Лекции в электронном виде (Лекции Пугачев), страница 7

Îáà îíè ÿâëÿþòñÿ äîñòàòî÷íûìè, íî íåÿâëÿþòñÿ íåîáõîäèìûìè, êàê ïîêàçûâàþò ñëåäóþùèå äâà ïðèìåðà.1óäîâëåòâîðÿåò ïðèçíàêó Äèðèõëå, íî íå2 − ln |x|óäîâëåòâîðÿåò ïðèçíàêó Äèíè â òî÷êå 0.Ôóíêöèÿ g(x) = x2 cos(1/x) âî âñåõ òî÷êàõ äèôôåðåíöèðóåìà =⇒ óäîâëåòâîðÿåòïðèçíàêó Äèíè, íî íå óäîâëåòâîðÿåò ïðèçíàêó Äèðèõëå.Ïðèìåð 10.1. Ôóíêöèÿ f (x) =Çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå îò ñâîéñòâ ôóíêöèèÏóñòü ôóíêöèÿ f (x) ðàçëîæåíà â ðÿä Ôóðüå, ïîòî÷å÷íî ñõîäÿùèéñÿ ê íåé:∞a0 Xf (x) =+ak cos kx + bk sin kx ,2k=16 Áóäåòäîêàçàí íà ïîñëåäíåé ëåêöèè35ãäå1ak =πZπf (t) cos kt dt,k ∈ N ∪ {0};1bk =π−πZπf (t) sin kt dt,k ∈ N.−πÊîýôôèöèåíòû òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ðÿäà ak , bk ñâÿçàíû ñ êîýôôèöèåíòàìè Ôóðüåñîîòíîøåíèÿìèrc2k−12c2k; ak = √ ; b k = √ .a0 = c 0πππÑ ó÷åòîì ýòèõ ñîîòíîøåíèé ìîæíî ïåðåïèñàòü ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ â âèäå∞Xπ 2kf k = a0 + π(a2k + b2k ).2k=12Ïîñêîëüêó ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ, ïîëó÷àåì ak → 0, bk → 0 ïðè k → ∞.×åòíîñòü è íå÷åòíîñòü.

Íåïîëíûå ðÿäû ÔóðüåÅñëè ôóíêöèÿ f ∈ Eo [−π; π] ÷åòíà, òî bk = 0 ∀k ∈ N, è ïîëó÷èòñÿ ðÿä Ôóðüå èçêîñèíóñîâ∞a0 Xf (x) =+ak cos kx .2k=1Åñëè æå ôóíêöèÿ f ∈ Eo [−π; π] íå÷åòíà, òî ak = 0 ∀k ∈ N ∪ {0}, è ïîëó÷èòñÿ ðÿäÔóðüå èç ñèíóñîâ. Åñëè ôóíêöèÿ çàäàíà òîëüêî íà ïîëóïåðèîäå, ìû ìîæåì ñ÷èòàòüåå ÷åòíîé èëè íå÷åòíîé, ñîîòâåòñòâåííî ðàçëîæèòü ïî êîñèíóñàì èëè ïî ñèíóñàì:Òåîðåìà 10.1.

Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) íà îòðåçêå [0; π] èìååò êîíå÷íîå ìíîæåñòâîòî÷åê ðàçðûâà è òîëüêî I ðîäà, è ïóñòü â êàæäîé òî÷êå ðàçðûâà a ∈ (0; π) âûïîëíåíîf (a) =f (a − 0) + f (a + 0).2Ïóñòü f êóñî÷íî-ìîíîòîííà.a) Åñëè f íåïðåðûâíà â 0 è π , òî îíà ðàñêëàäûâàåòñÿ â ðÿä èç êîñèíóñîâ∞a0 X+ak cos kx ,f (x) =2k=12ãäå ak =πZπf (t) cos kt dt,k ∈ N ∪ {0}.0b) Åñëè f (0) = f (π) = 0, òî îíà ðàñêëàäûâàåòñÿ â ðÿä èç ñèíóñîâf (x) =∞Xk=1bk sin kx ,2ãäå bk =πZπf (t) sin kt dt,036k ∈ N.Äîêàçàòåëüñòâî.

 ñëó÷àå à) ïðîäîëæèì ôóíêöèþ f íà îòðåçîê [−π; π], ñäåëàâ åå÷åòíîé: f (−x) = f (x) ∀x ∈ (0; π].  ñëó÷àå á) ïðîäîëæèì f íà îòðåçîê [−π; π],ñäåëàâ åå íå÷åòíîé: f (−x) = −f (x) ∀x ∈ (0; π].  îáîèõ ñëó÷àÿõ ìû ïîëó÷èì ôóíêöèþ f ∈ Eo [−π; π], óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèÿì ïðèçíàêà Äèðèõëå ïîòî÷å÷íîé ñõîäèìîñòè. Äëÿ ÷åòíîé ôóíêöèè ïîëó÷èì bk = 0, à èíòåãðàëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ akñâåäóòñÿ ê èíòåãðàëàì îò 0 äî π .

