Лекции в электронном виде (Лекции Пугачев), страница 9

. .30Íî ìû åãî âû÷èñëèì äðóãèì ñïîñîáîì ÷óòü ïîçæå.Çàìåíà ïåðåìåííûõ â êðàòíûõ èíòåãðàëàõÒåîðåìà 12.2. (áåçäîêàçàòåëüñòâà). Ïóñòü èçìåðèìîå U ⊂ Rn îáëàñòü (ò.å.ñâÿçíîå îòêðûòîå). Ïóñòü îòîáðàæåíèå Y = (y1 , . . . , yn ) : U 7→ Rn èíúåêòèâíîè äèôôåðåíöèðóåìî, ïðè÷eì âñå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ∂yi /∂uj îãðàíè÷åíû è íåïðåðûâíû íà U .

Òîãäà ìíîæåñòâî W = Y (U ) (îáðàç U ïîä äåéñòâèåì Y ) èçìåðèìî, èäëÿ ëþáîé ôóíêöèè f , îãðàíè÷åííîé è íåïðåðûâíîé íà W , âåðíà ôîðìóëà çàìåíûïåðåìåííûõ:ZZ· · · f (y1 , . . . , yn )dy1 . . . dyn =(21)WZ=Z···f y1 (u1 , .., un ), . . . , yn (u1 , .., un ) det JY (u1 , .., un )du1 . . . dun ,Uãäå JY ìàòðèöà ßêîáè îòîáðàæåíèÿ Y :∂y1 /∂u1 . . . ∂y1 /∂un..........JY (u1 , .

. . , un ) = ∂yn /∂u1 . . . ∂yn /∂unÑëåäñòâèå 12.1. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 12.2. Ïîäñòàâàèâ ôóíêöèþf ≡ 1, ìû ïîëó÷èì, ÷òî n-ìåðíûé îáúeì ìíîæåñòâà W = Y (U ) ðàâåíZZV (W ) = · · · det JY (u1 , . . . , un )du1 . . . dun .U47Ýòà ôîðìóëà ïðîÿñíÿåò ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ÿêîáèàíà (îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöûßêîáè): êîýôôèöèåíò óâåëè÷åíèÿ îáúåìà ïðè îòîáðàæåíèè Y . äâóìåðíîì ñëó÷àå ñàìàÿ ÷àñòî óïîòðåáëÿåìàÿ çàìåíà ïåðåìåííûõ ïîëÿðíûåêîîðäèíàòû (îáîçíà÷èì y1 = x, y2 = y; u1 = ρ, u2 = ϕ): xρ · cos ϕρ>0Y (ρ, ϕ) ==; Y : (ρ, ϕ) :7→ R2 \{O}.yρ · sin ϕ−π < ϕ ≤ πÂû÷èñëèì ÿêîáèàí: ∂x/∂ρ ∂x/∂ϕdet JY (ρ, ϕ) = ∂y/∂ρ ∂y/∂ϕ cos ϕ −ρ sin ϕ= sin ϕ ρ cos ϕ = ρ.Ïðèìåð 12.1 (ïðîäîëæåíèå).

Ïðîîáðàç îáëàñòè D åñòü ïðÿìîóãîëüíèê U = {(ρ, ϕ) :1 < ρ < 2, 0 < ϕ < π/2}. Ôóíêöèÿ f (x(ρ, ϕ), y(ρ, ϕ)) ïðèìåò âèä (ρ cos ϕ)2 (ρ sin ϕ)2 =ρ4 sin2 2ϕ. Ïî ôîðìóëå (21) ïîëó÷àåì4 !ZZZπ/2 Z2Zπ/2226 ρ=2sin2ϕsin2ϕρx2 y 2 dxdy =dϕ ρ4· ρ dρ =· dϕ =446 ρ=10D21=810Zπ/2Zπ/22121π2sin 2ϕdϕ =1 − cos 4ϕdϕ =.163200Òåïåðü ðàññìîòðèì çàìåíû ïåðåìåííûõ â òðåõìåðíîì ñëó÷àå.Öèëèíäðè÷åñêèå êîîðäèíàòû. u1 = ρ ðàññòîÿíèå îò îñè Oz , u2 = ϕ àçèìóò,u3 = h âûñîòà. xρ · cos ϕρ>0−π < ϕ ≤ πY (ρ, ϕ, h) =  y  =  ρ · sin ϕ  ; Y :7 R3 \Oz;→zhh∈Rÿêîáèàí ðàâåí ∂x/∂ρ ∂x/∂ϕ ∂x/∂hdet JY (ρ, ϕ, h) = ∂y/∂ρ ∂y/∂ϕ ∂y/∂h ∂z/∂ρ ∂z/∂ϕ ∂z/∂h cos ϕ −ρ sin ϕ 0 = sin ϕ ρ cos ϕ 0 = ρ.

001 Ñôåðè÷åñêèå êîîðäèíàòû. u1 = r ðàññòîÿíèå îò íà÷àëà êîîðäèíàò, u2 = ϕ äîëãîòà, u3 = ψ øèðîòà.  xr cos ψ cos ϕr>0−π < ϕ ≤ πY (r, ϕ, ψ) =  y  =  r cos ψ sin ϕ  ; Y :7→ R3 \Oz;zr sin ψ|ψ| < π/2ÿêîáèàí ðàâåí cos ψ cos ϕ −r cos ψ sin ϕ −r sin ψ cos ϕdet JY (r, ϕ, ψ) = cos ψ sin ϕ r cos ψ cos ϕ −r sin ψ sin ϕsin ψ0r cos ψ48 = r2 cos ψ.Ïðèìåð 12.2. Ïðîèíòåãðèðóåì ôóíêöèþf (x, y, z) = x2 x2 + y 2 + z 2 ïî øàðîâîìórpx2 + y 2 o ncos ψ o(èíòåðâàë= r < 1, sin ψ > √330 < z < 1 îñè Oz ïðèäåòñÿ èçúÿòü, âåäü òàì íàðóøàåòñÿ èíúåêòèâíîñòü Y íåëüçÿîäíîçíà÷íî îïðåäåëèòü äîëãîòó, íî ýòî íåâàæíî: åãî îáúåì ðàâåí 0).ñåêòîðó Ω =nx2 + y 2 + z 2 < 1, z >ΩZZZx2px2 + y 2 + z 2 dxdydz =ΩZπ=−πZπ/2 Z1dϕ dψ r3 cos2 ϕ cos2 ψ · r2 cos ψ dr =0π/61=6Zπ−πZπ/2Zπ15π 5dϕ cos2 ϕ cos3 ψdψ =cos2 ϕ · dϕ = · .6246 24−ππ/64913Ïðèëîæåíèÿ äâîéíûõ è òðîéíûõ èíòåãðàëîâÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÏÐÈËÎÆÅÍÈßÄâîéíîé èíòåãðàë îò 1 ïî ïëîñêîé ôèãóðå äàñò ïëîùàäü ôèãóðû.

Åñëè ñâåñòè äâîéíîéèíòåãðàë ê ïîâòîðíîìó, òî ïîëó÷àòñÿ ôîðìóëû ïëîùàäåé â äåêàðòîâûõ è ïîëÿðíûõêîîðäèíàòàõ, èçó÷åííûå â ïðîøëîì ñåìåñòðå.Äâîéíûå èíòåãðàëû ïðèìåíÿþòñÿ òàêæå äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäåé ïîâåðõíîñòåé,îá ýòîì ðå÷ü ïîéäåò íà ëåêöèè 15.Îáúåì òðåõìåðíîãî òåëà âû÷èñëÿåòñÿ ÷åðåç òðîéíîé èíòåãðàë îò 1, è çäåñü óæåíàøè âîçìîæíîñòè ðàñøèðÿòñÿ.1. Ïóñòü òåëî çàäàíî â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ:B = {(x; y; z) : (x; y) ∈ D, g(x, y) ≤ z ≤ h(x, y)} ,ãäå D ⊂ R2 êâàäðèðóåìûé êîìïàêò (ïðîåêöèÿ B ); ôóíêöèè g è h íåïðåðûâíû íàD, h ≥ g íà D. Òîãäà òåëî B êóáèðóåìî, è åãî îáúåì ðàâåíZZV (B) =h(x, y) − g(x, y) dxdy.D2.

