Лекции в электронном виде (Лекции Пугачев), страница 6

Ïóñòüf 6= 0, ò.å. ∃to ∈ [−π; π] : f (to ) 6= 0. Åñëè f íåïðåðûâíà â to , òî äîêàçàòåëüñòâî òàêîåæå, êàê â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå. Åñëè to òî÷êà ðàçðûâà I ðîäà èëè to = ±π , òîèìååì ëèáî f (to + 0) 6= 0, ëèáî f (to − 0) 6= 0. Ïóñòü, íàïðèìåð,R πf (t2o + 0) = 2ε2 > 0.Òîãäà ∃δ > 0 : f (t) > ε ïðè âñåõ t ∈ (to ; to + δ), è òîãäà (f, f ) = −π f (t)dt > δε .sZπÍîðìà â ïðîñòðàíñòâå Eo [−π; π] ðàâíà kf k =f 2 (t)dt.−πÎïðåäåëåíèå 8.3. Êîíå÷íîå èëè áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî âåêòîðîâ e0 , e1 , e2 , .

. . íàçûâàåòñÿîðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìîé (OHC), åñëèkei k = 1 ∀ i;(ei , ej ) = 0 ∀j 6= i.Åñëè åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî E èìååò êîíå÷íóþ ðàçìåðíîñòü d, òî ëþáàÿ ÎÍÑ,ñîñòîÿùàÿ èç d âåêòîðîâ, ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì.  áåñêîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ñèòóàöèÿ ñëîæíåå.Îïðåäåëåíèå 8.4. Ïóñòü e0 , e1 , e2 , . . .

ÎÍÑ â áåñêîíå÷íîìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå E , ñîñòîÿùåì èç ôóíêöèé; ïóñòü f ∈ E . Êîýôôèöèåíòàìè Ôóðüå ôóíêöèè28f (t) íàçûâàþòñÿ ÷èñëà ci = (f, ei ). Ðÿä Ôóðüå äëÿ ôóíêöèè f (t) ôóíêöèîíàëüíûéðÿä∞XS(t) =(f, ei )ei (t).i=0Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ÷àñòè÷íûå ñóììû ðÿäà Ôóðüå. ïðîñòðàíñòâå Eo [−π; π] ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òðèãîíîìåòðè÷åñêóþ ÎÍÑ1e0 (t) = √ ;2πe2k (t) =cos kt√ ,πe2k−1 (t) =sin kt√ ,π(14)k ∈ N.Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ∀n ken k = 1. Ïðîâåðèì îðòîãîíàëüíîñòü:1(e0 , e2k ) = √2·π1(e2k , e2l−1 ) =πZπZπ1(e0 , e2k−1 ) = √2·πcos kt dt = 0;−π1cos kt sin(lt)dt =2π−πZπsin kt dt = 0;−πZπsin((l + k)t) + sin((l − k)t)dt = 0;−πíàêîíåö, ïðè k 6= l ïîëó÷àåì1(e2k , e2l ) =πZπ1cos kt cos lt dt =2π−πZπcos((l − k)t) + cos((l + k)t)dt = 0−πè àíàëîãè÷íî (e2k−1 , e2l−1 ) = 0.Êîýôôèöèåíòû Ôóðüå äëÿ ôóíêöèè f ∈ Eo [−π; π] âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì:1c0 = √2πZπf (t)dt;c2k−π1=√πZπf (t) cos kt dt;c2k−11=√π−πZπf (t) sin kt dt.−πÑëåäîâàòåëüíî, ðÿä Ôóðüå ôóíêöèè f (t) ïî íàøåé ÎÍÑ âûãëÿäèò òàê:RπS(x) =f (t)dt−π2π+∞XRπRπf (t) cos kt dt−πcos kx +πk=1f (t) sin kt dt−ππ!sin kx∞a0 X=+(ak cos kx + bk sin kx ),2k=1ãäå êîýôôèöèåíòû ak , bk (ýòî íå êîýôôèöèåíòû Ôóðüå!) âû÷èñëÿþòñÿ òàê:1a0 =πZπf (t)dt;−π1ak =πZπf (t) cos kt dt;−π1bk =πZπf (t) sin kt dt.−π29Îïðåäåëåíèå 8.5.

Ïóñòü L ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâàE . Îðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèåé âåêòîðà y ∈ E íà L íàçûâàåòñÿ òàêîé âåêòîðz ∈ L, ÷òîò.å.y − z ⊥ L,∀x ∈ L (x, y − z) = 0.Îáîçíà÷åíèå: z = PL y .Ëåììà 8.2. Ïóñòü L ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà E .Òîãäà âåêòîð z = PL y ýòî åäèíñòâåííûé âåêòîð, íà êîòîðîì äîñòèãàåòñÿ ìèíèìóì min kx − yk.x∈LÄîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü z = PL y , è ïóñòü x ∈ L, x 6= z . Òîãäà(x − z, z − y) = 0 =⇒ kx − yk2 = kx − zk2 + kz − yk2 > kz − yk2 . ñëó÷àå êîíå÷íîìåðíîãî L ñóùåñòâîâàíèå îðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèè è ôîðìóëóäëÿ åå íàõîæäåíèÿ äàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.Òåîðåìà 8.1.

Ïóñòü e0 , e1 , e2 , . . . ÎÍÑ â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå E , è ïîäïðîñ-òðàíñòâî L ⊂ E ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà e0 , . . . , en (îáîçíà÷åíèå: L = span {eo , . . . , en }).Òîãäà äëÿ âñÿêîãî âåêòîðà y ∈ E îðòîãîíàëüíàÿ ïðîåêöèÿ íà L ðàâíàPL y =nX(y, ei )ei .i=0Äîêàçàòåëüñòâî. Áóäåì èñêàòü âåêòîð z = PL y .

Ðàçëîæèì z ïî áàçèñó L: z =0 = (ej , y − z) = (ej , y) −ci ei .i=0Äëÿ âåêòîðîâ ej ∈ L, j = 0, . . . , n, âûïîëíÿåòñÿnXnXci (ej , ei ) = (ej , y) − cj =⇒ cj = (y, ej ).i=0Ýòî íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî äëÿ òîãî, ÷òîáû ∀x ∈ L (x, y − z) = 0.Ïîñêîëüêó y − PL y ⊥ PL y , âåðíà ôîðìóëà222kyk = kPL yk + ky − PL yk =nX(y, ei )2 + ky − PL yk2 ,i=0ñëåäîâàòåëüíî, ðàññòîÿíèå îò âåêòîðà y äî L = span {eo , . . . , en } (ëèíåéíîé îáîëî÷êèêîíå÷íîé ÎÍÑ) âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëåvunXu2t(y, ei )2 .dist(y, L) = ky − PL yk = kyk −i=0309Ñðåäíåêâàäðàòè÷íàÿ ñõîäèìîñòü ðÿäîâ ÔóðüåÃîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèè yn ∈ E ñõîäÿòñÿ ê y â ñðåäíåêâàäðàòè÷íîì, åñëè îíèñõîäÿòñÿ ïî íîðìå: kyn − yk → 0 ïðè n → ∞.Âñþäó äàëåå áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèå Ln = span {eo , .

. . , en }.Òåîðåìà 9.1. (Íåðàâåíñòâî Áåññåëÿ). Ïóñòü {ei }∞i=0 OHC â åâêëèäîâîì ïðîñ-òðàíñòâå E; ïóñòü âåêòîð y ∈ E . Òîãäà∞X(y, ei )2 ≤ kyk2 .(15)i=0Äîêàçàòåëüñòâî. Ñóììû Qn =nP(y, ei )2 âîçðàñòàþò ïî n. Ïðè êàæäîì n ∈ Ni=0êâàäðàò ðàññòîÿíèÿ îò âåêòîðà y äî Ln ñîñòàâëÿåòdist2 (y, Ln ) = kyk2 −nX(y, ei )2 ≥ 0,i=0cëåäîâàòåëüíî, Qn ≤ kyk2 , îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ∃ lim Qn ≤ kyk2 .n→∞Îïðåäåëåíèå 9.1. ÎÍÑåñëè äëÿ âåêòîðà y ∈ Eèç{ei }∞i=0â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå E íàçûâàåòñÿ ïîëíîé,∀ i = 0, 1, 2, . .

. (y, ei ) = 0 ñëåäóåò y = 0,ò.å. âåêòîð îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèìè êîýôôèöèåíòàìè Ôóðüå.Îïðåäåëåíèå 9.2. ÎÍÑ {ei }∞i=0 â åâêëèäîâîì E íàçûâàåòñÿ çàìêíóòîé, åñëè äëÿâñÿêîãî âåêòîðà y ∈ Edist(y, Ln ) → 0 ïðèn → ∞,ò.å. âåêòîð y ìîæíî ïðèáëèçèòü êîíå÷íûìè ëèíåéíûìè êîìáèíàöèÿìè âåêòîðîâèç ÎÍÑ ñ ëþáîé òî÷íîñòüþ ïî íîðìå.Òåîðåìà 9.2. Åñëè ÎÍÑ {ei }∞i=0 â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå E çàìêíóòà, òî îíàïîëíà.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü y ∈ E âåêòîð, äëÿ êîòîðîãî ∀ i = 0, 1, 2, . . .

(y, ei ) = 0. Ïðèêàæäîì n ∈ N åãî íîðìó îöåíèì òàê:2kyk =nXi=0(y, e )2 + dist2 (y, Ln ) → 0 ïðè n → ∞.| {zi }=0Ñëåäîâàòåëüíî, kyk = 0, à çíà÷èò, y = 0.Åñëè ÎÍÑ çàìêíóòà, òî äëÿ âñÿêîãî y ∈ E ðÿä Ôóðüå ñðåäíåêâàäðàòè÷íî ñõîäèòñÿê ñàìîìó y :nXky − SN k = (y, ei )ei 0.y − = dist(y, Ln ) N−→→∞i=031Òåîðåìà 9.3. (Ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ).Ïóñòü {ei }∞i=0 çàìêíóòàÿ OHC â åâêëè-äîâîì ïðîñòðàíñòâå E; ïóñòü âåêòîð y ∈ E . Òîãäà2kyk =∞X(y, ei )2 .(16)i=0Äîêàçàòåëüñòâî. Ðÿä â ïðàâîé ÷àñòè ñõîäèòñÿ, ïîñêîëüêó ÷àñòè÷íûå ñóììû âîçðàñòàþò è íå ïðåâûøàþò kyk2 . Ïðè ýòîì∞nXX222kyk −(y, ei ) = kyk − lim(y, ei )2 = lim dist2 (y, Ln ) = 0.n→∞i=0n→∞i=0Òåîðåìà 9.4.

 åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå Eo [−π; π] ÎÍÑ (14) ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòîé.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðè äîêàçàòåëüñòâå íàì ïîíàäîáèòñÿÒåîðåìà Âåéåðøòðàññà . Åñëè ôóíêöèÿ f (t) 2π -ïåðèîäè÷íà è íåïðåðûâíà, òî äëÿ∀ε > 0 ñóùåñòâóåò òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí, ò.å. ôóíêöèÿ âèäà5P (t) = c +NXak cos kt + bk sin kt ,k=1òàêîé, ÷òî |P (t) − f (t)| < ε ∀ t ∈ R. Äðóãèìè ñëîâàìè: íåïðåðûâíóþ 2π -ïåðèîäè÷íóþ ôóíêöèþ ìîæíî ñ ëþáîé òî÷íîñòüþ ðàâíîìåðíî ïðèáëèçèòü òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîì.Ïóñòü òåïåðü f ∈ Eo [−π; π].

Ïîëîæèì M = sup |f |. Ïóñòü −π = a0 < a1 <. . . < an−1 < an = π , ãäå a1 , . . . , an−1 òî÷êè ðàçðûâà f . Âûáåðåì δ > 0, ÷òîáû1 nδ < min(ai − ai−1 ), è ïîñòðîèì íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ g ïî ôîðìóëå2 i=1f (t)ïðè t = ai , i = 0, . . . , nnS f (t)ïðè t ∈ [−π; π]\ (ai − δ; ai + δ)g(t) =i=0ëèíåéíàíà[a−δ;a],i= 1, . . . , nii ëèíåéíà íà [a ; a + δ], i = 0, . . . , n − 1iiÏðîäîëæèì g äî 2π -ïåðèîäè÷íîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè. Òîãäà sup |g| ≤ M , íàîòðåçêå [−π; π] g îòëè÷àåòñÿ îò f íà èíòåðâàëàõ ñóììàðíîé äëèíû 2nδ , ïîýòîìóíîðìà èõ ðàçíîñòè îöåíèâàåòñÿ òàê:kg − f k2 ≤ 2nδ(sup |g − f |)2 ≤ 2nδ(2M )2 = 8nM 2 δ.Åñëè íàì çàäàí ε > 0, ìû âîçüìåì δ = ε2 /32nM 2 , è òîãäà kg − f k ≤ ε/2.Ïðèìåíèâ òåîðåìó Âåéåðøòðàññà, íàéäåì òàêîé òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåíεεP , ÷òî sup |P − g| < √ .

Òîãäà kP − gk < . Îòñþäà ïî íåðàâåíñòâó òðåóãîëüíèêà22 2πkP − f k ≤ kP − gk + kg − f k < ε. Ïîñêîëüêó ε > 0 ïðîèçâîëüíî, çàìêíóòîñòü ÎÍÑ(14) äîêàçàíà.5 Äîêàçàòåëüñòâîîñòàâèì íà ïîñëåäíþþ ëåêöèþ32Ïðèìåð 9.1. Íàéòè êîýôôèöèåíòû Ôóðüå, âûïèñàòü ðÿä Ôóðüå è ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ äëÿ ôóíêöèèf (t) =t, −π < t < π0, t = ±π.Ôóíêöèÿ f íå÷åòíà.

Ïðè ÷åòíûõ n ôóíêöèè en ÿâëÿþòñÿ ÷åòíûìè, ïîýòîìó (f, en ) =0. Ïðè íå÷åòíûõ n = 2k − 1 èìååìZπ1(f, e2k−1 ) = √π−1t sin kt dt = √k π−π−1= √k πZπt d cos kt =−ππ√sin kt 2 π(−1)k−1−2π cos(kπ)√t cos kt −=. =kkk π−πÑëåäîâàòåëüíî, ðÿä Ôóðüå äëÿ ôóíêöèè f èìååò âèäS(x) =∞X2(−1)k−1kk=1sin kx = 2 sin x −222sin 2x + sin 3x − sin 4x + . . .234 êàæäîé òî÷êå x ðÿä ñõîäèòñÿ ê f (x) ïî ïðèçíàêó Äèíè èëè Äèðèõëå (ñì. ñëåäóþùóþ ëåêöèþ).

Ïðè 0 6= x 6= ±π ñõîäèìîñòü óñëîâíàÿ. È, êîíå÷íî æå, ðÿä ñõîäèòñÿíåðàâíîìåðíî: èíà÷å åãî ñóììà áûëà áû íåïðåðûâíîé.Âûïèøåì ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ äëÿ f :2kf k =∞Xi=02(f, ei ) =∞X2(f, e2k−1 ) =k=1 òî æå âðåìÿkf k2 =2∞ √X2 π(−1)k−1k=1Zπ−πk3 πt2π 3t2 dt = =3 −π3Òàê íåîæèäàííî ìû ïîëó÷àåì∞X12π 3π2=/4π=≈ 1,645.k236k=133=∞X4πk=1k2Çàìåòèì, ÷òî ïîòî÷å÷íàÿ ñõîäèìîñòü ðÿäà Ôóðüå äëÿ ôóíêöèè f (t) äàåò ïðè t = π/2fπ 2=∞X2(−1)k−1k=1ksin πkπ1 1 1 11=2 1− + − + −+ ...

= ,22| 3 5 7{z 9 11}òîò æå ðÿä, ÷òî äëÿarctg 1Íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü íå òîëüêî ñðåäíåêâàäðàòè÷íàÿ ñõîäèìîñòü ÷àñòè÷íûõñóìì Sn (x) ðÿäà Ôóðüå ê ôóíêöèè f ∈ Eo [−π; π]. Mû óæå çíàåì òðè ðàçëè÷íûõòèïà ñõîäèìîñòè:(T) Ïîòî÷å÷íàÿ ñõîäèìîñòü: fn (x) −→ f (x) ∀x ∈ [−π; π].n→∞(P) Ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü: fn ⇒ f , ò.å. lim sup |fn (x) − f (x)| = 0.n→∞ [−π;π](H) Ñõîäèìîñòü ïî íîðìå (ñðåäíåêâàäàòè÷íàÿ): kfn − f k −→ 0.n→∞Ñâÿçü ìåæäó ýòèìè òèïàìè ñõîäèìîñòè òàêîâà:(T); (P); (H)(P)=⇒ (T)=⇒ (H)(H); (T); (P)Äîêàçàòåëüñòâî.(P) =⇒ (T) î÷åâèäíî. (T) ; (P) êîíòðèïðèìåð: ôóíêöèè√2n+1cos t íåðàâíîìåðíî ñõîäÿòñÿ ê ðàçðûâíîé ôóíêöèè sign cos t.(P) =⇒ (H) ñëåäóåò èç îöåíêè kg − f k2 ≤ 2π sup |g(x) − f (x)|2 .[−π;π](T) ; (H) : ïðèâåäåì êîíòðïðèìåð. Ïóñòü √n · sin(nπx) ïðè |x| ≤ 1/nf (x) ≡ 0;fn (x) =0ïðè |x| ≥ 1/nÒîãäà fn (x) → 0 ∀ x ∈ [−π; π], îäíàêî kfn − 0k = kfn k = 1 9 0.(H) ; (T) : ïðèâåäåì äðóãîé êîíòðïðèìåð.

