Лекции в электронном виде (Лекции Пугачев), страница 5

f (x) =∞Xn x . Ïîïðîáóåì ñâåñòè ê èçâåñòíîìó ðÿäó2 nn=1∞∞g(x) X n−1=nx=⇒xn=1Z0xxn . Îò ìíîæè-n=0òåëåé n áóäåì èçáàâëÿòüñÿ èíòåãðèðîâàíèåì:f (x) X 2 n−1=nx=⇒ g(x) :=xn=1∞XZx0∞Xf (y)dy =nxn ;yn=1∞Xg(y)1dy =xn =−1y1−xn=1ïðè |x| < 1. Ñëåäîâàòåëüíî, íà ýòîì èíòåðâàëå ïîëó÷èòñÿg(x) = x · 10x−1 =;1−x(1 − x)2Ïðèìåð 6.2. f (x) =f (x) = x · g 0 (x) =x(1 + x).(1 − x)3∞X(−4)n x4n.

Ðàäèóñ ñõîäèìîñòè = ∞. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî(4n)!f 0000 (x) + 4f (x) = 0. Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå k 4 + 4 = 0 èìååò êîðíè ±1 ± i,ñëåäîâàòåëüíî, îáùèé âèä ðåøåíèÿn=0y(x) = ex (A cos x + B sin x) + e−x (C cos x + D sin x).Èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé f (0) = 1, f 0 (0) = f 00 (0) = f 000 (0) = 0 íàõîäèì A = C = 1/2,B = D = 0. Îòâåò: f (x) = ch x cos x, x ∈ R.Ïðèìåð 6.3. f (x) =∞Xn=2xn. Ðàçëîæèì äðîáün2 − 1111 11 ==−.n2 − 1(n − 1)(n + 1)2 n−1 n+1Òîãäà∞∞X1 X xnxn1f (x) =−= F (x) − G(x) ,2 n=2 n − 1 n=2 n + 12ãäåG(x) =k=3k∞Xxk= −x ln(1 − x),kk=1k=1X∞k1xx21x=−x−= − ln(1 − x) − 1 − ,x k=1 k2x2F (x) =∞Xxk−1∞Xxk+1k=x1 − x21 xÏîëó÷àåì f (x) =ln(1 − x) + + ïðè |x| < 1.2x2 4Åùå ìîæíî íåïîñðåäñòâåííî âû÷èñëèòü f (1) = 3/4, f (−1) = 1/4.23|x| < 1;|x| < 1.7Ïðèìåíåíèå ñòåïåííûõ ðÿäîâÏðèáëèæåííûå âû÷èñëåíèÿÅñëè äëÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè f (x) (ýëåìåíòàðíîé ôóíêöèè, èëè íåáåðóùåãîñÿ èíòåãðàëà, èëè ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ) èçâåñòíî ðàçëîæåíèåâ ñòåïåííîé ðÿä ñ öåíòðîì xo 6= x, ïðè÷åì òî÷êà x ïîïàäàåò â èíòåðâàë ñõîäèìîñòè(æåëàòåëüíî áëèæå ê öåíòðó), òî çíà÷åíèå f (x) ìîæíî ïðèáëèæàòü ÷àñòè÷íûìèñóììàìè ýòîãî ñòåïåííîãî ðÿäà.√Ïðèìåð 7.1.

Âû÷èñëèòü 3 2 ñ ïîãðåøíîñòüþ < 0,0001. Âûïèøåì ðÿä Òåéëîðà äëÿôóíêöèè x1/3 ñ öåíòðîì 1, ïðèìåíèâ ðàçëîæåíèå (12) ïðè a = 1/3 :nQx1/3 =43∞Xk=1−kn=0ïðè |x − 1| < 1.(x − 1)nn!Íî x = 2 íå ïîïàäàåò â èíòåðâàë! Òîãäà ðàçëîæèì x1/3 â ðÿä Òåéëîðà ñ öåíòðîì âðàöèîíàëüíîì ÷èñëå 125/64 = (5/4)3 , áëèçêîì ê 2:x1/3= 12564+y1/3=541+64y 1/31255=4∞XnQk=1( 43 − k) n!n=064y n.125 < 1. Ó íàñ x = 2 =⇒ y = 3/64 ðàñïîëîæåí áëèæå êÝòî ðàçëîæåíèå âåðíî ïðè 64y125öåíòðó, ÷åì ê êîíöó èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè, ïîýòîìó ðÿä ñîéäåòñÿ áûñòðî:1/325=4∞Xn=0nQk=1( 43 − k) n!1 2·3 n 51 33 23 3=1+ ·−+ ...12542!{z 125|3 125}ðÿä ËåéáíèöàÈìååì |r1 | ≤ 45 ·193 2125 < 0,0001. Îòâåò:√32≈541+1125= 1,2600.Ïðèìåð 7.2.

