Лекции в электронном виде (Лекции Пугачев), страница 4

Äëÿ ñòåïåííîãî ðÿäà îïðåäåëåí ðàäèóñ ñõîäèìîñòè òàêîå ÷èñëîR ∈ [0; +∞], ÷òî ïðè |x − xo | < R ðÿä àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ â x, à ïðè |x − xo | > Rðÿä ðàñõîäèòñÿ â x.Èíòåðâàë (xo − R; xo + R) íàçûâàåòñÿ èíòåðâàëîì ñõîäèìîñòè. Åñëè 0 < R <+∞, òî íà êîíöàõ èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè x = xo ± R âîçìîæíà è ðàñõîäèìîñòü, èñõîäèìîñòü (àáñîëþòíàÿ èëè óñëîâíàÿ).Ôîðìóëó ðàäèóñà ñõîäèìîñòè âûâåäåì èç ðàäèêàëüíîãî ïðèçíàêà Êîøè:ppp −1lim n |cn | · |x − xo |n = |x − xo | · lim n |cn | < 1 =⇒ R = lim n |cn |.n→∞n→∞Ïðèìåð 5.1. Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü ñòåïåííîé ðÿän→∞∞Xnnn=1n!xn .

Âû÷èñëèì ðàäèóññõîäèìîñòè, ïðåäñòàâèâ n! ïî ôîðìóëå Ñòèðëèíãà:rr nn1en n= lim= lim n √= e.n→∞n→∞Rn!2πnÈíòåðâàë ñõîäèìîñòè: (−e−1 ; e−1 ). Îñòàëîñü èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü íà êîíöàõ. Íà n ∞n1 X 1nn1√√√ ðàñõîîáîèõ êîíöàõ ìîäóëè ñëàãàåìûõ xn =∼,íîðÿän!n! · en2πn2π n=1 näèòñÿ =⇒ íåò àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè. Ïðè x = e−1 ðÿä çíàêîïîëîæèòåëüíûé, ðàñõînn 1 n (−1)näèòñÿ. Ïðè x = −e−1 ðÿä ñõîäèòñÿ ïî ïðèçíàêó Ëåéáíèöà:−∼√→ 0;n!e2πn17çíàêè ÷åðåäóþòñÿ; n+1 (n + 1)n+1 1 n+1 nn 1 n 1 n = (n + 1)−/−=1+/e < 1 (n + 1)! n!ee (n + 1) nn · en=⇒ ñëàãàåìûå óáûâàþò ïî ìîäóëþ.

Îòâåò: îáëàñòü ñõîäèìîñòè C = [−e−1 ; e−1 ); âèíòåðâàëå (−e−1 ; e−1 ) ñõîäèìîñòü àáñîëþòíàÿ; â òî÷êå −e−1 óñëîâíàÿ.Ïî÷ëåííîå äèôôåðåíöèðîâàíèå è èíòåãðèðîâàíèå∞XÒåîðåìà 5.2. Ïóñòü ðÿä S(x) =cn (x − xo )n èìååò ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R. Òîãäàn=0∀x ∈ (xo − R; xo + R) âåðíû ðàçëîæåíèÿ0S (x) =∞Xn−1n cn (x − xo )Zx,xon=1∞Xcn(x − xo )n+1 ,S(y)dy =n+1n=0ïðè÷åì îáà íîâûõ ðÿäà èìåþò òàêîé æå ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R.Äîêàçàòåëüñòâî. Âû÷èñëèì ðàäèóñû ñõîäèìîñòè:n p n−1p√11n−1n= limn|cn | = lim|cn |· lim n−1 n = · 1;n→∞n→∞R1 n→∞Rrn p n+1√1|cn |1n+1n= lim= lim|cn |/ lim n+1 n + 1 = /1.n→∞R2 n→∞n + 1 n→∞RÈòàê, R1 = R2 = R. Ïîñêîëüêó ðÿäû∞Xcn (x − xo )nn=0è∞X(cn (x − xo )n )0 =n=0∞Xn cn (x − xo )n−1n=1ñõîäÿòñÿ ðàâíîìåðíî íà êàæäîì îòðåçêå [a; b] ⊂ (xo − R; xo + R), ïðèìåíÿåì òåîðåìûî ïî÷ëåííîì äèôôåðåíöèðîâàíèè è èíòåãðèðîâàíèè.Ïðèìåíèâ òåîðåìó (5.2) k ðàç, ïîëó÷àåì ðàçëîæåíèå k -îé ïðîèçâîäíîé â ñòåïåííîé ðÿä:S(k)(x) =∞Xn(n − 1) .

. . (n + 1 − k)(x − xo )n−k∀x ∈ (xo − R; xo + R),n=kà ïîäñòàâèâ x = xo , ìû ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå S (k) (xo ) = k!·ck , è òîãäà ìîæíî çàïèñàòüñòåïåííîé ðÿä â âèäå ðÿäà Òåéëîðà äëÿ ôóíêöèè S(x) :S(x) =∞XS (n) (xo )n=0n!(x − xo )n .(6)Ðÿä Òåéëîðà ìîæíî ñîñòàâèòü äëÿ ëþáîé áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèèf (x), íî ñóììà ýòîãî ðÿäà íå âñåãäà ñîâïàäàåò c f (x).18e−1/|x| ïðè x 6= 0; xo = 0.

Ïðè x 6= 0 ñóùåñòâóþò âñå0ïðè x = 0ïðîèçâîäíûå. Ïðè x = 0 âû÷èñëÿåì:Ïðèìåð 5.2. Ïóñòü f (x) =e−1/|x|= 0,x→0xf 0 (0) = limsign x · x−2 · e−1/|x|= 0, è ò. ä.x→0xf 00 (0) = limÐÿä Òåéëîðà ñ öåíòðîì 0 ñîñòîèò èç íóëåâûõ ñëàãàåìûõ, íî f (x) = 0 òîëüêî ïðèx = 0.Îïðåäåëåíèå 5.1. Ôóíêöèÿ f (x) àíàëèòè÷åñêàÿ â èíòåðâàëå (a; b), −∞ ≤ a <b ≤ +∞, åñëè ∀ xo ∈ (a; b) ∃ R > 0 : â îêðåñòíîñòè (xo − R; xo + R) ôóíêöèÿ f (x)ðàâíà ñóììå íåêîòîðîãî ñòåïåííîãî ðÿäà ñ öåíòðîì xo .Àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóìà íà (a; b) è â ñèëó (6) âîêðåñòíîñòè ëþáîé òî÷êè xo ∈ (a; b) ðàâíà ñóììå ñâîåãî ðÿäà Òåéëîðà.Ïóñòü äàíà ôóíêöèÿ f (x), áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìàÿ â îêðåñòíîñòè òî÷êè xo ;òî÷êà x ëåæèò â ýòîé îêðåñòíîñòè.

Âûïèøåì ôîðìóëó Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì:f (x) =mXf (n) (xo )n!k=0(x − a)n + rm (x) = Sm (x) + rm (x).Òîãäà f (x) = S(x) ⇐⇒ lim (f (x) − Sm (x)) = 0 ⇐⇒ lim rm (x) = 0 òàêîâî íåîám→∞m→∞õîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ñîâïàäåíèÿ çíà÷åíèÿ ôóíêöèè ñ ñóììîé åå ðÿäàÒåéëîðà.Ñëåäóþùàÿ ëåììà äàåò ïðîñòîå äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ñõîäèìîñòè ðÿäà Òåéëîðà êñàìîé ôóíêöèè.Ëåììà 5.1. Åñëè ôóíêöèÿ f (x) áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìà â èíòåðâàëå (xo −R; xo + R), è äëÿ åå ïðîèçâîäíûõ âûïîëíåíà îöåíêà∀nïðè|f (n) (x)| ≤ C|x − xo | < R,òî f (x) ðàâíà ñóììå ñâîåãî ðÿäà Òåéëîðà â (xo − R; xo + R).Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïðåäñòàâèì îñòàòî÷íûé ÷ëåí â ôîðìå Ëàãðàíæà:rm (x) =f (m+1) (ξ)(x − a)m+1 ,(m + 1)!ãäå ξ íåêîòîðàÿ òî÷êà, ëåæàùàÿ ìåæäó xo è x. Ïîëó÷àåì îöåíêó:C|rm (x)| ≤|x − a|m+1 → 0 ïðè m → ∞.(m + 1)!Óñëîâèÿì ëåììû 5.1 äëÿ ëþáîé òî÷êè xo è ∀ R > 0 óäîâëåòâîðÿþò ôóíêöèè sin x,cos x (äëÿ íèõ C = 1) è ex (äëÿ íåå C = exo +R ). Ñëåäîâàòåëüíî, êàêóþ áû òî÷êóxo ∈ R ìû íè âçÿëè, ýòè òðè ôóíêöèè ñîâïàäóò ñ ñóììàìè ñâîèõ ðÿäîâ Òåéëîðà íàâñåé ÷èñëîâîé îñè.19Ðÿä Òåéëîðà ñ öåíòðîì xo = 0 íàçûâàþò ðÿäîì Ìàêëîðåíà. Âûïèøåì ðÿäûÌàêëîðåíà äëÿ ôóíêöèé ex , sin x, cos x. Êàê ìû óæå çíàåì, ýòè ðÿäû ñõîäÿòñÿ êñàìèì ôóíêöèÿì ïðè âñåõ x ∈ R.

Çíà÷åíèÿ ex è åå ïðîèçâîäíûõ â 0 âñå ðàâíû 1.Ïîäñòàâèì èõ â ôîðìóëó ðÿäà Òåéëîðà:∞X1 ne =xn!n=0x(7)∀x ∈ R.Çíà÷åíèÿ ñèíóñà è åãî ïðîèçâîäíûõ â 0 ðàâíû, ñîîòâåòñòâåííî, 0, 1, 0, −1, è ò. ä.ñ ïåðèîäîì 4. Îñòàíóòñÿ ëèøü ñëàãàåìûå ñ íå÷åòíûìè ñòåïåíÿìè n = 2k + 1 :∞X(−1)k 2k+1sin x =x(2k + 1)!k=0(8)∀x ∈ R.Ðÿä äëÿ êîñèíóñà ìîæíî ïîëó÷èòü ïî÷ëåííûì äèôåðåíöèðîâàíèåì (8):cos x =∞X(−1)kk=0(2k)!x2k(9)∀x ∈ R.Ñóììà ñëåäóþùåãî ðÿäà Ìàêëîðåíà áûëà âû÷èñëåíà íåïîñðåäñòâåííî:∞X1=(−1)n xn1 + x n=0(10)∀x ∈ (−1; 1).Ñëåäóþùèé ðÿä áûë ïîëó÷åí èç (10) ïî÷ëåííûì èíòåãðèðîâàíèåì, â òî÷êó x = 1ðàâåíñòâî ïðîäîëæåíî ïî íåïðåðûâíîñòè ñóììû:ln(1 + x) =∞X(−1)n−1n=1nxn∀x ∈ (−1; 1].(11)Âûïèøåì ðÿä Ìàêëîðåíà äëÿ ôóíêöèè (1 + x)a , a ∈ R, äèôôåðåíöèðóÿ åå â íóëåáåñêîíå÷íî ìíîãî ðàç.

Ïðè a ∈ N ∪ {0} ìû ïîëó÷èì ôîðìóëó áèíîìà Íüþòîíà ñêîíå÷íûì ÷èñëîì ñëàãàåìûõ, è âîïðîñ î ñõîäèìîñòè íå ñòîèò. Åñëè æå ïîêàçàòåëü aîòðèöàòåëüíûé èëè äðîáíûé, òî ðÿä Ìàêëîðåíà âûãëÿäèò òàê4 :a(1 + x) =∞Xn=0a(a − 1) . . . (a + 1 − n) nx =n!∞Xn=0nQ(a + 1 − k)k=1n!xn ïðè |x| < 1.(12)Äëÿ ýòîãî ðÿäà íå óäàåòñÿ äîêàçàòü rN (x) → 0 ïðè N → ∞, îöåíèâàÿ îñòàòî÷íûé÷ëåí â ôîðìå Ëàãðàíæà. Ïðèìåíèì äðóãîå äîêàçàòåëüñòâî.4 Ïðîèçâåäåíèå0 ñîìíîæèòåëåé ñ÷èòàåòñÿ = 1.206Ðàçëîæåíèå ôóíêöèé â ñòåïåííûå ðÿäûnQÐàäèóñ ñõîäèìîñòè ðÿäà S(x) =(a + 1 − k)∞Xk=1xn ðàâåí 1, ÷òî ïðîâåðÿåòñÿ ïî ïðèçíàêón!n=0Äàëàìáåðà.

Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè |x| < 1 ìîæíî ïðîäèôôåðåíöèðîâàòü ðÿä S(x) ïî÷ëåííî. Çàòåì äîìíîæèì íà (1 + x) è ðàñêðîåì ñêîáêè:0(1+x)S = (1+x)∞XnQ(a + 1 − k)k=1(n − 1)!n=1xn−1=∞XnQ(a + 1 − k)k=1n=1(n − 1)!xn−1∞X+n=1nQ(a + 1 − k)k=1(n − 1)!xn =[â ïåðâîé ñóììå ïîëîæèì m = n−1 è ïåðâîå ñëàãàåìîå âûïèøåì îòäåëüíî; âî âòîðîéñóììå ïîëîæèì m = n]=a+∞ XmQmQ(a + 1 − k) · (a − m)k=1+m!m=1k=1(a + 1 − k) m!/mxm = a · S(x).Ñëåäîâàòåëüíî, S(x) ÿâëÿåòñÿ íà (−1; 1) ðåøåíèåì çàäà÷è KoøèaS 0 (x) =S(x), S(0) = 1, îòêóäà S(x) = (1 + x)a .1+xÔîðìóëà (10) ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ôîðìóëû (12) ïðè a = −1.Çàïîìíèâ ðàçëîæåíèÿ (7)(12), ìîæíî ïîëó÷àòü ðàçëîæåíèÿ â ðÿäû Òåéëîðàìíîãèõ ñëîæíûõ ôóíêöèé è äàæå íåáåðóùèõñÿ èíòåãðàëîâ, ïðèìåíÿÿ ñëåäóþùèå÷åòûðå ïðèåìa (îáúÿñíèì èõ íà ïðèìåðàõ):I.