Äëÿ íå÷åòíîé ôóíêöèè íàîáîðîò.Ïðèìåð 10.2. Ïóñòü íà (0; π) äàíà ôóíêöèÿ f (t) = t2 − 5. Åñëè ðàçëîæèòü åå ïîêîñèíóñàì (äîîïðåäåëèâ â òî÷êàõ 0 è π ïî íåïðåðûâíîñòè), òî ïîëó÷èòñÿ ðÿä, ñóììóêîòîðîãî ìû îáîçíà÷èì C(t). Åñëè æå ðàçëîæèòü f (t) ïî ñèíóñàì (äîîïðåäåëèâ f (0) =f (π) = 0), òî ïîëó÷èòñÿ ðÿä, ñóììó êîòîðîãî ìû îáîçíà÷èì S(t). Ãðàôèêè ýòèõôóíêöèé âûãëÿäÿò òàê:Ïîðÿäîê ìàëîñòè êîýôôèöèåíòîâÎïðåäåëåíèå 10.1.

Ôóíêöèÿ f (x) ñ ïåðèîäîì 2π íàçûâàåòñÿ m ðàç êóñî÷íî-íåïðå-ðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé, åñëè1) îíà èìååò íåïðåðûâíóþ (m − 1)-þ ïðîèçâîäíóþ;2) ñóùåñòâóþò òî÷êè −π = a0 < a1 < . . . < an = π , òàêèå, ÷òî f (m−1) íåïðåðûâíîäèôôåðåíöèðóåìà íà èíòåðâàëàõ (ai−1 ; ai ), i = 1, 2, . . . , n;3) ñóùåñòâóþò îäíîñòîðîííèå ïðîèçâîäíûå (f (m−1) )0 (ai ± 0).Çàìåòèì, ÷òî ïî òåîðåìå Ëàãðàíæà (x̃ ìåæäó ai è x) ñóùåñòâóåòf (m−1) (x) − f (m−1) (ai )= lim f (m) (x̃) = lim f (m) (x).x→ai ±0x→ai ±0x→ai ±0x − ai(f (m−1) )0 (ai ± 0) = limËåììà 10.1. Ïóñòü ôóíêöèÿ f ∈ Eo [−π; π] êóñî÷íî-íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàíà [−π; π]. Òîãäà ðÿä Ôóðüå äëÿ f ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî, à êîýôôèöèåíòû òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ðÿäà αk , βk äëÿ f 0 ñâÿçàíû ñ êîýôôèöèåíòàìè ak , bk äëÿ ñàìîé fòàêèìè ñîîòíîøåíèÿìè:α0 = 0;αk = k · bk ;βk = −k · ak .Äîêàçàòåëüñòâî. Èìåííî òàêèå ñîîòíîøåíèÿ äîëæíû ïîëó÷èòüñÿ ïðè ïî÷ëåííîìäèôôåðåíöèðîâàíèè ðÿäà. Íî ïðèìåíèòü òåîðåìó 4.3 ìû íå ìîæåì: ðÿä Ôóðüå äëÿ37f 0 ìîæåò ñõîäèòüñÿ íåðàâíîìåðíî.

Âû÷èñëèì αk è βk íåïîñðåäñòâåííî:α0 = π1 (f (π) − f (−π)) = 0 ïî ôîðìóëå ÍüþòîíàËåéáíèöà;1αk =πZπ−πn Zai1Xcos kt f (t)dt =cos kt df (t) =π i=10ïî ÷àñòÿìai−1n Zain1X1Xf (t)k sin kt dt;=(cos(kai )f (ai ) − cos(kai−1 )f (ai−1 )) +π i=1π i=1ai−1|{z} |{z}=0k·bkàíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì βk = −k · ak .

Ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ðÿäà Ôóðüå äëÿ fäîêàæåì ïî êðèòåðèþ Âåéåðøòðàññà, ïîñòðîèâ ñõîäÿùóþñÿ ìàæîðàíòó∞X(|ak | + |bk |) =∞X|βk | + |αk |k=1k=1k:A2 + B 2è (|A| + |B|)2 ≤ 2(A2 + B 2 ) ïîëó÷àåì2NNNXXX|βk | + |αk |1≤(βk2 + αk2 ) +−→ 0,2 N >M →∞kkk=M +1k=M +1k=M +1ïî íåðàâåíñòâàì |AB| ≤ïîñêîëüêó ðÿäû∞Pk=1(βk2 + αk2 ) è∞Pk −2 ñõîäÿòñÿ.k=1Ñëåäñòâèå 10.1. Ïóñòü ôóíêöèÿ f ∈ Eo [−π; π] êóñî÷íî-íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàm ðàç. Òîãäà êîýôôèöèåíòû òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ðÿäà äëÿ f ÿâëÿþòñÿ ìàëûìèâèäà o(1/k m ) ïðè k → ∞.Äîêàçàòåëüñòâî.