Âû÷èñëèòü ln 2 ñ ïîãðåøíîñòüþ < 0,0001. Ïîäñòàâèâ x = 1 â ðÿäÌàêëîðåíà (11), ìû ïîëó÷èì ñõîäÿùèéñÿ ðÿä Ëåéáíèöàln 2 =∞X(−1)n−1n=1n=1−1 1 1 1+ − + − ...2 3 4 5Íî ÷òîáû ïîëó÷èòü ïîãðåøíîñòü |rN | ≤ |aN +1 | < 0,0001, íàì ïðèäåòñÿ âçÿòü N =10000 : òî÷êà íà êîíöå èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè! ×òîáû âçÿòü òî÷êó áëèæå ê öåíòðó,âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî ln 2 = − ln(1/2) :∞∞X1(−1)n−1 1 n X 1ln 2 = − ln 1 −=−−=.n2n2n·2n=1n=124Ýòî çíàêîïîëîæèòåëüíûé ðÿä.

Îöåíèì îñòàòîê ÷åðåç ñóììó ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè:∞ X1 n111rN =<=< 0,0001nN+1n·2(N + 1) · 22(N + 1) · 2Nn=N +1k=0∞Xïðè N = 10. Îòâåò: ln 2 ≈10Xn=11≈ 0,6931.n · 2nÐåøåíèå ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèéÏóñòü äàíà çàäà÷à ÊîøèPk · y (k) + Pk−1 · y (k−1) + . . . + P1 · y 0 + P0 · y = f (x)y(xo ) = yo , y 0 (xo ) = y1 , . .

. , y (k−1) (xo ) = yk−1 ,ãäå P0 (x), P1 (x), . . ., Pk (x) ìíîãî÷ëåíû; ôóíêöèÿ f (x) àíàëèòè÷íà â îêðåñòíîñòè xo .Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå y(x) â âèäå ñòåïåííîãî ðÿäày(x) =∞Xcn (x − xo )n .n=0ynïðè 0 ≤ n ≤ k − 1.Ïåðâûå k êîýôôèöèåíòîâ íàõîäèì èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé: cn =n!Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ ðÿä k ðàç, ïîäñòàâèì â ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ. Ïðåäñòàâèì ââèäå ðÿäà è ïðàâóþ ÷àñòü∞Xf (x) =bn (x − xo )n .n=0Ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî ñóìì äâóõ ñòåïåííûõ ðÿäîâ íà íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè xo .Èç ýòîãî ñëåäóþò ðàâåíñòâà êîýôôèöèåíòîâ ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ (x − xo ).Ïðèìåð 7.3.

Ðàçëîæèòü â ðÿä Ìàêëîðåíà ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè((1 + x2 )y 0 + 2xy =11 + x2y(0) = 0.∞PÏðåäñòàâèì y(x) â âèäå ðÿäàcn xn (c0 = 0 ïî íà÷àëüíîìó óñëîâèþ), òîãäà ëåâàÿn=1÷àñòü óðàâíåíèÿ çàïèøåòñÿ â âèäå∞Xncn xn−1+n=1∞Xncn xn=1n+1+2∞Xcn xn+1 =n=1[÷òîáû ïðèâåñòè ïîäîáíûå ñëàãàåìûå, ïðèâåäåì íîìåðà ñëàãàåìûõ â ñîîòâåòñòâèå ñîñòåïåíÿìè x : â ïåðâîé ñóììå ïîëîæèì m = n − 1, â äâóõ ïîñëåäíèõ m = n + 1]=∞Xm=0m(m + 1)cm+1 x +∞Xm(m − 1)cm−1 x +m=2∞Xm=2252cm−1 xm == c1 + 2c2 x +∞X(m + 1)(cm+1 + cm−1 )xm .m=2 ïðàâîé ÷àñòè èìååì∞X1=(−1)k x2k ,1 + x2k=0ò.å.bn =(−1)n/2 , n ÷åòíî0n íå÷åòíîÑîïîñòàâèâ êîýôôèöèåíòû ïðè x0 , x1 , x2 , .

