Лекции в электронном виде (Лекции Пугачев), страница 10

Îäíàêî, s èìååò è ñàìîñòîÿòåëüíûé ñìûñë. Ïàðàìåòðs, çàäàííûé íà êðèâîé ` = {X(s) = (x(s); y(s); z(s)) : s ∈ [α; β]}, íàçûâàåòñÿíàòóðàëüíûì, åñëè ∀ t1 , t2 ∈ [α; β], t1 < t2 , âûïîëíåíî ðàâåíñòâîL{X(s) : t1 ≤ s ≤ t2 } = t2 − t1 .54Òåîðåìà 14.1. Ïóñòü ` êóñî÷íî-ãëàäêàÿ êðèâàÿ âèäà (24), ` ⊂ D(f ) ⊂ R3 ; f (x, y, z)íåïðåðûâíàÿ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà f èíòåãðèðóåìà ïî `, è åå êðèâîëèíåéíûéèíòåãðàë I ðîäà ðàâåíZβZf (x, y, z)ds =pf (x(t), y(t), z(t)) ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 dt.(25)α`Äîêàçàòåëüñòâî. Èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè (25) ñóùåñòâóåò, ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ êóñî÷íî íåïðåðûâíà.

Ñäåëàåì â èíòåãðàëåçàìåíó ïåðåìåííîé, ââåäÿ íàòóðàëüíûé ïàðàZ tpìåòð s = L({X(τ ) : α ≤ τ ≤ t}) =ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 du. Òîãäà èíòåãðàë ïðèìåò âèäαL(`)Zf x(s(t)), y(s(t)), z(s(t)) ds.(26)0Äëÿ (26) âñå èíòåãðàëüíûå ñóììû è äèàìåòðû ðàçáèåíèé áóäóò òàêèìè æå, êàê äëÿëåâîé ÷àñòè (25).Ñâîéñòâà êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëa I ðîäà1. Ëèíåéíîñòü:ZZ(cf + kg)ds = c`Zf ds + k`g ds.`2. Àääèòèâíîñòü: åñëè êîíåö êðèâîé `1 ñîâïàäàåò ñ íà÷àëîì `2 , òîZZf ds =`1 ∪`23. Îöåíêà: L(`) inf f ≤Z`Zf ds +`1f ds.`2f ds ≤ L(`) sup f .``4. Íåçàâèñèìîñòü îò îðèåíòàöèè êðèâîé: åñëè` = {X(t) : t ∈ [α; β]} = {Y (t) : t ∈ [a; b]}, ïðè÷åì X(α) = Y (b), X(β) = Y (a),òî çíà÷åíèÿ èíòåãðàëà ïîëó÷àòñÿ îäèíàêîâûìè.Ïðèìåð 14.1. Ïðîèíòåãðèðóåì ôóíêöèþ f (x, y) = x ïî ÷åòâåðòè îêðóæíîñòè` = {x2 + y 2 = 1; x√≥ 0; y ≥ 0}, ïàðàìåòðèçîâàâ êðèâóþ äâóìÿ ðàçíûìè ñïîñîáàìè.1) ` = {x = t, y = 1 − t2 , z = 0; 0 ≤ t ≤ 1}.