Îáîçíà÷èì ÷åðåç αk , βk êîýôôèöèåíòû òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ðÿäàäëÿ f (m) . Êàê ìû çíàåì, αk → 0, βk → 0 ïðè k → ∞. Åñëè m ÷åòíî, òî |ak | = |αk |/k m ,|bk | = |βk |/k m ; ïðè íå÷åòíîì m, ñîîòâåòñòâåííî, |ak | = |βk |/k m , |bk | = |αk |/k m .Ïðèìåð 10.3. Ðàçëîæèòü f (t) = t2 â òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä íà [−π; π].Ïîòî÷å÷íàÿ ñõîäèìîñòü åñòü. Ôóíêöèÿ ÷åòíàÿ =⇒ ïîëó÷èòñÿ ðÿä èç êîñèíóñîâ∞a0 Xt =+ak cos kt.2k=12Ôóíêöèÿ êóñî÷íî äèôôåðåíöèðóåìà. Åå ïðîèçâîäíàÿ ðàâíà f 0 (t) = 2t =∞X4(−1)k−14(−1)k−1=sin kx (ñì. ïðèìåð 9.1). Ñëåäîâàòåëüíî, ak =.k−k 2k=1Tîëüêî êîýôôèöèåíò a0 íàäî âû÷èñëèòü îòäåëüíî2a0 =πZπt2 dt =0382 t3 π 2π 2· =.π 3 03∞π 2 X 4(−1)kÏîëó÷àåì ðàçëîæåíèå íà [−π; π] : t =+cos kx .

Ñîñòàâèì ðàâåíñòâî23kk=1Ïàðñåâàëÿ.Z π∞Xt5 π 2π 5π 224kf k = 2t dt = 2 == a0 + πa2k =55200k=12∞ ∞XX4(−1)k 2 2π 51π 2π 2 2=+π=+16π.2 3k29k4k=1k=1∞X11 2 2 5 π4Îòñþäà=−π =≈ 1,0823.4k16π5990k=1Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû c ïåðèîäîì 2LÏóñòü L > 0. Eñëè f ∈ E0 [−L; L], òî åå ìîæíî ðàçëîæèòü â òðèãîíîìåòðè÷åñêèéðÿä∞a0 X kπxkπx +ak cos+ bk sin,2LLk=1ñâåäÿ åå ê 2π -ïåðèîäè÷íîé ôóíêöèè çàìåíîé t =1ak =LZLkπxf (x) cosdx,Lk ∈ N ∪ {0};−Lπx.

Êîýôôèöèåíòû áóäóò òàêèìè:L1bk =LZLf (x) sin−L39kπxdx,Lk ∈ N.11Êðàòíûå èíòåãðàëûÏðåæäå ÷åì äàòü îïðåäåëåíèå n-êðàòíîãî èíòåãðàëà, ò.å. èíòåãðàëà ïî ïîäìíîæåñòâó ïðîñòðàíñòâà Rn , íàì íóæíî îáîáùèòü ïîíÿòèÿ êâàäðèðóåìîñòè è êóáèðóåìîñòè,îïðåäåëèâ n-ìåðíûå îáúåìû. Äëÿ n-ìåðíîãî êèðïè÷à, ò.å. ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà Π = [a1 ; b1 ] × . . . × [an ; bn ], îáúåì ðàâåí V (Π) = (b1 − a1 ) · · · (bn − an ).Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî åñëè îäèí êèðïè÷ ñîñòàâëåí èç íåñêîëüêèõ (îíè ìîãóò èìåòüîáùèå òî÷êè íà ãðàíÿõ, íî íå äîëæíû èìåòü îáùèõ âíóòðåííèõ òî÷åê), òî èõ îáúåìûñêëàäûâàþòñÿ (àääèòèâíîñòü).

Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî åñëè ìíîæåñòâî ìîæíî ñîñòàâèòü èç êîíå÷íîãî ÷èñëà êèðïè÷åé ðàçíûìè ñïîñîáàìè, òî åãî îáúåì = ñóììà îáúåìîâýòèõ êèðïè÷åé ïîëó÷èòñÿ îäèíàêîâûì. Òàêèå ìíîæåñòâà íàçîâåì êèðïè÷íûìè.Îïðåäåëåíèå 11.1. Ïóñòü ìíîæåñòâî B ⊂ Rn . Åãî âíóòðåííèé è âíåøíèé n-ìåðíûé îáúåì îïðåäåëÿþòñÿ òàê (çäåñü K, M êèðïè÷íûå ìíîæåñòâà) :V∗ (B) = sup{V (K) : K ⊂ B};V ∗ (B) = inf{V (M ) : M ⊃ B}.Åñëè V∗ (B) = V ∗ (B), òî ãîâîðÿò, ÷òî B èçìåðèìî (ïî Æîðäàíó), è îïðåäåëåíåãî n-ìåðíûé îáúåì V (B) = V∗ (B) = V ∗ (B).Åñëè ìíîæåñòâî èçìåðèìî ïî Æîðäàíó, òî îíî îãðàíè÷åíî.