Ïóñòü òåëî çàäàíî â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ:C = {α ≤ ϕ ≤ β; r(ϕ) ≤ ρ ≤ R(ϕ); u(ρ, ϕ) ≤ h ≤ v(ρ, ϕ)} ,ãäå 0 < β − α ≤ 2π; 0 ≤ r ≤ R, ôóíêöèè r è R íåïðåðûâíû íà [α; β]; ôóíêöèè u ≤ víåïðåðûâíû íà {α ≤ ϕ ≤ β; r(ϕ) ≤ ρ ≤ R(ϕ)} . Òîãäà òåëî C êóáèðóåìî, è åãî îáúåìðàâåíR(ϕ)ZβZV (C) = dϕv(ρ, ϕ) − u(ρ, ϕ) ρ dρ.αr(ϕ)3. Ïóñòü òåëî çàäàíî â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ:Ω = {α ≤ ϕ ≤ β; s(ϕ) ≤ ψ ≤ n(ϕ); r ≤ R(ϕ, ψ)} ,ãäå 0 < β − α ≤ 2π; −π/2 ≤ s ≤ n ≤ π/2, ôóíêöèè s è n íåïðåðûâíû íà [α; β]; ôóíêöèÿ R ≥ 0 íåïðåðûâía íà {α ≤ ϕ ≤ β; s(ϕ) ≤ ψ ≤ n(ϕ)} . Òîãäà òåëî Ω êóáèðóåìî,è åãî îáúåì ðàâåíZβV (Ω) =αn(ϕ)R(ϕ,ψ)n(ϕ)ZZZβZR3 (ϕ, ψ)cos ψ dψ.dϕdψρ2 cos ψ dρ = dϕ3s(ϕ)0α50s(ϕ)ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÅ ÏÐÈËÎÆÅÍÈßÊðàòíûé èíòåãðàë ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü ïîëíîå çíà÷åíèå àääèòèâíîé ñêàëÿðíîéôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû7 , åñëè èçâåñòíà ïëîòíîñòü åå ðàñïðåäåëåíèÿ (ïîâåðõíîñòíàÿèëè îáúåìíàÿ), è ýòà ïëîòíîñòü çàâèñèò áîëåå ÷åì îò îäíîé êîîðäèíàòû.Åñëè Π ïëîñêàÿ ïëàñòèíà, è âåëè÷èíà M èìååò ïîâåðõíîñòíóþ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ σ(x, y), òî ïîëíîå çíà÷åíèå M è ñðåäíåå çíà÷åíèå σ âû÷èñëÿþòñÿ òàê:ZZM (Π)M (Π) =σ(x, y)dxdy;σ=.(22)S(Π)ΠÅñëè B òðåõìåðíîå òåëî, è âåëè÷èíà M èìååò ïðîñòðàíñòâåííóþ ïëîòíîñòüðàñïðåäåëåíèÿ γ(x, y, z), òî ïîëíîå çíà÷åíèå M è ñðåäíåå çíà÷åíèå γ âû÷èñëÿþòñÿòàê:ZZZM (B)M (B) =γ(x, y, z)dx;γ=.(23)V (B)BÏðèìåð 13.1.