Ïîëó÷àåì:s2Z1ZZ11√1−t22dt = − 1 − t = 1.dt = t · √x ds = t · 1 + √2201−t1−t00`2) ` = {x = cos s, y = sin s, z = 0; 0 ≤ s ≤ π/2}. Ïàðàìåòð s íàòóðàëüíûé. Òîãäàπ/2ZZ π/2x ds =cos s ds = − sin s = 1.`0055Î÷åâèäíî, åñëè s è u äâà íàòóðàëüíûõ ïàðàìåòðà íà `, òî ëèáî u = s+const, ëèáîu = const − s.  ïåðâîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî s è u çàäàþò îäèíàêîâóþ îðèåíòàöèþ,âî âòîðîì ñëó÷àå ïðîòèâîïîëîæíûå îðèåíòàöèè. Åñëè íà êóñî÷íî-ãëàäêîé êðèâîéçàäàíà îðèåíòàöèÿ, òî â êàæäîé åå òî÷êå (êðîìå íåñêîëüêèõ òî÷åê èçëîìà) çàäàídåäèíè÷íûé êàñàòåëüíûé âåêòîð ~τ (X(s)) = X(s). Ïðè cìåíå îðèåíòàöèè êðèâîé âñådsâåêòîðà ~τ (X) óìíîæàþòñÿ íà (−1). Åñëè íà êðèâîé çàäàí ïàðàìåòð t, âîçðàñòàþùèéâ òîì æå íàïðàâëåíèè, ÷òî è s, òî âåêòîð ~τ ðàâåí ẋ1 ẏ  .~τ (X(t)) = p(27)ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 żÎïðåäåëåíèå 14.4.

Ïóñòü ` ⊂ R3 êóñî÷íî-ãëàäêàÿ êðèâàÿ, íà êîòîðîé âûáðàíàîðèåíòàöèÿ, çàäàâàåìàÿ íàòóðàëüíûì ïàðàìåòðîì s. Ïóñòü V~ (x, y, z) = P (x, y, z)~i+Q(x, y, z)~j + R(x, y, z)~k âåêòîðíîå ïîëå, ` ⊂ D(V~ ). Òîãäà êðèâîëèíåéíûì èíòåãðàëîì II ðîäà âåêòîðíîãî ïîëÿ V~ ïî êðèâîé ` íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëZZP (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = (V~ (X), ~τ (X))ds.``~ , äåéñòÔèçè÷åñêèé ñìûñë êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà II ðîäà ýòî ðàáîòà ñèëû Vâóþùåé íà òî÷êó, äâèæóùóþñÿ ïî êðèâîé ` â íàïðàâëåíèè âîçðàñòàíèÿ s.Âûâåäåì ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà II ðîäà îò íåïðåðûâíîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ ïî êóñî÷íî-ãëàäêîé êðèâîé ñ ïðîèçâîëüíûì ïàðàìåòðîìt, òàêèì, ÷òî dt/ds > 0.

Äëÿ ýòîãî â ôîðìóëó (25) ïîäñòàâèì âûðàæåíèå (27) äëÿâåêòîðà ~τ :ZβZZβP p(ẋ;ẏ;ż) Q  ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 dt = P ẋ + Qẏ + Rż dt.(V~ , ~τ )ds = p222ẋ + ẏ + żRαα`Ýòà ôîðìóëà ìîòèâèðóåò òðàäèöèîííîå îáîçíà÷åíèå êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà IIðîäà.56Ñâîéñòâà êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëa II ðîäà1.

Ëèíåéíîñòü:Z~ , ~τ )ds = c(cV~ + k W`Z(V~ , ~τ )ds + k`Z~ , ~τ )ds.(W`2. Àääèòèâíîñòü: åñëè êîíåö êðèâîé `1 ñîâïàäàåò ñ íà÷àëîì `2 è îðèåíòàöèÿ êðèâûõ`1 è `2 ñîâïàäàåò ñ îðèåíòàöèåé êðèâîé ` = `1 ∪ `2 , òîZZZ~~(V , ~τ )ds = (V , ~τ )ds + (V~ , ~τ )ds.``1`2Z3. Îöåíêà: (V~ , ~τ )ds ≤ L(`) sup |V~ |.``4. Åñëè ïîìåíÿòü îðèåíòàöèþ êðèâîé, òî êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë II ðîäà ïîìåíÿåòçíàê.Ïðèìåð 14.2. Ïðîèíòåãðèðóåì âåêòîðíîå ïîëå V~ (x, y) = y~i + 2x~j ïî êðèâîé ` ={x2 + y 2 = 1; x ≥ 0; y√≥ 0}, îïÿòü äâóìÿ ñïîñîáàìè.21) ` =√ {x = t, y = 1 − t , z = 0; 0 ≤ t ≤ 1}. Ñîîòâåòñòâåííî, dx = dt, dy =−tdt/ 1 − t2 . Ïîëó÷àåì:Zydx + 2xdy =Z1 √1−t20`√1−t3t 1 − t2 − arcsin t π+ 2t · √dt ==− .241 − t202) ` = {x = cos s, y = sin s, z = 0; 0 ≤ s ≤ π/2}; dx = − sin s ds, dy = cos s ds.Îðèåíòàöèÿ äðóãàÿ.ZZπ/2Zπ/21 + 3 cos 2sπds = .ydx + 2xdy = (sin s(− sin s) + 2 cos s · cos s)ds =240`0Òåîðåìà 14.2.