Åñëè K è M äâàêèðïè÷íûõ ìíîæåñòâà, K ⊂ B ⊂ M è V (K) > V (B) − ε/2, V (M ) < V (B) + ε/2,òî ãðàíèöà ìíîæåñòâà B ñîäåðæèòñÿ âî ìíîæåñòâå [M \K], êîòîðîå òàêæå ÿâëÿåòñÿêèðïè÷íûì è èìååò îáúåì < ε. Òàêèì îáðàçîì, åñëè ìíîæåñòâî B ⊂ Rn èçìåðèìîïî Æîðäàíó, òî åãî ãðàíèöà ∂B òoæå èçìåðèìà è V (∂B) = 0.Äîêàæåì àääèòèâíîñòü n-ìåðíîãî îáúåìà. Ïóñòü A, B ⊂ Rn äâà èçìåðèìûõìíîæåñòâà, A ∩ B = ∅. Çàäàâ ε > 0, íàéäåì òàêèå êèðïè÷íûå A∗ , A∗ , B∗ , B ∗ , ÷òîA∗ ⊂ A ⊂ A ∗ ,V (A∗ ) > V (A) − ε,V (A∗ ) < V (A) + ε,B∗ ⊂ B ⊂ B ∗ ,V (B∗ ) > V (B) − ε,V (B ∗ ) < V (B) + ε.Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî A∗ ∩ B∗ = ∅, ìû ïîëó÷àåì:V∗ (A ∪ B) ≥ V (A∗ ∪ B∗ ) = V (A∗ ) + V (B∗ ) > V (A) + V (B) − 2ε,V ∗ (A ∪ B) ≤ V (A∗ ∪ B ∗ ) ≤ V (A∗ ) + V (B ∗ ) < V (A) + V (B) + 2ε,è ïîñêîëüêó ε ìîæíî âçÿòü ñêîëü óãîäíî ìàëûì, îòñþäà ñëåäóåòV∗ (A ∪ B) = V ∗ (A ∪ B) = V (A) + V (B) =⇒ V (A ∪ B) = V (A) + V (B).40Îïðåäåëåíèå 11.2.

Ïóñòü B ⊂ Rn èçìåðèìîå ìíîæåñòâî. Ðàçáèåíèåì B íàçûâàåòñÿ êîíå÷íûé íàáîð èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ {Bi }mi=1 , òàêèõ, ÷òîmSBi = B , èi=1ðàçíûå ìíîæåñòâà Bi íå èìåþò îáùèõ âíóòðåííèõ òî÷åê. Äèàìåòðîì ðàçáèåíèÿíàçûâàåòñÿ âåëè÷èíàm~ | : X, Y ∈ Bi }.ãäå diam Bi = sup{|XYdiam{Bi }mi=1 = max diam Bi ,i=1nÎïðåäåëåíèå 11.3. Ïóñòü {Bi }mi=1 ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà B ⊂ R , è ïóñòüâûáðàíû òî÷êè Xi ∈ Bi . Èíòåãðàëüíîé ñóììîé ôóíêöèè f : B 7→ R ïî ðàçáèå-íèþ {Bi } ñ âûáîðîì òî÷åê {Xi } íàçûâàåòñÿ ñóììà{X }S{Bii} (f )==mXV (Bi ) sup f ;∗ S{Bi } (f )Bii=1=mXV (Bi )f (Xi ).i=1Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ñóììû Äàðáó:∗S{B(f )i}mXV (Bi ) inf f.Bii=1Îïðåäåëåíèå 11.4.

Ïóñòü B ⊂ Rn èçìåðèìîå ìíîæåñòâî. Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f : B 7→ R èíòåãðèðóåìà (ïî Ðèìàíó) íà ìíîæåñòâå B , åñëè ñóùåñòâóåò÷èñëî I ∈ R, òàêîå, ÷òî {X }∀ε > 0 ∃δ > 0 : åñëè diam{Bi } < δ, òî S{Bii} (f ) − I < ε.Ýòî ÷èñëî I íàçûâàåòñÿ n-êðàòíûì èíòåãðàëîì îò ôóíêöèè f ïî ìíîæåñòâóB è îáîçíà÷àåòñÿZZI = · · · f (x1 , .