Ïóñòü 1 åñëè ∃k ∈ Z : ln n < x − 2πk < ln(n + 1)0 åñëè @k ∈ Z : ln n ≤ x − 2πk ≤ ln(n + 1)f (x) ≡ 0;fn (x) =1/2 â òî÷êàõ ðàçðûâà.Òîãäà fn (x) 6=√0 íà îäíîìäâóõ ïðîìåæóòêàõ ñóììàðíîé äëèíû ln n+1< 1/n =⇒nkfn − 0k < 1/ n → 0. Îäíàêî, íè ïðè êàêîì x ∈ [−π; π] íå áóäåò fn (x) → 0, ïîñêîëüêó ïðè âñÿêîì x çíà÷åíèå fn (x) = 1 áóäåò âñòðå÷àòüñÿ ïðè áåñêîíå÷íî ìíîãèõ n.È òåì áîëåå (H) ; (P).3410Ïîòî÷å÷íàÿ ñõîäèìîñòü ðÿäîâ Ôóðüåè ñâîéñòâà êîýôôèöèåíòîâ ïðåäûäóùåé ëåêöèè áûëî äîêàçàíî, ÷òî ÷àñòè÷íûå ñóììû ðÿäà Ôóðüå ôóíêöèèf (x) ñõîäÿòñÿ ê íåé â ñðåäíåêâàäðàòè÷íîì: kSn − f k −→ 0.

Íî áóäåò ëè ïîòî÷å÷íàÿn→∞ñõîäèìîñòü? È åñëè äà, òî áóäåò ëè îíà ðàâíîìåðíîé?Ïðèçíàêè ïîòî÷å÷íîé ñõîäèìîñòèÏðèçíàê Äèíè.Ïóñòü f ∈ Eo [−π; π], è ïóñòü äëÿ íåêîòîðîé òî÷êè x íåñîáñòâåííûé èíòåãðàëZπ f (x + t) + f (x − t) − 2f (x) dtt0ñõîäèòñÿ. Òîãäà Sn (x) → f (x) ïðè n → ∞.Ïðèçíàê Äèíè ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíûì: åãî âûïîëíåíèå â òî÷êå x íå çàâèñèò îòïîâåäåíèÿ ôóíêöèè f âíå ñêîëü óãîäíî ìàëîé îêðåñòíîñòè x.×àñòíûé ñëó÷àé . Ïóñòü ôóíêöèÿ f ∈ Eo [−π; π] â íåêîòîðîé òî÷êå x èìååò6êîíå÷íûå ïðàâóþ è ëåâóþ ïðîèçâîäíûå, ïðè÷åì åñëè x òî÷êà ðàçðûâà I ðîäà, òîîíè îïðåäåëÿþòñÿ òàê:f (x + h) − f (x + 0)f (x + h) − f (x − 0); f 0 (x − 0) = limh→+0h→−0hhf 0 (x + 0) = limÒîãäà Sn (x) → f (x) ïðè n → ∞.Ïðèçíàê Äèðèõëå.Ïóñòü f ∈ Eo [−π; π] êóñî÷íî ìîíîòîííà, ò.å. ñóùåñòâóþòòî÷êè −π = a0 < a1 < a2 < . .

. < an = π , òàêèå, ÷òî f ìîíîòîííà íà êàæäîìèíòåðâàëå (ai−1 ; ai ). Òîãäà äëÿ êàæäîãî x ∈ [−π; π] èìååì Sn (x) → f (x) ïðè n → ∞.Ïðèçíàêè Äèíè è Äèðèõëå ñàìûå ÷àñòî ïðèìåíÿåìûå ïðèçíàêè ïîòî÷å÷íîé ñõîäèìîñòè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ðÿäîâ Ôóðüå.