. ., ïîëó÷àåì áåñêîíå÷íóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé:c12c23(c3 + c1 )4(c4 + c2 )5(c5 + c3 )= 1∀k = 0, 1, 2, . . .= 0= −1=⇒ c2k = 0;1.c2k+1 = (−1)k 1 + 13 + . . . + 2k+1=0= 1, è ò. ä.Îòâåò: y(x) = x − 1 + 31 x3 + 1 + 13 + 15 x5 − . . ., ðÿä ñõîäèòñÿ ïðè |x| < 1.arctg xÒàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå y(x) =çàäàåòñÿ ýòèì ðÿäîì íå íà âñåé ñâîåé îáëàñòè1 + x2îïðåäåëåíèÿ.Ðåøåíèå íåëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèéÄëÿ ïðîèçâîëüíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ðàçðåøåííûõ îòíîñèòåëüíîñòàðøåé ïðîèçâîäíîé y (k) (x), ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè y(x) èùóò òàê: ïî çàäàííûìçíà÷åíèÿì y(xo ),.

. . y (k−1) (xo ) íàõîäÿò y (k) (xo ), çàòåì, ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ óðàâíåíèå, íàõîäÿò y (k+1) (xo ), è ò. ä.  ðåçóëüòàòå ïðåäñòàâëÿþò ðåøåíèå ÷åðåç ðÿä Òåéëîðà:∞Xy (n) (xo )y(x) =(x − xo )n . Ýòîò ìåòîä áîëåå øèðîêî ïðèìåíèì è ìåíåå òðóäîåìîê,n!n=0íî íåîáõîäèìî ïîìíèòü î åãî íåäîñòàòêå: êàê ïðàâèëî, íå óäàåòñÿ âûâåñòè ÿâíóþôîðìóëó äëÿ êîýôôèöèåíòîâ cn è îïðåäåëèòü èíòåðâàë ñõîäèìîñòè ïîëó÷åííîãîðÿäà.Ïðèìåð 7.4.

Ðåøèòü óðàâíåíèå êîëåáàíèé ìàÿòíèêà y 00 = − sin y ñ íà÷àëüíûìèóñëîâèÿìè y(0) = π/2, y 0 (0) = 0, âûïèñàâ ñëàãàåìûå äî øåñòîé ñòåïåíè x. Âû÷èñëÿåì ïðîèçâîäíûå:y 00 = − sin yy = − cos y · y 0y (4) = sin y · (y 0 )2 − cos y · y 00y (5) = cos y · (y 0 )3 + 3 sin y · y 0 y 00 − cos y · y 000y (6) = − sin y · (y 0 )4 + 6 cos y · (y 0 )2 y 00 ++3 sin y · (y 00 )2 + 4 sin y · y 0 y 000 − cos y · y (4)000Îòâåò: y(x) =π 1 23 6− x +x + o(x6 ).2 272026y 00 (0) = −1y 000 (0) = 0y (4) (0) = 0y (5) (0) = 0y (6) (0) = 38Åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà è ðÿäû ÔóðüåÎïðåäåëåíèå 8.1. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî E íàçûâàåòñÿ åâêëèäîâûì, åñëè íàíåì îïðåäåëåíî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå, ò.å.

ôóíêöèÿ (·, ·) : E×E 7→ R, îáëàäàþùàÿ òàêèìè ñâîéñòâàìè:1. Êîììóòàòèâíîñòü: ∀x, y ∈ E âûïîëíåíî (x, y) = (y, x);2. Áèëèíåéíîñòü: ∀x, y, z ∈ E , a, b ∈ R èìååì (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z);3. Ïîëîæèòåëüíàÿ îïðåäåëåííîñòü: ∀x ∈ E èìååì (x, x) ≥ 0,ïðè÷åì (x, x) = 0 òîëüêî ïðè x = 0.Íîðìà â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå çàäàåòñÿ ôîðìóëîépkxk = (x, x).(13)Ëåììà 8.1.

Äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ x, y ∈ E âåðíî íåðàâåíñòâî |(x, y)| ≤ kxk · kyk,ïðè÷åì ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ â òî÷íîñòè òîãäà, êîãäà x è y ëèíåéíî çàâèñèìû(êîëëèíåàðíû).Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì âåêòîðà âèäà x + ty , t ∈ R. Ïðè âñÿêîì t âûïîëíåíî(x + ty, x + ty) = kx + tyk2 ≥ 0. B ñèëó áèëèíåéíîñòè,(x + ty, x + ty) = t2 kyk2 + 2t(x, y) + kxk2 .Ýòî êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí îò t, îí íå ïðèíèìàåò îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé =⇒ åãîäèñêðèìèíàíò íåïîëîæèòåëåí:D = 4(x, y)2 − 4kyk2 kxk2 ≤ 0 =⇒ |(x, y)| ≤ kxk · kyk;íåðàâåíñòâî áóäåò ñòðîãèì â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà x è y íå êîëëèíåàðíû,ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå âåêòîð x + ty íå ìîæåò áûòü íóëåâûì.Ïðîâåðèì, ÷òî (13) äåéñòâèòåëüíîp äàåò íîðìó.1) k0k = 0, a ∀x 6=p0 èìååì kxkp= (x, x) > 0.2) ∀c ∈ R kcxk = (cx, cx) = c2 (x, x) = |c| · kxk.3) íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà kx + yk ≤ kxk + kyk ïðîâåðÿåòñÿ òàê:(kxk + kyk)2 − kx + yk2 = (kxk2 + kyk2 + 2kxk · kyk) − (kxk2 + kyk2 + 2(x, y)) == 2(kxk · kyk − (x, y)) ≥ 0.½Òåîðåìà Ïèôàãîðà.

Åñëè (x, y) = 0, òî kx + yk2 = kxk2 + kyk2 .Ïðèìåðû åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâ1. Ïðîñòðàíñòâî R ñ îáû÷íûì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì (~x, ~y) =nnXi=1Íîðìà, ñîîòâåòñòâåííî, ðàâíà k~xk =rnPx2i .i=127xi yi .2. Ïðîñòðàíñòâî C[0;Z 1] íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íà îòðåçêå [0; 1] co ñêàëÿðíûì ïðîèç1âåäåíèåì (f, g) =f (t)g(t)dt. Çäåñü ïîëîæèòåëüíàÿ îïðåäåëåííîñòü íîðìû íåî÷å-0âèäíà: íàäî ïðîâåðèòü, ÷òî åñëè f 6= 0, òî (f, f ) > 0. Ýòî ñëåäóåò èç ñâîéñòâà èíòåãðàëà: f 6= 0 =⇒ ∃to ∈ [0; 1] : f 2 (to ) > 0 è ïðè ýòîì ∀t f 2 (t) ≥ 0, èqïîñêîëüêóR1R1f íåïðåðûâíà, ïîëó÷àåì 0 f 2 (t)dt > 0. Íîðìà â C[0; 1] ðàâíà kf k =f 2 (t)dt.0Ïðîñòðàíñòâî C[0; 1] áåñêîíå÷íîìåðíî, ò.å. â íåì ìîæíî íàéòè ñêîëü óãîäíî ìíîãîëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâ: íàïðèìåð, ïðè âñÿêîì N íàáîð ôóíêöèé 1, t, t2 , .

. . , tNëèíåéíî íåçàâèñèì.3. Îïèøåì òî ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé, ñ êîòîðûì íàì ïðåäñòîèò ðàáîòàòü.Îïðåäåëåíèå 8.2. Ïðîñòðàíñòâî Eo [−π; π] ñîñòîèò èç ôóíêöèé f íà îòðåçêå [−π; π],èìåþùèõ ëèøü êîíå÷íîå ìíîæåñòâî òî÷åê ðàçðûâà, è òîëüêî I ðîäà, ïðè÷åìf (−π) = f (π) =f (π − 0) + f (−π + 0),2à â êàæäîé òî÷êå ðàçðûâà a ∈ (−π; π) âûïîëíåíîf (a) =f (a − 0) + f (a + 0).2Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â Eo [−π; π] çàäàåòñÿ ôîðìóëîéZπ(f, g) =f (t)g(t)dt.−πÏðîâåðèì ïîëîæèòåëüíóþ îïðåäåëåííîñòü ýòîãî ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ.