Лекции в электронном виде (Лекции Пугачев), страница 8

. . , xn )dx1 . . . dxn .BÏðèìåð 11.1. Ðàññìîòðèì êóá Q = [0; 1]×[0; 1]×[0; 1] è ôóíêöèþ f (x, y) = x+y+2z .Âîçüìåì ðàçáèåíèå {Qi }5i=1 ,pãäå Q1 ïðèçìà (âíèçó), Q2 , . . . , Q5 êóáû ñî ñòîðîíîé1/2. diam{Qi } = diam Q1 = 12 + 12 + 0,52 = 1,5.Âû÷èñëèì ñóììû Äàðáó:1111∗=3·+3·+23,5·+ 4 · = 3,25;S{Qi}288 81111+ 1 · + 2 1,5 ·+ 2 · = 0,75;∗ S{Qi } = 0 ·288841òî÷íîå çíà÷åíèå èíòåãðàëàRRRx + y + 2z dxdydz = 2.QnÎïðåäåëåíèå 11.5.

Ðàçáèåíèå {Cj }Mj=1 ìíîæåñòâà B ⊂ R íàçûâàåòñÿ èçìåëü÷åíèåì ðàçáèåíèÿ {Bi }mi=1 , åñëè ∀j ∈ {1, . . . , M } ∃i ∈ {1, . . . , m} : Cj ⊂ Bi .Ñëåäóþùèå äâà óòâåðæäåíèÿ äîêàçûâàþòñÿ òàê æå, êàê â îäíîìåðíîì ñëó÷àå.mËåììà 11.1. Åñëè ðàçáèåíèå {Cj }Mj=1 èçìåëü÷åíèå ðàçáèåíèÿ {Bi }i=1 , òî∗∗S{C(f ) ≤ S{B(f ),j}i}∗ S{Cj } (f )≥ ∗ S{Bi } (f ).Ñëåäñòâèå 11.1. Åñëè {Bi } è {Ck } äâà ðàçáèåíèÿ ìíîæåñòâà B ⊂ Rn , òî∗ S{Bi } (f )∗≤ S{C(f ).k}Îïðåäåëåíèå 11.6.

Ïóñòü ôóíêöèÿ f îãðàíè÷åíà íà B ⊂ Rn . Âåðõíèì è íèæíèìèíòåãðàëàìè Äàðáó f ïî B íàçûâàþòñÿ âåëè÷èíû∗I ∗ (f ) = inf S{B(f ),i}I∗ (f ) = sup ∗ S{Bi } (f ),BBãäå èíôèìóì è ñóïðåìóì áåðóòñÿ ïî âñåì âîçìîæíûì ðàçáèåíèÿì B .Èç ñäåäñòâèÿ 11.1 ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî I ∗ (f ) ≥ I∗ (f ).BBÒåîðåìà 11.1. (Êðèòåðèé Äàðáó). Ïóñòü ôóíêöèÿ f îãðàíè÷åíà íà èçìåðèìîììíîæåñòâå B ⊂ Rn . Òîãäà f èíòåãðèðóåìàZ ïîZÐèìàíó íà B â òîì è òîëüêî òîìñëó÷àå, åñëè I ∗ (f )= I∗ (f ), è â ýòîì ñëó÷àå · · · f (x1 , . .

. , xn )dx1 . . . dxn = I ∗ (f ) = I∗ (f ).BBBBBÑâîéñòâà êðàòíûõ èíòåãðàëîâ0. Êîíñòàíòà èíòåãðèðóåìà, èR···Rc dx1 . . . dxn = c · V (B).B1. Ëèíåéíîñòü. Åñëè f (x1 , . . . , xn ) è g(x1 , . . . , xn ) èíòåãðèðóåìû íà ìíîæåñòâå B ⊂Rn ; c, k ∈ R, òî ôóíêöèÿ cf + kg èíòåãðèðóåìà, ïðè÷åìZZZZZZ· · · cf + kg dx1 . . .

dxn = c · · · f dx1 . . . dxn + k · · · g dx1 . . . dxn .BBBÄîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ {Bi } è ëþáûõ âûáðàííûõ òî÷åê Xi ∈ Bi{X }{X }{X }ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå S{Bii} (cf + kg) = cS{Bii} (f ) + kS{Bii} (g).Îñòàåòñÿ ïåðåéòè ê ïðåäåëó ïðè diam{Bi } → 0.2. Ñóæåíèå. Åñëè f (x1 , . . .