(Ôîðìóëà ÍüþòîíàËåéáíèöà äëÿ êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà) :Ïóñòü Ω ⊂ R3 îáëàñòü; Φ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ íà Ω; âåêòîðíîå ïîëå V~ = ∇Φíåïðåðûâíî. Ïóñòü êóñî÷íî-ãëàäêàÿ êðèâàÿ ` ⊂ Ω, íà íåé çàäàíà îðèåíòàöèÿ, ïðèêîòîðîé òî÷êà A íà÷àëî `, òî÷êà B ee êîíåö. ÒîãäàZP (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = Φ(B) − Φ(A).(28)|{z}`dΦÄîêàçàòåëüñòâî. Âû÷èñëÿåì:Zβ∂Φ∂Φ∂Φ(X(t))ẋ +(X(t))ẏ +(X(t))ż dt =∂x∂y∂zαZβt=βdΦ(X(t)) dt = Φ(X(t))=dtt=αα= Φ(B) − Φ(A).5715Ïëîùàäü ïîâåðõíîñòèÂñïîìíèì, ÷òî ìíîæåñòâî Σ ⊂ R3 íàçûâàåòñÿ ïðîñòîé ãëàäêîé äâóìåðíîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëè îíî ÿâëÿåòñÿ îáðàçîì ñâÿçíîãî îòêðûòîãî ìíîæåñòâà U ⊂ R2 ïîääåéñòâèåì èíúåêòèâíîãî îòîáðàæåíèÿ ~r : U 7→ R3 , ò.å.Σ = ~r(U ) = x(u, v); y(u, v); z(u, v) : (u, v) ∈ U ,(29)x(u, v)ïðè÷eì îòîáðàæåíèå ~r =  y(u, v)  èìååò íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå, è åãîz(u, v)ìàòðèöà ßêîáè∂x/∂u ∂x/∂v∂~r ∂~rJ~r (u, v) = ∂y/∂u ∂y/∂v =∂u ∂v∂z/∂u ∂z/∂vèìååò âñþäó ðàíã 2 (ò.å.

∂~r/∂u è ∂~r/∂v ëèíåéíî íåçàâèñèìû â êàæäîé òî÷êå (u, v) ∈U ).Ñâÿçíîå ìíîæåñòâî Σ ⊂ R3 íàçûâàåòñÿ ãëàäêîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëè ∀A ∈ Σ ∃ε >0 : ìíîæåñòâî Σ ∩ Uε (A) ÿâëÿåòñÿ ïðîñòîé ãëàäêîé ïîâåðõíîñòüþ.Âàæíåéøèì ÷àñòíûì ñëó÷àåì ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè ÿâëÿåòñÿ ãðàôèê ôóíêöèèz = h(x, y), èìåþùåé íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå, ò.å. ìíîæåñòâî âèäàΓh = (x, y, z) : (x, y) ∈ U, z = h(x, y) .(30)Ëþáàÿ ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü ëîêàëüíî ïðåäñòàâèìà â âèäå ãðàôèêà x = f (y, z), èëèy = g(x, z), èëè z = h(x, y).Êàê îïðåäåëèòü ïëîùàäü ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè? Åñëè äåéñòâîâàòü ïî àíàëîãèèñ êðèâîé, ò.å. âçÿòü ñóïðåìóì ïëîùàäåé ìíîãîãðàííûõ ïîâåðõíîñòåé, âïèñàííûõ âãëàêóþ ïîâåðõíîñòü, òî äàæå äëÿ îãðàíè÷åííîãî öèëèíäðà ïîëó÷èòñÿ ∞ (ïàðàäîêñ½ñàïîã Øâàðöà). Ïîýòîìó îïðåäåëèì ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè íå ãåîìåòðè÷åñêè, à àíàëèòè÷åñêè.Îïðåäåëåíèå 15.1. Ïóñòü Σ ïðîñòàÿ ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü âèäà (29), ïðè÷åììíîæåñòâî U êâàäðèðóåìî, à ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ∂x/∂u, .

