1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (Люлько, Максимова - Функциональный анализ. Теоремы и задачи), страница 2

■При сравнении мощностей множеств A и B возможны случаи:1) A ~ B  m( A)  m( B ) ;2) A ~ B1 , B1  B , но в A нет подмножества, эквивалентного B  m( A) < m(B) .Теорема Кантора  Бернштейна. Пусть множество A эквивалентно подмножеству B1 множества B , а B эквивалентно подмножеству A1 множества A .

Тогда множество A эквивалентномножеству B , т. е. m( A)  m( B ) .Пример П5. Пусть A  произвольное множество и B  множество всех подмножеств множества A , тогда m( A)  m( B ) .Для конечных множеств A утверждение доказывается методомматематической индукции.Пусть множество A бесконечно. Рассмотрим в B подмножество B1 всех одноэлементных множеств. Так как A  B1 , тоm( A)  m( B) .

Покажем, что m( A)  m( B ) , т. е. A  B .От противного. Пусть A  B , т. е. каждому элементу a  Aможно взаимно однозначно сопоставить подмножество ba  B .Возможны только два случая: a  ba или a  ba . Например, еслиba   , то a  ba , а если ba  A , то a  ba . Рассмотрим непустоемножество b* всех элементов a  A таких, что a  ba . По предположению, подмножеству b*  B взаимно однозначно сопоставляется элемент a*  A , при этом a*  b* или a*  b* . Заметим, что обаслучая невозможны:a*  b*  ba*  a*  b* ,a *  b*Получаем противоречие. ■9a*  ba*  b* .Задачи П1.

Доказать, что любое подмножество счетного множества конечно или счетно.П2. Доказать, что всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.П3. Доказать, что конечное или счетное объединение счетныхмножеств есть счетное множество.П4. Пусть A и B  счетные множества. Доказать, что множество пар (a, b) : a  A, b  B счетно.П5. Доказать счетность множества  рациональных чисел.П6. Доказать счетность множества всех точек плоскости с рациональными координатами.П7.

Доказать эквивалентность множеств  целых чисел и рациональных чисел.П8. Доказать несчетность множества всех действительных чиселинтервала (0,1) .П9. Доказать, что множество всех действительных чисел отрезка[0,1] и множество всех действительных чисел интервала (0,1)имеют одинаковую мощность.П10. Доказать, что множество  всех действительных чисел эквивалентно множеству всех действительных чисел любого интервала (a, b) , где a  b .П11. Доказать равномощность множеств: 1) ( x, y ) : x, y  , x 2  y 2  1 и ( x, y ) : x, y  , x 2  y 2  1 ;2) ( x, y ) : x, y  (0,1] и  x : x  (0,1] .П12. Доказать, что множество всех многочленов с рациональными коэффициентами счетно.П13. Пусть A  произвольное конечное множество.

Доказать,что мощность множества всех подмножеств множества A большемощности множества A .Для решения задач данного параграфа рекомендуется книга [11].10П14. Доказать несчетность множества всех подмножеств множества натуральных чисел  .П15. Доказать счетность множества всех конечных подмножествсчетного множества.П16. Доказать несчетность канторова множества  .П17. Пусть A  бесконечное множество. Множество B получено из A добавлением к нему произвольного счетного множества.Доказать, что A и B имеют одинаковую мощность.П18.

Доказать, что любое бесконечное множество A эквивалентно некоторому своему собственному подмножеству B  A .П19. Доказать, что если расстояние между любыми двумя точками множества E на числовой прямой больше единицы, то множество E конечно или счетно.П20. Доказать, что любое множество попарно непересекающихся интервалов на числовой прямой не более чем счетно.П21. Доказать, что монотонная функция, определенная на числовой прямой, имеет не более чем счетное множество точек разрыва.П22. Какова мощность множества всех действительных чисел,заключенных между 0 и 1, в разложении которых в бесконечнуюдесятичную дробь отсутствуют цифры 4 и 6?П23.

Какова мощность множества всех действительных чисел,заключенных между 0 и 1, в разложении которых в бесконечнуюдесятичную дробь цифра 7 находится на пятом месте?П24. Какова мощность множества всех строго возрастающих последовательностей натуральных чисел?П25. Какова мощность множества всех последовательностей натуральных чисел?П26. Доказать, что множество всех последовательностей действительных чисел имеет мощность континуума.П27. Доказать, что множество всех непрерывных функций, определенных на отрезке [a, b] , a  b, имеет мощность континуума.П28. Привести пример множества функций, мощность которогобольше мощности континуума.Определение канторова множества см. в [8].11П29.

Пусть A  несчетное множество точек на плоскости. Доказать, что найдется круг с центром в точке (0, 0) , содержащий несчетное множество точек из A .П30. Пусть A \ B ~ B \ A . Доказать, что A ~ B .П31. Пусть A ~ C , B ~ D , где B  A , D  C . Следует ли отсюда, что A \ B ~ C \ D ?П32. На плоскости построено множество непересекающихсябукв Г, отрезки которых параллельны осям координат. Может лиэто множество быть несчетным?12Глава 1. Метрические пространства§ 1.1. Метрические пространстваМетрическое пространство: определение, примеры. Открытые и замкнутые множества.Пусть X  произвольное множество.Определение 1.1.1. Функция  : X  X   называется метрикой, если она определена для всех x, y  X и удовлетворяет следующим условиям (аксиомам):1)  ( x, y )  0 , x, y  X (неотрицательность);2)  ( x, y )  0 тогда и только тогда, когда x  y (аксиома тождества);3)  ( x, y )   ( y, x) , x, y  X (аксиома симметрии);4)  ( x, y )   ( x, z )   ( z , y ) , x, y, z  X (аксиома треугольника).Определение 1.1.2.