, xn ) èíòåãðèðóåìa íà ìíîæåñòâå B ⊂ Rn , è åñëè C ⊂ B èçìåðèìîå ìíîæåñòâî, òî f èíòåãðèðóåìà íà C .∗Äîêàçàòåëüñòâî. ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : åñëè diam{Bi } < δ , òî S{B(f ) − ∗ S{Bi } (f ) < ε.i}mÂûáåðåì ðàçáèåíèå {Bi }i=1 ñ äèàìåòðîì < δ , òàêîå, ÷òî B1 ∪ . . . ∪ Bk = C , Bk+1 ∪ . . . ∪∗Bm = B\C . Òîãäà S{Bk (f )− ∗ S{Bi }k (f ) < ε. Â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè ε ïî êðèòåðèþi=1i }i=1Äàðáó f èíòåãðèðóåìà íà C .423. Àääèòèâíîñòü. Åñëè f (x1 , .

. . , xn ) èíòåãðèðóåìa íà èçìåðèìûõ ìíîæåñòâàõ B ,D ∈ Rn , íå èìåþùèõ îáùèõ âíóòðåííèõ òî÷åê, òî îíà èíòåãðèðóåìà è íà ìíîæåñòâåB ∪ D, ïðè÷åìZZZZZZ· · · f dx1 . . . dxn = · · · f dx1 . . . dxn + · · · f dx1 . . . dxn .B∪DBÄîêàçàòåëüñòâî. ÏóñòüR···RDf dx1 . . . dxn = I ,R···Bäëÿ ïðîèçâîëüíîãî ε, ÷òîRf dx1 . . . dxn = J . ÄîêàæåìDI ∗ (f ) < I + J + ε,I∗ (f )B∪DB∪D>I +J −ε(è òîãäà ïî êðèòåðèþ Äàðáó âñå áóäåò äîêàçàíî).

Äëÿ ýòîãî âûáåðåì ðàçáèåíèåM{Bi }mi=1 ìíîæåñòâà B è ðàçáèåíèå {Bi }i=m+1 ìíîæåñòâà D , òàêèå, ÷òîε∗S{B,m (f ) < I +i }i=12(f ) > I∗ S{Bi }mi=1εε∗− , S{B,M (f ) < J +}i m+122(f ) > J∗ S{Bi }Mm+1ε− .2Ïîñòðîèì ðàçáèåíèå {Bi }Mi=1 ìíîæåñòâà B ∪ D . Òîãäà ïîëó÷àòñÿ îöåíêè∗∗I (f ) ≤ S{Bi }M (f ) < I + J + ε,I∗ (f ) ≥ ∗ S{Bi }M(f ) > I + J − ε.i=1B∪Di=1B∪DÈç ñâîéñòâ àääèòèâíîñòè è ñóæåíèÿ âûòåêàåòÑëåäñòâèå 11.2.

(ëåììà î ½äîáàâëåíèè ïóñòîòû). Ïóñòü C ⊂ K èçìåðèìûåìíîæåñòâà â Rn , è ïóñòü f : C 7→ R. Îïðåäåëèì ôóíêöèþf (X) ïðè X ∈ Cf1 (X) =0ïðè X ∈ K\C.Òîãäà èíòåãðèðóåìîñòü f ïî C ðàâíîñèëüíà èíòåãðèðóåìîñòè f1 ïî K , è åñëè îíèèíòåãðèðóåìû, òî èõ èíòåãðàëû ñîâïàäàþò.4. Ìîíîòîííîñòü.

Ïóñòü f è g èíòåãðèðóåìû íà ìíîæåñòâå B ⊂ Rn ; g ≥ f íà B .ÒîãäàZZ···Zg dx1 . . . dxn ≥BZ···f dx1 . . . dxn .(17)BÝòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ è ëþáûõ âûáðàííûõ òî÷åê âûïîëíåíî{X }{X }íåðàâåíñòâî S{Bii} (g) ≥ S{Bii} (f ).5. Îöåíêà ïî ìîäóëþ.B ⊂ Rn , òî |f | òàêæåZ Åñëè Zíà ìíîæåñòâåZ f èíòåãðèðóåìaZèíòåãðèðóåìa, ïðè÷åì ···f dx1 . . . dxn ≤B···|f | dx1 . . .

dxn .BÄîêàçàòåëüñòâî.|f | äîêàçûâàåòñÿ ïî êðèòåðèþ Äàðáó, ïîñêîëüêó Èíòåãðèðóåìîñòü∗∗(|f |)− ∗ S{Bi } (|f |) ≤ S{B(f )− ∗ S{Bi } (f ).èç íåðàâåíñòâà |y|−|z| ≤ |y−z| âûòåêàåò S{Bi}i}Ïî Zñâîéñòâó|f | ≥ f ≥ −|fZ ìîíîòîííîñòè èçZ íåðàâåíñòâZZ | ïîëó÷àåìZ···B|f | dx1 . . . dxn ≥···f dx1 . . . dxn ≥ −B···B43|f | dx1 . .

