Лекции в электронном виде (Лекции Пугачев), страница 2

Èññëåäóåì íà ñõîäèìîñòü ðÿä11N →+∞Èòàê, ðÿä Äèðèõëå ñõîäèòñÿ ïðè p > 1. Ýòîò ôàêò íóæíî ïîìíèòü, òàê êàê ðÿäÄèðèõëå ÷àñòî ïðèìåíÿåòñÿ â ïðèçíàêàõ ñðàâíåíèÿ.∞X1Ïðèìåð 2.1. Ñêîëüêî ñëàãàåìûõ ðÿäàíàäî âçÿòü, ÷òîáû âû÷èñëèòü åãî3nn=1ñóììó ñ ïîãðåøíîñòüþ < 0,001 ?Ïîñêîëüêó an = n−3 , âîçüìåì ôóíêöèþ f (x) = x−3 . Îöåíèì îñòàòîê:+∞Z +∞dx−1 1rm ≤==.x32x2 m2m2mÏîëó÷àåì |rm | < 0,001 ïðè m = 23. Îòâåò: S ≈23Pn−3 ≈ 1,201.n=12. Ïðîñòîé ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ.

Ïóñòü bn ≥ an ≥ 0 ïðè âñåõ n ≥ no . Òîãäà:(a) åñëè ðÿä(á) åñëè ðÿä∞Pn=0∞Pn=0bn ñõîäèòñÿ, òî ðÿä∞Pan ñõîäèòñÿ;n=0an ðàñõîäèòñÿ, òî ðÿä∞Pbn ðàñõîäèòñÿ.n=0Äîêàçàòåëüñòâî. Íà ñàìîì äåëå îáà ïóíêòà óòâåðæäàþò îäíî è òî æå. Äîêàæåì∞Píàïðÿìóþ (a), è òåì ñàìûì äîêàæåì îò ïðîòèâíîãî (á). Ïóñòü ðÿäbn ñõîäèòñÿ.n=06Òîãäà åãî ÷àñòè÷íûå ñóììû îãðàíè÷åíû ñâåðõó íåêîòîðîé âåëè÷èíîé M ∈ (0; +∞).Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òîNX∀N ∈ Nan ≤n=no∞Pñëåäîâàòåëüíî, ðÿäNXbn ≤ M =⇒ limN →∞n=no∞Pan , à çíà÷èò, è ðÿän=noNXan ≤ M < +∞,n=noan ñõîäèòñÿ.n=0∞X1.5n(lnn)n=2Ñðàâíèì äàííûé ðÿä ñ √ðÿäîì Äèðèõëå.

Êàê èçâåñòíî, ëîãàðèôì ðàñòåò ìåäëåííååëþáîé ñòåïåíè, ïîýòîìó n(ln n)5 << n. ×òîáû äîêàçàòåëüñòâî áûëî ñòðîãèì, ïðèìåíèì ïðàâèëî ËîïèòàëÿÁåðíóëëè:55 √n(ln n)5ln nn−1lim=lim √=lim= 0.x→+∞x→+∞ 10 nx→+∞ 0,1 n−0,9nÏðèìåð 2.2. Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü ðÿä√11>ïðè âñåõ n > N . Ïî ïðîñòîìó ïðèçíàêónn(ln n)5∞X1ñðàâíåíèÿ ðÿä ðàñõîäèòñÿ, òàê êàê ðàñõîäèòñÿ ðÿä.nn=2Ïîýòîìó ∃ N òàêîå, ÷òî √3. Ïðåäåëüíûé ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ. Ïóñòü bn > 0, an > 0 ïðè âñåõ n ≥ no , èñóùåñòâóåò ïðåäåëbn,n→∞ anC = limÒîãäà ðÿäû∞P∞Pan èn=00 < C < +∞.bn èëè îáà ñõîäÿòñÿ, èëè îáà ðàñõîäÿòñÿ.n=0Äîêàçàòåëüñòâî. Ñóùåñòâóåò òàêîå m ≥ no , ÷òîb CC3C n∀n ≥ m − C <=⇒an < b n <an .an222Ïðèìåíèì ëèíåéíîñòü è ïðîñòîé ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ:∞∞∞PPP3C1) åñëè ñõîäèòñÿan , òî ñõîäèòñÿa=⇒ñõîäèòñÿbn ;2 nn=02) åñëè pañõîäèòñÿ∞Pn=0an , òî pañõîäèòñÿn=0n=0∞Pn=0Ca2 n=⇒ pañõîäèòñÿ∞Pbn .n=04.

Ðàäèêàëüíûé ïðèçíàê Êîøè. Ïóñòü an ≥ 0; îáîçíà÷èì2C = limn→∞√n∞an = lim supn→∞ k=n√kak .Òîãäà, åñëè C < 1, òî ðÿä ñõîäèòñÿ; åñëè C > 1, òî ðÿä pañõîäèòñÿ.2 radical êîðåíü.7Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Ïóñòü 0 ≤ C < 1. Íàéäåòñÿ òàêîå m, ÷òî∞supk=m√k∞X1+Cmak ≤ q ==⇒ ∀k ≥ m ak ≤ q =⇒ak ñõîäèòñÿ2k=mïî ïðèçíàêó ñðàâíåíèÿ (ñ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèåé ñì.

ïðèìåð 1.1).∞ √2) Ïóñòü 1 < C ≤ +∞. Ïðè âñÿêîì n ∈ N èìååì sup k ak ≥ C > 1, ñëåäîâàòåëüíî,k=n√ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî ñëàãàåìûõ akj , òàêèx, ÷òî kj akj > 1 =⇒ akj > 1, èíåîáõîäèìîå óñëîâèå ñõîäèìîñòè íàðóøåíî.5. Ïðèçíàê Äàëàìáåðà. Ïóñòü an ≥ 0; ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò ïðåäåëan+1.n→∞ anC = limÒîãäà, åñëè C < 1, òî ðÿä ñõîäèòñÿ; åñëè C > 1, òî ðÿä pañõîäèòñÿ.Ïîêàæåì, ÷òî ïðèçíàê Äàëàìáåðà ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ðàäèêàëüíîãî ïðèçíàêà√Êîøè: åñëè ñóùåñòâóåò óêàçàííûé ïðåäåë C , òî ñóùåñòâóåò è ïðåäåë lim n an = C.n→∞Äëÿ ýòîãî íàì äîñòàòî÷íî ïðèìåíèòü ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn = ln an ñëåäóþùóþëåììó:xn= A.n→∞ nËåììà 2.1.

Åñëè ∃ lim (xn − xn−1 ) = A, −∞ ≤ A ≤ +∞, òî ∃ limn→∞Äîêàçàòåëüñòâî. Çàäàäèì ïðîèçâîëüíûå A∗ , A∗ , òàêèå, ÷òî ∗A > A, åñëè A < +∞,A∗ < A, åñëè A > −∞,∗A = A, åñëè A = +∞;A∗ = A, åñëè A = −∞.Íàéäåòñÿ m: ∀n ≥ m A∗ ≤ xn − xn−1 ≤ A∗ . Òîãäà ïðè n > mn−1 ≤ o(1) + n − m A∗ → A∗Xxnxm 1n=+(xk − xk−1 ) ≥ o(1) + n − m A → Annn k=m∗∗nxnxnÑëåäîâàòåëüíî, A∗ ≤ lim≤ lim≤ A∗ .  ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè A∗ è A∗n→∞nnn→∞xnxnïîëó÷àåì lim= lim= A.n→∞nn→∞ nÕîòÿ ïðèçíàê Äàëàìáåðà íå äàåò íîâûõ ðåçóëüòàòîâ ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàäèêàëüíûìïðèçíàêîì Êîøè, åãî ïðèìåíÿþò ÷àùå èç-çà ìåíüøåé òðóäîåìêîñòè âû÷èñëåíèé.8Åñëè ðÿä ñõîäèòñÿ ïî ïðèçíàêó Äàëàìáåðà, òî åãî îñòàòîê ìîæíî îöåíèòü, èñïîëüçóÿñðàâíåíèå ñ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèåé.Ëåììà 2.2.

Ïóñòü äëÿ ðÿäà∀n≥N∞Pan ïðè íåêîòîðîì N ∈ N âûïîëíåíîn=0|an+1 |≤ q,|an |q < 1.Òîãäà |rN | ≤ |aN |q.1−qÄîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ãåîìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ bn = aN q n−N . Òîãäà ïðèâñåõ n ≥ N âûïîëíåíî |an | ≤ bn . Ñëåäîâàòåëüíî, ïî (1)|rN | ≤∞X|an | ≤n=N +1∞Xbn =n=N +1∞X|aN |q k =k=1|aN | · q,1−qçäåñü ìû âçÿëè íîâûé èíäåêñ ñóììèðîâàíèÿ k = n − N .Ïðèìåð 2.3. Ðàññìîòðèì ðÿä∞Xn=0nn. Äëÿ íåãî ïîëó÷àåì îòíîøåíèån! · 4n(n + 1)n+1 · n! · 4n(n + 1)n11 nean+1===1+−→< 1,n+1nnn→∞ 4an(n + 1)! · 4·n4·n4nñëåäîâàòåëüíî, ïî ïðèçíàêó Äàëàìáåðà ðÿä ñõîäèòñÿ.Òåïåðü âû÷èñëèì åãî ñóììó ñ ïîãðåøíîñòüþ < 0,01.