Íàéòè ñðåäíþþ ïëîòíîñòü γ øàðà, åñëè ïëîòíîñòü ëèíåéíî èçìåíÿåòñÿ îò öåíòðà ê ïîâåðõíîñòè îò âåëè÷èíû γo äî γ1 .Ïóñòü R ðàäèóñ øàðà, O(0; 0; 0) åãî öåíòð. ÒîãäàZZZγ1 − γo p 2M=γo +x + y 2 + z 2 dxdydz.R{x2 +y 2 +z 2 ≤R2 }Ïåðåéäåì ê ñôåðè÷åñêèì êîîðäèíàòàì:ZRM=dr−π0ZR=drdϕγ1 − γor r2 cos ψ dψ =γo +R−π/2ZR γ1 − γo 3γ1 − γo 32γo r +r 2dϕ = 4π γo r +r dr =RR2−π0= 4πZπ Zπ/2 Zπ0r=Rγo 3 γ1 − γo 4 4π3γo + 3γ1r +r =γo + (γ1 − γo ) R3 = V ·.34R344r=0Îòâåò: γ =γo + 3γ1.47 Òàêèìèâåëè÷èíàìè ÿâëÿþòñÿ: ìàññà; çàðÿä; ýíåðãèÿ (ïîòåíöèàëüíàÿ, êèíåòè÷åñêàÿ, òåïëîâàÿ);ñòàòè÷åñêèé ìîìåíò; ìîìåíò èíåðöèè; îäíà èç êîìïîíåíò ñèëû, äåéñòâóþùåé íà òåëî (äàâëåíèå,ïðèòÿæåíèå) èëè âûçûâàåìîé ýòèì òåëîì; ìîìåíò òàêîé ñèëû.51Ìîìåíòû è öåíòð ìàññÅñëè èçâåñòíà ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ìàññû % (ïîâåðõíîñòíàÿ èëè îáúåìíàÿ),òî ñòàòè÷åñêèå ìîìåíòû è ìîìåíòû èíåðöèè èìåþò ñîîòâåòñòâóþùèå ïëîòíîñòèðàñïðåäåëåíèÿ:äëÿ Mx ïëîòíîñòü x · %äëÿ My ïëîòíîñòü y · %äëÿ Mz ïëîòíîñòü z · %äëÿ JOx ïëîòíîñòü (y 2 + z 2 )%äëÿ JOy ïëîòíîñòü (x2 + z 2 )%äëÿ JOz ïëîòíîñòü (x2 + y 2 )%Ìîìåíòû âû÷èñëÿþòñÿ ÷åðåç èíòåãðàëû ïî ôîðìóëàì (22) èëè (23).

Öåíòð ìàññèìååò êîîðäèíàòû xc = Mx /M , yc = My /M , zc = Mz /M .Ïðèìåð 13.2. Íàéòè öåíòð ìàññ êâàäðàòíîé ïëàñòèíû [0; 1]×[0; 1] ñ ïëîòíîñòüþσ(x, y) = ex+y . Ìàññà ïëàñòèíû ðàâíàZ1M=Z1dx0ex+y dy =0Z1(ex+1 − ex )dx = (e − 1)2 .0Ñòàòè÷åñêèé ìîìåíò ïî x :Z1Mx =Z1x·edx0x+y0Z1dy =x+1x(exZ1− e )dx = (e − 1)0xdex =01= (e − 1)(xex − ex ) = e − 1.0Ñëåäîâàòåëüíî, xc =Mx1=. Äëÿ yc ïîëó÷èòñÿ òî æå ñàìîå.Me−1Ïðèìåð 13.3.

