Лекции в электронном виде (Лекции Пугачев), страница 3

Ïðèçíàê Àáåëÿ. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {un }∞n=m ìîíîòîííà è îãðàíè÷åíà.Ïóñòü ðÿä∞Pvn ñõîäèòñÿ (ò.å. ∃ lim Wn ∈ R). Òîãäà ðÿän→∞n=0∞Xun vn ñõîäèòñÿ.n=0Ïðèçíàêè Äèðèõëå è Àáåëÿ î÷åíü ïîõîæè, òîëüêî ïðèçíàê Äèðèõëå íàêëàäûâàåòáîëåå æåñòêèå óñëîâèÿ íà un è ìåíåå æåñòêèå íà vn , à ïðèçíàê Àáåëÿ íàîáîðîò.Îáà ïðèçíàêà äîêàçûâàþòñÿ ïî îäíîé ñõåìå.Äîêàçàòåëüñòâî.  îáîèõ ñëó÷àÿõ èìååì C = sup |Wn | < ∞, à òàêæå U = sup |un | <∞. Âîñïîëüçóåìñÿ êðèòåðèåì Êîøè. Ïóñòü N > M ≥ m.NXNXun vn =n=M +1NXun (Wn − Wn−1 ) =n=M +1NXun W n −n=M +1un Wn−1 =n=M +1[â ïåðâîé ñóììå ïîëîæèì k = n, a âî âòîðîé k = n − 1]=NXk=M +1uk W k −N−1Xk=Muk+1 Wk = uN WN − uM +1 WM +|{z}AN−1X(uk − uk+1 )Wk .k=M +1|{zB} ñëó÷àå ïðèçíàêà Äèðèõëå ïîëó÷àåì|A| ≤ C(|uN | + |uM +1 |)−→N >M →∞0,à â ïðèçíàêe Àáåëÿ ñõîäèòñÿ íå òîëüêî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü un , íî è Wn , òàê ÷òî|A| ≤ |uN (WN − WM )| + |(uN − uM +1 )WM | ≤ U |WN − WM | + C|uN − uM +1 | −→ 0.Ñóììà B â îáîèõ ñëó÷àÿõ, â ñèëó ìîíîòîííîñòè {un }, îöåíèâàåòñÿ òàê:N−1X|B| ≤ C|uk − uk+1 | = C|uM − uN −1 | −→ 0.N >M →∞N >M →∞k=M +1Ïðèìåð 3.4.

Ïóñòü 0 < α < π; p > 0. Òîãäà ðÿä∞Xsin nαñõîäèòñÿ ïî ïðèçíàêónpÄèðèõëå. Äåéñòâèòåëüíî, ñîìíîæèòåëè un = 1/np è vn = sin nα óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì òåîðåìû: un & 0; ñóììû vn -ûõ íå ïðåâûøàþò êîíñòàíòó:n=1NX sin nα = n=1Nα1 Xα cos α2 − cos(N α + α2 ) 1cos(nα − ) − cos(nα + ) = ≤.αα222 sin 2sin α22 sin 2 n=1124Ôóíêöèîíàëüíûå ðÿäûÎïðåäåëåíèå 4.1. Ôóíêöèîíàëüíûì ðÿäîì íàçûâàåòñÿ ðÿä, çàâèñÿùèé îò ïàðàìåòðà x ∈ R∞Xfn (x),x∈D=n=0∞\D(fn ).n=0nÎáëàñòü ñõîäèìîñòè ýòîãî ðÿäà C = x ∈ D :∞Pîïðåäåëåíà ôóíêöèÿ S(x) =∞Pofn (x) ñõîäèòñÿ . Íà Cn=0fn (x), íàçûâàåìàÿ ñóììîé ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà,n=0NPè ÷àñòè÷íûå ñóììû SN (x) =fn (x).n=0Îïðåäåëåíèå 4.2. Ðÿäåñëè∞Pn=0fn (x) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå C1 ⊂ C ,∀ε > 0 ∃M = M (ε) : ∀N > M ∀x ∈ C1 |SN (x) − S(x)| < ε,C1ò.å. ÷èñëî M (ε) íå çàâèñèò îò òî÷êè x ∈ C1 . Îáîçíà÷åíèå: SN (x) ⇒ S(x).Ãåîìåòðè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ãðàôèêè ÷àñòè÷íûõ ñóìì Sn (x), íà÷èíàÿ ñ n =M + 1, ïðîõîäÿò ÷åðåç ½êîðèäîð {x ∈ C1 , |y − S(x)| < ε}.Ïðèìåð 4.1.