Ïðè âñÿêîì n ∈ N èìååìan+111 n e=1+< < 0,7.an4n4Ïî ëåììå 2.2 ïîëó÷àåì |rN | ≤ |aN |Îòâåò: S ≈9Xn=00,77 NN=< 0,01 ïðè N = 9.1 − 0,73 N ! · 4Nnn≈ 1,55.n! · 4n93Ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè çíàêîïåðåìåííûõ ðÿäîâ∞PÏðè èññëåäîâàíèè çíàêîïåðåìåííîãî ðÿäàñ èññëåäîâàíèÿ ðÿäà èç ìîäóëåé∞Pan íà ñõîäèìîñòü âñåãäà íàäî íà÷èíàòün=0|an | : åñëè îí ñîéäåòñÿ, òî èñõîäíûé ðÿä ñõî-n=0äèòñÿ àáñîëþòíî, è òîëüêî åñëè ðÿä èç ìîäóëåé ðàçîéäåòñÿ, òî ïðèäåòñÿ ïðèìåíÿòüïðèçíàêè ñõîäèìîñòè çíàêîïåðåìåííûõ ðÿäîâ, î êîòîðûõ è ïîéäåò ðå÷ü.1.

Íåîáõîäèìûé ïðèçíàê. Åñëè ðÿä èç ìîäóëåé ðàçîøåëñÿ ïî íåîáõîäèìîìó ïðèçíàêó, òî an 9 0, è çíàêîïåðåìåííûé ðÿä òàêæå ðàçîéäåòñÿ.2. Ïðèçíàê Ëåéáíèöà.Îïðåäåëåíèå 3.1. Ðÿä∞Pan íàçûâàåòñÿ ðÿäîì Ëåéáíèöà, åñëè:n=m1) an → 0 ïðè n → ∞;2) ∀n ≥ m |an | ≥ |an+1 |;3) çíàêè ñëàãàåìûõ ÷åðåäóþòñÿ, ò.å. an ·an+1 < 0∀n ≥ m.Òåîðåìà 3.1. Ðÿä Ëåéáíèöà ñõîäèòñÿ. Ïðè ýòîì åãî îñòàòîê íå ïðåâûøàåò ïîìîäóëþ ïåðâîå îòáðîøåííîå ñëàãàåìîå, ò.å.

|rN | ≤ |aN +1 |.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü, íàïðèìåð, am > 0. Òîãäà ∀k ∈ N èìååì am+2k > 0, am+2k−1 <0. Ïîñêîëüêó ìîäóëè ñëàãàåìûõ íå âîçðàñòàþò, âûïîëíåíî ∀n ≥ m ëèáî sign(an +an+1 ) = sign an , ëèáî an +an+1 = 0. Ïîëó÷àåì ìîíîòîííûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷àñòè÷íûõ ñóìì:Sm ≥ Sm+2 ≥ Sm+4 ≥ Sm+6 ≥ . . .∨∨∨∨Sm+1 ≤ Sm+3 ≤ Sm+5 ≤ Sm+7 ≤ . . .Òàêèì îáðàçîì, ñóììû Sm+2k îáðàçóþò íåâîçðàñòàþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, îãðàíè÷åííóþ ñíèçó, à ñóììû Sm+2k−1 íåóáûâàþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, îãðàíè÷åííóþñâåðõó.

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî îáå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èìåþò êîíå÷íûå ïðåäåëû. Ýòèïðåäåëû ðàâíû, ïîñêîëüêó|Sm+2k − Sm+2k−1 | = |a2k | → 0ïðèk → ∞,à çíà÷èò, âñå ÷àñòè÷íûå ñóììû ñòðåìÿòñÿ ê îäíîìó ïðåäåëó S ∈ R, è ðÿä ñõîäèòñÿ.Ïîñêîëüêó ïðè êàæäîì k ∈ N âåðíû íåðàâåíñòâàSm+2k−1 ≤ S ≤ Sm+2kèSm+2k ≥ S ≥ Sm+2k+1 ,ìû ïîëó÷àåì, ñîîòâåòñòâåííî,|rm+2k−1 | = |S − Sm+2k−1 | ≤ |am+2k |;10|rm+2k | = |S − Sm+2k | ≤ |am+2k+1 |.∞X∞X(−1)n√Ïðèìåð 3.1.