Метрическим пространством называетсямножество X с введенной на нем метрикой  .Метрическое пространство обозначается или парой ( X ,  ) , илиодной буквой X . Элементы метрического пространства называются точками. Число  ( x, y ) называется расстоянием между точками x, y .Если  – метрика на множестве X , то сужение  на любоеподмножество Y  X также есть метрика (будем обозначать ее тойже буквой  ).13Определение 1.1.3.

Если Y  X , то метрическое пространство (Y ,  ) называется подпространством метрического пространства ( X ,  ) .Примеры метрических пространств:1) ( X ,  )  дискретное пространство, где X  произвольноенепустое множество с метрикой0, x  y ,1, x  y ; ( x, y )  2) 1  множество всех действительных чисел x   с метрикой ( x, y )  | х  у | ;3) пусть X   x : x  ( x1 ,..., xn ), xk  , k  1, 2,..., n , где n  1 фиксированное натуральное число. Введем следующие метрические пространства: np , 1  p   ,  множество X с метрикой1 np ( x, y )    | xk  yk | p  ; k 1n   множество X с метрикой ( x, y )  max | xk  yk | .1 k  nn2Пространство  обозначается  n ;4) l p , 1  p   ,  множество всех последовательностейх  ( х1 ,..., х n ,...) действительных чисел таких, чтос метрикой1 p ( x, y )    | xn  yn | p  ; n 114| xn 1n|p   ,5) l  множество всех последовательностей х  ( х1 ,..., х n ,...)действительных чисел таких, что sup | xn |   , с метрикойn ( x, y )  sup | xn  yn | ;n6) c0  множество всех сходящихся к нулю последовательностейх  ( х1 ,..., х n ,...) действительных чисел с метрикой ( x, y )  max | xn  yn | ;nc  множество всех сходящихся последовательностейх  ( х1 ,..., х n ,...) действительных чисел с метрикой ( x, y )  sup | xn  yn | ;7)n8) C[a, b]  множество всех непрерывных на отрезке [a, b]функций x с метрикой ( x, y )  max | x(t )  y (t ) | ;t[ a ,b ]9) C [a, b] , n   ,  множество всех функций x , непрерывнодифференцируемых на отрезке [a, b] до порядка n включительно, сметрикойnn ( x, y )   max | x ( k ) (t )  y ( k ) (t ) | ,k 0t[ a ,b ]где x (0) (t )  x(t ) , x ( k ) (t )  k -я производная функции x (t ) ,t  [ a, b ] ;10)L p [a, b] , 1  p   ,  множество всех непрерывных на от-резке [a, b] функций x с метрикой1bp ( x, y )    | x(t )  y (t ) | p dt  ;a1511) Lp [ a, b] , 1  p   ,  множество всех измеримых на отрезке [a, b] функций x , интегрируемых по Лебегу со степенью p  ,c метрикой1p| x(t )  y (t ) | p dt  . [ a ,b ]Функции x и y считаются равными, если x(t )  y (t ) для почтивсех t  [a, b] ;12) L [a, b]  множество всех измеримых и существенно ограниченных на отрезке [a, b] функций x (т.

е. для каждой функции xсуществует такая константа C x , что | x(t ) |  Cx почти всюдуна [a, b] ), с метрикой ( x, y )  vrai max | x(t )  y (t ) |  inf ( sup | x(t )  y (t ) |) , ( x, y )   (E)0t[ a ,b ]t[ a ,b ]\ Eгде  ( E )  мера Лебега множества E . Функции x и y считаютсяравными, если x(t )  y (t ) для почти всех t  [a, b] .Замечание 1.1.1. Выражениеvrai max | x(t ) |  inf ( sup | x(t ) |) ( E )0t[ a ,b ]t[ a ,b ]\ Eназывается существенным максимумом функции | x | на отрезке [a, b] и иногда обозначается ess sup | x(t ) | .t[ a ,b ]Определение 1.1.4.

В метрическом пространстве X открытымшаром с центром в точке a  X радиуса r  0 называется множествоB(a, r )  x  X :  ( x, a)  r,x  L p [ a , b] p| x(t ) | dt   , где интеграл понимается в смысле Лебе-[ a ,b ]га. В дальнейшем интегралы Лебега будем обозначать[ a ,b ]16b... или  ... .aзамкнутым шаром  множествоB [ a , r ]   x  X :  ( x, a )  r .Определение 1.1.5. Открытый шар B (a,  ) в метрическом пространстве X называется  -окрестностью точки a .Определение 1.1.6. Множество M  X в метрическом пространстве X называется ограниченным, если оно содержится в не-котором шаре.Пример 1.1.1.