Äëÿ ðÿäà∞Pxn èìååì D = R; C = (−1; 1) : ïðè |x| ≥ 1 íàðóøåí íåîáõî-n=0äèìûé ïðèçíàê ñõîäèìîñòè, à ïðè |x| < 1 ðÿä ñõîäèòñÿ, åãî ñóììà ðàâíà S(x) =1,1−x1 − xN +1(cì. ïðèìåð 1.1). Îäíàêî, íà âñåì èíòåðâàëå1−x(−1; 1) íåò ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè, ò.å.à ÷àñòè÷íûå ñóììû SN (x) =∃ε > 0 : ∀M ∃N > M, ∃x ∈ C1 : |SN (x) − S(x)| ≥ ε.pÍàïðèìåð, äëÿ ε = 1 âîçüìåì ëþáîå N > M è x = N +1 1/2. ÒîãäàxN +11/2S(x) − SN (x) =≥= 1.1−x1 − 1/2Åñëè æå âçÿòü ëþáîé ìåíüøèé îòðåçîê [−r; r] ⊂ (−1; 1), òî íà íåì ðÿä ñõîäèòñÿðàâíîìåðíî ïî ïðèçíàêó Âåéåðøòðàññà (ñì.

íèæå).13Êðèòåðèé Êîøè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè. Ðÿäíà C1 , åñëè è òîëüêî åñëè∀ε > 0 ∃K : ∀N > M ≥ K, ∀x ∈ C1∞Pfn (x) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíîn=0N Xfn (x) < ε.n=M +1|{z}SN (x)−SM (x)Íåîáõîäèìîñòü ýòîãî óñëîâèÿ ñëåäóåò èç îöåíêè|SN (x) − SM (x)| ≤ |SN (x) − S(x)| + |SM (x) − S(x)|,à äîñòàòî÷íîñòü èç îöåíêè |SM (x) − S(x)| ≤ sup |SN (x) − SM (x)|.N >MÏðèçíàê Âåéåðøòðàññà.

Ïóñòü ñóùåñòâóåò ñõîäÿùèéñÿ çíàêîïîëîæèòåëüíûé ðÿä∞Pan (ìàæîðàíòà), òàêîé, ÷òî ∀n |fn (x)| ≤ an íà C1 . Òîãäà ðÿän=0∞Pfn (x) cõîäèòñÿn=0ðàâíîìåðíî è àáñîëþòíî íà C1 .Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ñõîäèìîñòè ìàæîðàíòû ïðè âñåõ x ∈ C1 ïîëó÷àåì îöåíêóNNN XXXfn (x) ≤|fn (x)| ≤ann=M +1n=M +1n=M +1−→N >M →∞0,èç êîòîðîé âèäíî ïî êðèòåðèþ Êîøè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè, ÷òî ðÿäû∞P∞Pfn (x) èn=0|fn (x)| ñõîäÿòñÿ ðàâíîìåðíî íà C1 .n=0Ïðèìåð 4.1 (ïðîäîëæåíèå).

Äëÿ ðÿäàÿâëÿåòñÿ ñõîäÿùèéñÿ ðÿä∞P∞Pxn íà îòðåçêå [−r; r], 0 < r < 1, ìàæîðàíòîén=0r .nn=0Ïðèìåð 4.2. Äîêàçàòü ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ðÿäà∞X(−1)nxn íà îòðåçêå [0; 1].nÄîêàçàòü ïî ïðèçíàêó Âåéåðøòðàññà íå ïîëó÷èòñÿ, ïîñêîëüêó ïðè x = 1 ðÿä ñõîäèòñÿóñëîâíî. Äîêàæåì ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü íåïîñðåäñòâåííî, ïîëüçóÿñü òåì, ÷òî ïðèâñåõ x ∈ (0; 1] äàííûé ðÿä ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì Ëåéáíèöà:(0;1] (−1)N +1 N +1 ≤ 1|SN (x) − S(x)| ≤ x N + 1 ⇒ 0 ïðè N → ∞.N +1n=1Òåîðåìà 4.1. (î íåïðåðûâíîñòè ñóììû).