. . , ∂z/∂v íåïðåðûâíûè îãðàíè÷åíû (â ýòîì ñëó÷àå ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ïðîñòàÿ ïîâåðõíîñòü Σêâàäðèðóåìà). Òîãäà ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè Σ ðàâíàZ Z sZZ q ~ru · ~ru ~ru · ~rv Tdet J~r · J~r dudv =S(Σ) =(31) ~rv · ~ru ~rv · ~rv dudv.UUÌàòðèöà J~rT ·J~r = G(u, v) (ìàòðèöa Ãðàìà) ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íîé è ïîëîæèòåëüíîîïðåëåëåííîé. Âûÿñíèì ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë êîðíÿ èç åå îïðåäåëèòåëÿ.58s ~r · ~r ~r · ~rdetG(u, v) = u u u v~rv · ~ru ~rv · ~rvpr= p = |~ru |2 · |~rv |2 − (~ru · ~rv )2 =2|~ru |2 · |~rv |2 − |~ru | · |~rv | · cos(~r[;~r)= |~ru | · |~rv | · sin(~r[rv ) = |~ru × ~rv | .u vu; ~Åñëè âçÿòü íà U êâàäðàò {uo ≤ u ≤ uo +δ; vo ≤ v ≤ vo +δ} ñ ìàëûì δ (åãî ïëîùàäüδ ), òî åãî îáðàç íà Σ áóäåò áëèçîê ê ïàðàëëåëîãðàììó,p íàòÿíóòîìó íà âåêòîðà δ ·~ru è2δ · ~rv , ïëîùàäü êîòîðîãî δ · |~ru × ~rv |. Òàêèì îáðàçîì, detG(u, v) ýòî êîýôôèöèåíòóâåëè÷åíèÿ ïëîùàäè ïðè îòîáðàæåíèè ~r : U 7→ Σ.×òîáû ìîæíî áûëî ïîëüçîâàòüñÿ îïðåäåëåíèåì 15.1, íåîáõîäèìî äîêàçàòü åãîêîððåêòíîñòü, ò.å.