. dxn .6. Òåîðåìà î ñðåäíåì. Åñëè f (x1 , . . . , xn ) èíòåãðèðóåìa íà B ⊂ Rn , òî ñóùåñòâóåò÷èñëî µ ∈ [inf f ; sup f ], íàçûâàåìîå ñðåäíèì çíà÷åíèåì f íà ìíîæåñòâå B , òàêîå, ÷òîBBZZ···f dx1 . . . dxn = µ · V (B).BÅñëè ïðè ýòîì f íåïðåðûâíà è B ñâÿçíî, òî íàéäåòñÿ òî÷êà X ∈ B : µ = f (X).Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèìåíèì ñâîéñòâî (17) ê íåðàâåíñòâàì inf f ≤ f ≤ sup f . ÐåçóëüòàòBBðàçäåëèì íà îáúåì ìíîæåñòâà B . Íà ñâÿçíîì æå ìíîæåñòâå ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò âñåïðîìåæóòî÷íûå çíà÷åíèÿ.Òåîðåìà 11.2. À) Åñëè ôóíêöèÿ f (x1 , . .

. , xn ) èíòåãðèðóåìà íà ìíîæåñòâå B ⊂ Rn ,òî îíà îãðàíè÷åíà íà íåì.Á) Åñëè ôóíêöèÿ f (x1 , . . . , xn ) îãðàíè÷åíà è íåïðåðûâíà íà B , òî îíà èíòåãðèðóåìà íà íåì.Äîêàçàòåëüñòâî. À) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà íà B , íî íå îãðàíè÷åíà íà íåì. Äëÿ ε = 1 íàéäåì òàêîå δ > 0, ÷òî èíòåãðàëüíûå ñóììû ïî ðàçáèåíèÿìñ diam < δ îòëè÷àþòñÿ îò èíòåãðàëà ìåíåå, ÷åì íà 1. Âîçüìåì îäíî òàêîå ðàçáèåíèå {Bi }. Ôóíêöèÿ f íåîãðàíè÷åíà õîòÿ áû íà îäíîì Bk . Åñëè çàôèêñèðîâàòü òî÷êèXi ∈ Bi ïðè âñåõ i 6= k , à òî÷êó Xk ∈ Bk âàðüèðîâàòü, òî ìû ïîëó÷èì íåîãðàíè÷åííîåìíîæåñòâî çíà÷åíèé èíòåãðàëüíûõ ñóìì ïðîòèâîðå÷èå.Á) Ïóñòü ñíà÷àëà B êîìïàêò. Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà B , îíàðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà íåì, ò.å.~ | < δ, òî |f (X) − f (Y )| < ε.∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : åñëè X, Y ∈ B, |XYÂçÿâ äëÿ ìíîæåñòâà B ðàçáèåíèå {Bi } ñ äèàìåòðîì ìåíüøå δ , ïîëó÷èì I ∗ (f )−I∗ (f ) ≤BB∗S{B(f )− ∗ S{Bi } (f ) < ε · V (B).

Ïî êðèòåðèþ Äàðáó f èíòåãðèðóåìà íà B .i}Òåïåðü ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå èçìåðèìîå B . Ñóùåñòâóåò êèðïè÷íûé êîìïàêòεK ⊂ B , òàêîé, ÷òî V (B\K) <. Ïîñòðîèì ðàçáèåíèå {Bi }ki=1 êîìïàêòà K ,3 sup |f |Bòàêîå, ÷òîε∗S{B.k (f )− ∗ S{Bi }k (f ) <i=1i }i=13Äîïîëíèì åãî äî ðàçáèåíèÿ {Bi }mi=1 ìíîæåñòâà B . Òîãäà∗I ∗ (f ) − I∗ (f ) ≤ S{Bm (f ) −∗ S{Bi }m (f ) ≤i }i=1i=1B≤∗S{Bk (f )i }i=1Bε+· sup |f | −3 sup |f | Bε· sup |f | < ε.∗ S{Bi }ki=1 (f ) −3 sup |f | BBB ñèëó ïðèçâîëüíîñòè ε, êðèòåðèé Äàðáó äàåò íóæíûé ðåçóëüòàò.4412Ñïîñîáû âû÷èñëåíèÿ êðàòíûõ èíòåãðàëîâÒåîðåìà 12.1.