Ïóñòü ðÿä∞Pn=0fn (x) ñõîäèòñÿ ðàâíî-ìåðíî íà ïðîìåæóòêå I ⊂ R, è âñå ôóíêöèè fn (x) íåïðåðûâíû íà I . Òîãäà ñóììàðÿäà S(x) òàêæå íåïðåðûâíà íà I .14Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüìåì òî÷êó x ∈ I è çàäàäèì ε > 0.  ñèëó ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè, ∃N : |SN (y) − S(y)| < ε/3 ïðè âñåõ y ∈ I . ×àñòè÷íàÿ ñóììà SN íåïðåðûâíàâ òî÷êå x, ïîýòîìó ∃δ > 0 : |SN (y) − SN (x)| < ε/3 ∀y ∈ Uδ (x) ∩ I . Òîãäà äëÿ âñåõòî÷åê y ∈ Uδ (x) ∩ I ïîëó÷àåì îöåíêó|S(y) − S(x)| ≤ |S(y) − SN (y)| + |SN (y) − SN (x)| + |SN (x) − S(x)| < 3ε + 3ε + 3ε .Ñëåäóþùèé ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî, åñëè ðÿä èç íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ñõîäèòñÿíåðàâíîìåðíî, òî åãî ñóììà ìîæåò îêàçàòüñÿ ðàçðûâíîé.∞PÏðèìåð 4.3.

Ðàññìîòðèì ðÿäfn (x) íà îòðåçêå [0; 1], ãäån=0fn (x) =xxïðè n = 0n− x ïðè n = 1, 2, 3, . . .n+1Òîãäà ÷àñòè÷íûå ñóììû ðàâíû SN (x) = xN +1 . Íà îòðåçêå [0; 1] ðÿä ñõîäèòñÿ êðàçðûâíîé ôóíêöèè:∞Xn=0fn (x) = lim SN (x) = lim xN →∞N +1N →∞=0 ïðè 0 ≤ x < 1,1 ïðè x = 1.Òåîðåìà 4.2. (î ïî÷ëåííîì èíòåãðèðîâàíèè). Ïóñòü ðÿä∞Pfn (x) ñõîäèòñÿn=0ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [a; b], è âñå ôóíêöèè fn (x) íåïðåðûâíû íà [a; b].

Òîãäà ñóììàðÿäà S(x) èíòåãðèðóåìà íà [a; b], ïðè÷åìbZS(x)dx =∞ ZXan=0b(3)fn (x)dx.aÄîêàçàòåëüñòâî. Èíòåãðèðóåìîñòü S(x) ñëåäóåò èç åå íåïðåðûâíîñòè. Ïðè êàæäîìN ∈ N èç ëèíåéíîñòè èíòåãðàëà ñëåäóåò ðàâåíñòâîbZSN (x)dx =aN ZXb(4)fn (x)dx.an=0Áóäåì ïåðåõîäèòü ê ïðåäåëó ïî N . Ïðàâàÿ ÷àñòü (4) èìååò êîíå÷íûé ïðåäåë ïðèN → ∞, ýòî ïðîâåðÿåòñÿ ïî êðèòåðèþ Êîøè äëÿ ÷èñëîâîãî ðÿäà: X ZZ b N =f(x)dxn an=M +1ab SN (x) − SM (x) dx ≤ (b − a) sup |SN − SM |I−→N >M →∞0â ñèëó ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè.

Òàêèì îáðàçîì, ïðàâàÿ ÷àñòü (4) ñõîäèòñÿ ê ïðàâîé÷àñòè (3). Äëÿ ëåâûõ ÷àñòåé èìååì ñîîòâåòñòâóþùóþ ñõîäèìîñòü:Z bZ b ≤ (b − a) sup |SN (x) − S(x)| −→ 0.S(x)dx−S(x)dxNaIa15N >M →∞Ïðèìåð 4.4. Ðÿä∞P(−1)n xn ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà [−r; r]∀r < 1. Ïîýòîìó åãîn=0ñóììó ìîæíî ïî÷ëåííî èíòåãðèðîâàòü ïî ëþáîìó îòðåçêó [0; x] èëè [x; 0] ïðè |x| < 1,ïîëó÷èòñÿ ðÿä∞X(−1)n xn+1n+1n=0A ïîñêîëüêó ðÿäx=∞ ZX(−1)n un du =Zxn=0 0ZxS(u)du =01du = ln(1 + x).1+u0∞X(−1)n xn+1ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [0; 1] (ñì. ïðèìåðn+14.2), òî åãî ñóììà íåïðåðûâíà íà [0; 1], è ðàâåíñòâîn=0∞X(−1)n xn+1n=0n+1∀ x ∈ (−1; 1)= ln(1 + x)ïðîäîëæàåòñÿ ïî íåïðåðûâíîñòè è â òî÷êó x = 1.Òåîðåìà 4.3.