íåçàâèñèìîñòü S(Σ) îò ñïîñîáà çàäàíèÿ êâàäðèðóåìîé ãëàäêîéïîâåðõíîñòè Σ ÷åðåç ïàðàìåòðû (u, v). Ïóñòüno no~ t) : (s, t) ∈ W .Σ = ~r(u, v) : (u, v) ∈ U = R(s,2Òîãäà u è v äèôôåðåíöèðóåìû ïî s è t; îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâóþùóþ ìàòðèöó ßêîáè÷åðåç T (s, t). Òîãäà ïî òåîðåìå î äèôôåðåíöèðîâàíèè ñëîæíîé âåêòîðíîçíà÷íîé ôóíêöèè èìååì JR~ (s, t) = J~r (u, v) · T (s, t).ZZ qS(Σ) =det(J~rT (u, v) · J~r (u, v)) dudv =U[ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííûõ; òåïåðü u = u(s, t), v = v(s, t)]ZZ qdet(J~rT (u, v) · J~r (u, v)) · |detT (s, t)| dsdt ==WZZ q=det (T T (s, t) · J~rT (u, v) · J~r (u, v) · T (s, t)) dsdt =W=ZZ qdet(JRT~ (s, t) · JR~ (s, t)) dsdt,W÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Åñëè êâàäðèðóåìóþ ãëàäêóþ ïîâåðõíîñòü ðàçðåçàòü íà íåñêîëüêî ÷àñòåé ïî êóñî÷íî-ãëàäêèì êðèâûì, òî åå ïëîùàäü ðàâíà ñóììå ïëîùàäåé åå ÷àñòåé (ýòî ñëåäóåò59èç àääèòèâíîñòè äâîéíîãî èíòåãðàëà). Áëàãîäàðÿ ýòîìó ñâîéñòâó ìîæíî êîððåêòíî îïðåäåëèòü ïëîùàäü îãðàíè÷åííîé êóñî÷íî-ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè êàê ñóììó ïëîùàäåé åå ãëàäêèõ ÷àñòåé.Ïîñìîòðèì, êàê áóäåò âûãëÿäåòü ôîðìóëà ïëîùàäè äëÿ ãðàôèêà (30):10 x(u, v) = u;y(u, v) = v01=⇒ J~r (u, v) = z(u, v) = h(u, v)∂h/∂u ∂h/∂v 1 + (∂h/∂u)2 ∂h/∂u · ∂h/∂vdet(G(u, v)) = ∂h/∂v · ∂h/∂u 1 + (∂h/∂v)2 2 2 = 1 + ∂h + ∂h .∂u∂vÑëåäîâàòåëüíî, ïåðåîáîçíà÷èâ u = x, v = y , ìû ïîëó÷àåì ôîðìóëóZZ s ∂h 2 ∂h 2S(Γh ) =1++dxdy.∂x∂y(32)UÏîäèíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå â ýòîé ôîðìóëå èìååò òàêîé ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë: ýòîñåêàíñ óãëà íàêëîíà êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ê ïëîñêîñòè Oxy , èëè, ÷òî òî æå ñàìîå,óãëà ìåæäó íîðìàëüþ è îñüþ Oz .

Äåéñòâèòåëüíî,−∂h/∂x1~ =  −∂h/∂y  =⇒ cos(N~dN(x,y,h(x,y)) Γh k N, ~k) = q22 .11 + ∂h/∂x + ∂h/∂yÏðèìåð 15.1. Íàéòè ïëîùàäü ÷àñòè ïîëóñôåðû Σ = {z =öèëèíäðîì {(x − 1)2 + y 2 = 1}.1) Ïðåäñòàâèì Σ êàê ãðàôèê:pz = 4 − x2 − y 2 ;p4 − x2 − y 2 }, âûðåçàåìîé(x; y) ∈ D = {(x − 1)2 + y 2 < 1}.60Òîãäà ñåêàíñ óãëà íàêëîíà ðàâåís2 2xy21+ p+ p=p.4 − x2 − y 24 − x2 − y 24 − x2 − y 2Âû÷èñëèì ïëîùàäü ïî ôîðìóëå (32), ïåðåéäÿ ê ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì:ZZS(Σ) =Zπ/22dxdyp4 − x2 − y 2D==2Zcos ϕdϕ0−π/2Zπ/2 2ρdρp=4 − ρ2Zπ/22 cos ϕp−2 4 − ρ2 dϕ =4(1 − | sin ϕ|)dϕ = 4π − 8.0−π/2−π/22) Ïàðàìåòðèçóåì Σ øèðîòîé ψ è äîëãîòîé ϕ :x = 2 cos ψ cos ϕ; y = 2 cos ψ sin ϕ; z = 2 sin ψ;(ϕ; ψ) ∈ W.Ïîäñòàâèâ òàêèå x, y , z â óðàâíåíèå öèëèíäðà, ïîëó÷àåìW = {|ϕ| < ψ < π/2}.Äèôôåðåíöèðóåì x, y, z ïî ψ è ϕ :− sin ψ cos ϕ~rψ = 2  − sin ψ sin ϕ  ;cos ψ− cos ψ sin ϕ~rϕ = 2  cos ψ cos ϕ  .0 40 = 16 cos2 ψ .