0, , 0, 0,...)  l2 .mm 1Так как  ( x, y ) 1  , то y  B ( x,  ) .

При этом y  M , так какm11 1ym   .■m 1 m mПример 1.1.21. МножествоM  {x : x  ( x1 , x2 ,..., xn ,...), | xn |  1, n  }не является ни открытым, ни замкнутым в пространстве l .В примере 1.1.5 доказано, что B (0, 1)  M  B[0, 1] . Покажем,что точка1 21x  ( x1 , x2 ,..., xn ,...)  (0, , ,...,1  ,...)  Mn2 3не является внутренней точкой множества M , т. е. для любого числа   0 найдется такая точка y  ( y1 , y2 ,..., yn ,...)  l , чтоy  B ( x,  ) и y  M .Зафиксируем произвольное   0 и положим1 yn  1   , n   .n 2Так как| xn  yn | 2, n ,то ( x, y )  sup | xn  yn | n292.Следовательно, y  B ( x,  ) .

При этом y  M . Действительно, для1  , имеемN 21 1 1yN  1    1    1 .N 2N NТочка x  (1, 0, 0,...)  M  предельная точка множества M , так1как последовательность точек y ( n )  (1  , 0, 0,...)  M , n   ,n1сходится к x в пространстве l (  ( x, y ( n ) )   0 ).nТаким образом, множество M не является ни открытым, ни замкнутым в пространстве l .

■Определение 1.1.18. Расстоянием от точки x  X до непустого множества A  X называется число ( x, A)  inf  ( x, y ) .N такого, чтоyAЕсли существует такая точка y 0  A , что  ( x, A)   ( x, y 0 ) , то y 0называется наилучшим элементом приближения точки x элементами множества A .Если А   , то полагают  ( x, )   .Определение 1.1.19.

Расстоянием между непустыми множествами A, B  X называется число ( A, B )  inf  ( x, y ) .x A, yBЕсли А   или В   , то полагают  ( A, В )   .Пример 1.1.22. В пространствах  2 ,  12 ,  2 рассмотрим тримножества (рис. 3):A1  (1, b) : b   ,A2  (a, b) : a  1, b   ,A3  (a, b) : a 2  b 2  1 .30А10А2А2110А3101Рис. 3Расстояния от точки x0  (0, 0) до множеств A1 , A2 в указанныхпространствах имеют следующие значения:  ( x0 , A1 )  inf   ( x0 , y )  inf 1 | b |2  1 ,22y A1b  ( x0 , A1 )  inf   ( x0 , y )  inf (1 | b |)  1 ,2121y A1b| b |, | b |  1, 1,b 1, | b |  1,  ( x0 , A1 )  inf   ( x0 , y )  inf max 1,| b |  inf 2y A12b  ( x0 , A2 )  inf   ( x0 , y )  inf2y A22b| 1|2  | b |2  1 ,  ( x0 , A2 )  inf   ( x0 , y )  inf (| 1|  | b |)  1 ,2121y A2b  ( x0 , A2 )  inf   ( x0 , y )  inf max | 1|, | b | 22y A2b| b |, | b |  1, inf  1.b 1, | b |  1,Рассмотрим множество A3 .

Очевидно, что  ( x0 , A3 )  inf   ( x0 , y )  inf2y A32a 2  b 2 1Покажем, что| a |2  | b |2  1 .  ( x0 , A3 )  inf   ( x0 , y )  inf (| a |  | b |)  1 .21y A321a 2  b 2 131Для этого найдем минимальное значение непрерывной функцииu  a + b на замкнутом ограниченном множестве{(a, b) : a 2  b 2  1, a  0, b  0} .(1)Составим функцию ЛагранжаF (a, b)  a  b   (a 2  b 2  1)и найдем условно стационарные точки на множестве (1). Решимсистему11,a,a/22 Fa  1  2 a  0, /11,  b , Fb  1  2b  0,  b  2222 a  b  1,a 2  b 2  1,1.  2 1 1 ,Сравним значения функции u в точках (0, 1), (1, 0), : 2 2 1 1 ,u(0, 1)  1, u(1, 0)  1, u  2. 2 2Таким образом, минимальное значение функции u на рассматриваемом множестве равно 1.Покажем, что  ( x0 , A3 )  inf   ( x0 , y )  inf max | a |, | b | 2y A32a 2  b 2 1| b |, | a |  | b |, 1 2inf2 .a  b 1 | a |, | a |  | b |,2Действительно, как видно на рис.

4, функция| b |, | a |  | b |,u ( a, b)  | a |, | a |  | b |,32принимает на единичной окружности минимальное значение, равное11, когда | a |  | b | .■22|a|  |b|b|a|  |b||a|  |b||a|  |b|0|a|  |b|1a|a|  |b|Рис. 4Пример 1.1.23. В пространстве  2 наилучшими элементамиприближения точки x0  (0, 0) элементами множеств A1 , A2 , A3из примера 1.1.22 будут следующие точки (рис. 5):А101А2-1А20Рис. 5331А3011) единственная точка y0  (1, 0) для множества A1 ;2) две точки y0  (1, 0) для множества A2 ;3) бесконечно много точек y0 , а именно, все точки единичнойокружности с центром в x0  (0, 0) , для множества A3 .В метрическом пространстве  12 наилучшими элементами приближения точки x0  (0, 0) элементами множеств A1 , A2 , A3 изпримера 1.1.22 будут следующие точки (рис.

6):1) единственная точка y0  (1, 0) для множества A1 ;2) две точки y0  (1, 0) для множества A2 ;3) четыре точки y0  (1, 0) , y0  (0,  1) для множества A3 .0А1А21-1А2011-10А31-1Рис. 6В метрическом пространстве  2 наилучшими элементами приближения точки x0  (0, 0) элементами множеств A1 , A2 , A3 изпримера 1.1.22 будут следующие точки (рис. 7):1) бесконечно много точек y0  (1, b) , | b |  1 , для множества A1 ;2) бесконечно много точек y0  (1, b) , | b |  1 , для множества A2 ;343) четыре точки y0  (12 , 12) , y0  (12 , 12)для множества A3 . ■А1А2А2А311010-1-1101-1Рис.

7Пример 1.1.24. В пространстве C[0,1] найдем расстояние (a, A) от точки a  C[0,1] до множестваA  {x C [0,1] : x (t )  c, c  } ,если a (t )  2t .По определению 1.1.18, (a, A)  inf  (a, x) ,x Aгде (a, x)  max | 2t  c |  F (c) .0 t 1Непосредственными вычислениями находим 2  c, c  1,F (c )   c, c  1.Следовательно, (a, A)  inf  (a, x)  min F (c)  1 .x AcИтак,  ( a, A)  1 и x (t )  1  единственный наилучший элементприближения точки а элементами множества A . ■35Задачи1.1.1. Доказать, что если функция  : X  X   удовлетворяетследующим условиям:1)  ( x, y )  0  x  y;2)  ( x, y )   ( x, z )  ( y , z )для любых x, y , z  X , то  задает метрику на множестве X .1.1.2.

Доказать, что в произвольном метрическом пространстве X выполняется неравенство четырехугольника|  (a, b)   (c, d ) |   (a, c)   (b, d ) ,где a, b, c, d  X .1.1.3. Будут ли следующие функции определять метрику намножестве всех вещественных чисел:2)  ( x, y )  | x 2  y 2 | ;1)  ( x, y )  | x  y | ;4)  ( x, y )  | e x  e y | ;3)  (x, y )  arctg | x  y | ;6)  ( x, y )  e | x  y| ?5)  ( x, y )  | arctg x  arctg y | ;1.1.4.