(î ïî÷ëåííîì äèôôåðåíöèðîâàíèè). Ïóñòü ðÿä S(x) =∞Xfn (x)n=0ñõîäèòñÿ íà ïðîìåæóòêå I ⊂ R; âñå ôóíêöèè fn (x) èìåþò íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûåíà I . Ïóñòü ðÿä∞XT (x) =fn0 (x)3n=0ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà âñÿêîì îòðåçêå [α; β] ⊂ I . Òîãäà ñóììà ðÿäà S(x) äèôôåðåíöèðóåìà íà I , ïðè÷åì S 0 (x) = T (x).Äîêàçàòåëüñòâî.

Çàôèêñèðóåì òî÷êó a ∈ I . Ôóíêöèÿ T (x) íåïðåðûâíà =⇒ èíòåãðèðóåìà íà âñÿêîì îòðåçêå â I . Òîãäà äëÿ êàæäîãî x ∈ I èìååìZxxT (u)du =∞ ZXfn0 (u)dun=0 aa=∞Xfn (x) − fn (a) = S(x) − S(a).n=0Ñëåäîâàòåëüíî, S(x) ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé äëÿ T (x) íà I .Ïðèìåð 4.5. Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ ïî÷ëåííî∞X(−1)n xn =n=01ïðè x ∈ (−1; 1),1+xïîëó÷àåì ðÿä∞∞ 1 0XX1nn−1=−=(−1) nx=−(−1)k (k + 1)xk21+x(1 + x)n=1k=0íà òîì æå èíòåðâàëå (−1; 1). Èòàê,∞X1=(−1)k (k + 1)xk = 1 − 2x + 3x2 − 4x3 + 5x4 − 6x5 + . . .(1 + x)2k=03 åñëèx ëåâûé êîíåö I , òî èìååòñÿ â âèäó ïðàâàÿ ïðîèçâîäíàÿ; åñëè ïðàâûé êîíåö, òî ëåâàÿ.165Ñòåïåííûå ðÿäûÑòåïåííûì ðÿäîì íàçûâàåòñÿ ðÿä∞Xcn (x − xo )n ,(5)n=0cn ∈ R.

Òî÷êà xo íàçûâàåòñÿ öåíòðîì. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ D = R. Âûÿñíèì, êàêìîæåò âûãëÿäåòü îáëàñòü ñõîäèìîñòè.Òåîðåìà 5.1. (Àáåëü). Ïóñòü ñòåïåííîé ðÿä (5) ñõîäèòñÿ â òî÷êå x 6= xo . Òîãäà1) åñëè |y − xo | < |x − xo |, òî ðÿä àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ â òî÷êå y;2) åñëè r < |x − xo |, òî ðÿä ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà [xo − r; xo + r].Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ðÿä ñõîäèòñÿ â òî÷êå x, òî âûïîëíåíî íåîáõîäèìîå óñëîâèå∞ñõîäèìîñòè: |cn | · |x − xo |n → 0 ïðè n → ∞, ñëåäîâàòåëüíî, sup (|cn | · |x − xo |n ) = A <n=0+∞. Òîãäà, âçÿâ r < |x − xo |, ïîëó÷àåì äëÿ âñÿêîãî y ∈ [xo − r; xo + r] :nnr|y − xo |nn≤A·.|cn | · |y − xo | = |cn | · |x − xo | ·|x − xo ||x − xo |Òàêèì îáðàçîì, íà îòðåçêå [xo − r; xo + r] ìàæîðàíòîé äëÿ ðÿäà (5) ÿâëÿåòñÿ ñõîäÿn∞ Prùèéñÿ ðÿä A ·, è ðÿä (5) ñõîäèòñÿ íà òàêîì îòðåçêå ðàâíîìåðíî èn=0 |x − xo |àáñîëþòíî.Ñëåäñòâèå 5.1.