Ðÿäan =íå ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî (åãî ðÿä èç ìîäóëåénn=1n=1∞∞PP1√ ðàñõîäÿùèéñÿ ðÿä Äèðèõëå). Íî îí ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì Ëåéáíèöà, è|an | =nn=1n=1ïîòîìó ñõîäèòñÿ. Îòâåò: ðÿä ñõîäèòñÿ óñëîâíî.Ðàññìîòðèì äðóãîé ðÿä:ðÿä∞P∞Xbn =n=1∞ Xbn(−1)n 1 √ +. Èìååì→ 1 ïðè n → ∞. Îäíàêî,nannn=1bn ðàñõîäèòñÿ, âåäü åñëè áû îí ñõîäèëñÿ, òî ïî ñâîéñòâó ëèíåéíîñòè ñõîäèëñÿn=1áû è ðÿä∞Pn=1(bn − an ) =∞ 1P, à ýòî íå òàê. Âûâîä: ê çíàêîïåðåìåííûì ðÿäàìn=1 nïðèçíàêè ñðàâíåíèÿ íåïðèìåíèìû.Ïðèìåð 3.2.

Ïðîâåðèì íà ñõîäèìîñòü ðÿä4n (n!)2n=0Ïðèìåíèâ ôîðìóëó Ñòèðëèíãàn! ∼∞X(−1)n (2n)!nn √2πnenïðè.n → ∞,ïîëó÷àåì ýêâèâàëåíòíîñòü√122n n2n 4πn · e2n√|an | ∼=√→ 0.πn4n · e2n · n2n ( 2πn)2Ïî ïðåäåëüíîìó ïðèçíàêó ñðàâíåíèÿ âèäèì, ÷òî àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè íåò. Íîíåîáõîäèìûé ïðèçíàê ñõîäèìîñòè, îí æå óñëîâèå 1) ïðèçíàêà Ëåéáíèöà, âûïîëíåí.Óñëîâèå 3), î÷åâèäíî, òîæå âûïîëíåíî. Íî ìû íå ìîæåì íà îñíîâàíèè ýêâèâàëåíòíîñòè óòâåðæäàòü, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ 2): ê çíàêîïåðåìåííûì ðÿäàì ïðèçíàêè ñðàâíå∞Píèÿ íåïðèìåíèìû. Ïîýòîìó ïðèäåòñÿ ïðîâåðÿòü óñëîâèå 2) äëÿ ñàìîãî ðÿäàan :n=0|an+1 |(2n + 2)!4n (n!)2(2n + 1)(2n + 2)(2n + 1)= n+1·==< 1,22|an |4 ((n + 1)!)(2n)!4(n + 1)2(n + 1)ñëåäîâàòåëüíî, |an | > |an+1 |.

Ýòî ðÿä Ëåéáíèöà =⇒ îí ñõîäèòñÿ (óñëîâíî).Ïðèìåð 3.3. Ñêîëüêî ñëàãàåìûõ ðÿäà∞X(−1)n · n3n=13níàäî âçÿòü, ÷òîáû ïîëó÷èòüåãî ñóììó ñ ïîãðåøíîñòüþ < 0,01?|an+1 |= 1/3 . Îäíàêî,Ðÿä àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ ïî ïðèçíàêó Äàëàìáåðàlimn→∞ |an |ïðèçíàê Ëåéáíèöà ïðèãîäèòñÿ íàì äëÿ áîëåå òî÷íîé îöåíêè îñòàòêà. Äàííûé ðÿä1000ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì Ëåéáíèöà íà÷èíàÿ ñ 3-ãî ñëàãàåìîãî. Èìååì |a10 | = 59049> 0,01;1331|a11 | = 177147 < 0,01.

Ñëåäîâàòåëüíî, |r10 | ≤ |a11 | < 0,01. Îòâåò: 10 ñëàãàåìûõ.113. Ïðèçíàê Äèðèõëå. Ïóñòü um ≥ um+1 ≥ um+2 ≥ . . . ; un → 0. Ïóñòü vn òàêîâû,÷òî ìíîæåñòâî ñóìì Wn =nPvk , n ∈ N, îãðàíè÷åíî. Òîãäà ðÿäk=0∞Xun vn ñõîäèòñÿ.n=0Ïðèçíàê Ëåéáíèöà ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ïðèçíàêà Äèðèõëå:âîçüìåì un = |an |, vn = (−1)n èëè vn = (−1)n+1 .4.