Íàéòè ìîìåíò èíåðöèè øàðà èç ïðèìåðà 13.1 îòíîñèòåëüíî îñèOz .Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ìîìåíòà èíåðöèè ðàâíà γ(x, y, z) · (x2 + y 2 ), ñëåäîâàòåëüíî,îí âû÷èñëÿåòñÿ ÷åðåç èíòåãðàëZZZγ1 − γo p 222JOz =γo +x + y + z (x2 + y 2 )dxdydz.R{x2 +y 2 +z 2 ≤R2 }Ïåðåéäåì ê ñôåðè÷åñêèì êîîðäèíàòàì:52ZRJOz =Zπ/2 Zπdrdϕ−π0x2 +y 2−π/2ZR=γ1 − γoγo +r r2 cos2 ψ · r2 cos ψ dψ =| {z }RZπdrγ1 − γo 5dϕ γo r4 +rR−π0==dr0Zπ dr0Zπ(1 − sin2 ψ)d sin ψ =−π/2ZRZR Zπ/2γ1 − γo 5γo r +rR4−πγ1 − γo 5γo r4 +rR4dϕ =3−π1s3 s−dϕ =3 −1ZR8π3γ1 − γo 5γo r +r dr =R408π=3r=Rγo 5 γ1 − γo 6 4π γo γ1 5r +r =+R .56R3 153r=0Äîêàæåì îäíó èçâåñòíóþ òåîðåìó èç ìåõàíèêè.Òåîðåìà Øòåéíåðà. Ïóñòü ` è `o äâå ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå â R3 , ðàññòîÿíèåìåæäó íèìè ðàâíî δ , è öåíòð ìàññ òåëà B ëåæèò íà `o . Òîãäà äëÿ òåëà B âåðíàôîðìóëà J` = J`o + M (B) · δ 2 .Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïîìåñòèì íà÷àëî êîîðäèíàò â öåíòð ìàññ B , ïóñòü Oz = `o , èïóñòü ïðÿìàÿ ` ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó (δ; 0; 0). ÒîãäàZZZJ` =γ(x, y, z)((x − δ)2 + y 2 )dxdydz =BZZZ2ZZZ2γ · (x + y )dxdydz − 2δ ·=|B{zJ `o}2ZZZγ · x dxdydz + δ ·|B{z=053}γ dxdydz .|B{zM (B)}14Êðèâîëèíåéíûå èíòåãðàëûÎïðåäåëåíèå 14.1. Êðèâàÿ â ïðîñòðàíñòâå R3 ìíîæåñòâî âèäà` = {X(t) = (x(t); y(t); z(t)) : t ∈ [α; β]},(24)ãäå x(t), y(t), z(t) íåïðåðûâíûå ôóíêöèè íà [α; β].Êðèâàÿ íàçûâàåòñÿ ãëàäêîé, åñëè ñóùåñòâóþò íåïðåðûâíûå ẋ = x0 (t), ẏ = y 0 (t),ż = z 0 (t), íå îáðàùàþùèåñÿ â 0 îäíîâðåìåííî (ïðè t = α èìåþòñÿ â âèäó ïðàâûåïðîèçâîäíûå, ïðè t = β ëåâûå).Êðèâàÿ íàçûâàåòñÿ êóñî÷íî-ãëàäêîé, åñëè ñóùåñòâóþò òàêèå tj :α=t0 <t1 <.

. . <tN =β , ÷òî ñîñòàâëÿþùèå åå êðèâûå {X(t) : t ∈ [tj−1 ; tj ]} ãëàäêèå.Îïðåäåëåíèå 14.2. Äëèíà êðèâîé L(`) = ñóïðåìóì äëèí âïèñàííûõ â íåå ëîìàíûõX0 X1 . . . Xn , Xi = X(ti ), ò.å.Xn−→L(`) = sup|Xi−1 Xi | : α = t0 < t1 < . .

. < tn = β, n ∈ N .k=1Êàê èçâåñòíî, äëèíà êóñî÷íî-ãëàäêîé êðèâîé (24) ðàâíàL(`) =Zβ pẋ2 + ẏ 2 + ż 2 dt.αÁóäåì íàçûâàòü ðàçáèåíèåì êðèâîé (24) íàáîð òî÷åê{Pi = (x(ti ), y(ti ), z(ti )) : α = t0 < t1 < . . . < tm = β};îáîçíà÷èì êóñî÷êè êðèâîé `i = {(x(t), y(t), z(t)) : t ∈ [ti−1 ; ti ]}. Äèàìåòð ðàçáèåíèÿmðàâåí diam{Pi } = max L(`i ).i=1Îïðåäåëåíèå 14.3. Ôóíêöèÿ f (x, y, z) èíòåãðèðóåìà ïî êðèâîé ` âèäà (24), åñëè` ⊂ D(f ) è ñóùåñòâóåò ÷èñëî J ∈ R : ∀ε > 0 ∃δ > 0 : åñëè diam{Pi } < δ , òî ïðèëþáîì âûáîðå òî÷åê Xi ∈ `i èìååì{X }S{Pii} (f )=mXL(`i )f (Xi ) ∈ (J − ε; J + ε).i=1Òàêîå ÷èñëî J íàçûâàåòñÿ êðèâîëèíåéíûì èíòåãðàëîì I ðîäà ôóíêöèè f ïîêðèâîé ` è îáîçíà÷àåòñÿZJ = f (x, y, z)ds.`Çäåñü ds åäèíûé ñèìâîë.