Ïîäñòàíîâêà îäíî÷ëåíà. Pàçëîæèì ïî ñòåïåíÿì x ôóíêöèè:∞∞XX1−1 n n=(1+y)=(−1)y=(−1)n x2n ,2y=x21+xn=0n=0ðÿä ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè ïðè |y| < 1, ò.å. ïðè |x| < 1. Àíàëîãè÷íî√1= (1 + y)−1/2 y=−x21 − x2n 1nQQ−k∞∞X k=1 2X k=1(2k − 1)n=y =x2n =nn!2 · n!n=0n=0∞X(2n − 1)!!=n=011·3 4 1·3·5 6 1·3·5·7 8x2n = 1 + x2 +x +x +x + ...,(2n)!!22·42·4·62·4·6·8ãäå äëÿ n ∈ N ñèìâîëîì n!! îáîçíà÷åí ½ïîëóôàêòîðèàë ïðîèçâåäåíèå íàòóðàëüíûõ÷èñåë äî n îäèíàêîâîé ñ n ÷åòíîñòè. Pÿä ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè ïðè |y| < 1 ⇐⇒ |x| < 1.Åùå îäèí ïðèìåð:−x2 /2ey= e |y=− x22∞∞X1 n X (−1)n 2n=y =xn!2n · n!n=0n=021∀y ∈ R =⇒ ∀x ∈ R.II.

Ïî÷ëåííîå èíòåãðèðîâàíèå. Îäèí ïðèìåð óæå áûë: ln(1 + x). Òåïåðü ïðîèíòåãðèðóåì òðè ðÿäà, ïîëó÷åííûå òîëüêî ÷òî:Zxarctg x =0∞Xdy=(−1)n1 + y2n=0Zxarcsin x =dyp1 − y20Zxíåáåðóùèéñÿ èíòåãðàë=Zx0∞Xn=0e−yy 2n dy =2 /2∞X(−1)n 2n+1x2n+1n=0(2n − 1)!!x2n+1(2n)!!(2n + 1)dy =∞Xn=00ïðè |x| < 1;ïðè |x| < 1;(−1)nx2n+1n2 (2n + 1)n!∀x ∈ R.III. Äîìíîæåíèå íà ìíîãî÷ëåí c ðàñêðûòèåì ñêîáîê è ïðèâåäåíèåì ïîäîáíûõñëàãàåìûõ. Íàïðèìåð, ðàçëîæèì ïî ñòåïåíÿì y = (x − 1) ôóíêöèþ∞∞XXyny m+1xe = (y + 1)e · e = e+e=m!n!n=0m=0xy[â ïåðâîé ñóììå ïîëîæèì n = m + 1 è äîáàâèì 0-å ñëàãàåìîå, ðàâíîå 0]=e∞Xn · ynn=0n!+e∞Xynn=0n!=e∞Xn+1n=0n!(x − 1)n∀ x ∈ R.IV.

Ðàçëîæåíèå ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè â ñóììó ïðîñòåéøèõ äðîáåé.Íàïðèìåð, ðàçëîæèì ïî ñòåïåíÿì t = (x + 1) ôóíêöèþf (x) =t6x1x−2−1/31=−=−−1=32x −8x − 2 3 + (x + 1)1 − t/331 + t2 /3∞∞ X1 X t n t−t2 n=−−−1=3 n=0 333n=0=−∞∞∞XXX(−1)n1(−1)nn2n+1(x+1)−(x+1)+(x + 1)2n =n+1n+1n333n=0n=0n=0[îñòàëîñü ïðèâåñòè ïîäîáíûå ñëàãàåìûå]=∞ X(−1)nn=03n−132n+1(x + 1)2n−∞ X(−1)nn=03n+1+132n+2(x + 1)2n+1 .Ðÿä ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f (x)√ ïðè îäíîâðåìåííîì âûïîëíåíèè óñëîâèé |t/3| < 1 è2|t /3| < 1, ò.å. ïðè |x + 1| < 3.22Íàõîæäåíèå ÿâíîãî âèäà ôóíêöèè, çàäàííîé ðÿäîìÏðèìåð 6.1.