(o câåäeíèè êðàòíîãî èíòåãðàëà ê ïîâòîðíîìó). Ïóñòü f îãðàíè÷åííàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ íà èçìåðèìîì ìíîæåñòâå B ⊂ Rn . ÏóñòüBz = {(x1 , . . . , xn−1 ) ∈ Rn−1 : (x1 , . . . , xn−1 , z) ∈ B},ò.å. Bz ñå÷åíèå B(n − 1)-ìåðíîé ïëîñêîñòüþ {xn = z}. Îáîçíà÷èì h = inf xn ,BH = sup xn , è ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðè âñåõ z ∈ [h; H] ìíîæåñòâà Bz èçìåðèìû.BÒîãäà âåðíà ôîðìóëà:ZZH ZZ······f (x1 , . .

. , xn )dx1 . . . dxn =B|}Jf (x1 , . . . , xn−1 , z)dx1 . . . dxn−1 dz. (18)Bzh{zZ|{z}I(z)Äîêàçàòåëüñòâî. Íåïðåðûâíîñòü f êàê òàêîâàÿ íàì íå íóæíà. Íàì âàæíî òîëüêîòî, ÷òî f èíòåãðèðóåìà ïî B è ïî êàæäîìó Bz . Íóæíî äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ I(z)èíòåãðèðóåìà ïî îòðåçêó [h; H] è åå èíòåãðàë ñîâïàäàåò ñ J .Ñíà÷àëà ïðåäïîëîæèì, ÷òî B = [−R; R]n n-ìåðíûé êóá. Òîãäà Bz = [−R; R]n−1 îäèíàêîâûå (n − 1)-ìåðíûå êóáû. Âîçüìåì ε > 0 è íàéäåì òàêóþ δ > 0, ÷òî äëÿðàçáèåíèé B ñ äèàìåòðîì< δ √èíòåãðàëüíûå ñóììû çàêëþ÷åíû ìåæäó J − ε è J + ε.Ïóñòü N ∈ N òàêîâî, ÷òî 2R n/N < δ . Èìåííî òàêèì áóäåò äèàìåòð ðàçáèåíèÿ Bíà N n ðàâíûõ êóáèêîâBi1 ...in = [ai1 −1 ; ai1 ] × .

. . × [ain −1 ; ain ], ãäå ai = −R +2R · i, 0 ≤ i ≤ N.NÎöåíèì ñóììû Äàðáó ôóíêöèè I(z) ïî ðàçáèåíèþ [−R; R] òî÷êàìè a0 , a1 , . . . , aN :∗S{a(I(z))i}=NX2Ri=1NZZ···supf (x1 , . . . , xn−1 , z)dx1 . . . dxn−1 ≤ai−1 ≤z≤aiBz|{zI(z)45}[îöåíèì I(z) ÷åðåç âåðõíþþ ñóììó Äàðáó ïî ðàçáèåíèþ Bz ]≤NX2Ri=1NXNsupai−1 ≤z≤aii1N X2R n−1...supfNBi1 ,...,in ∩{xn =z}=1i=1n−1≤NXi1 =1...N X2R nNin =1∗sup f = S{B(f ) ≤ J + ε.i1 ,...,in }Bi1 ,...,inÑëåäîâàòåëüíî, −RR I ∗ (I(z)) ≤ J +ε. Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî −RR I∗ (I(z)) ≥ J −ε.Ïîñêîëüêó ε ïðîèçâîëüíî ìàë, ìû ïîëó÷àåì −RR I ∗ (I(z)) = −RR I∗ (I(z)) = J , ÷òî èòðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Òåïåðü ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå èçìåðèìîå ìíîæåñòâî B .

Îíî îãðàíè÷åíî =⇒ñîäåðæèòñÿ â íåêîòîðîì êóáå K = [−R; R]n . Âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäñòâèåì 11.2, ïîëîæèâf1 = f íà B , f1 = 0 íà K\B :ZZZZ· · · f dx1 . . . dxn = · · · f1 dx1 . . . dxn =BZR=Zdz−RKZHZ···f1 (.., z)dx1 . . . dxn−1 =KzZdzZ···f (.., z)dx1 . . . dxn−1 ,Bzhïîñêîëüêó ïðè z < h è z > H ñå÷åíèå Bz = ∅.Ïîñìîòðèì, ÷òî äàñò íàì ýòà òåîðåìà â äâóìåðíîì ñëó÷àå. ÏóñòüD = {(x, y) : h ≤ x ≤ H, u(x) ≤ y ≤ v(x)},(19)ãäå ôóíêöèè u è v íåïðåðûâíû íà [h; H] è u(x) ≤ v(x). Òîãäà Dx = [u(x); v(x)], èôîðìóëà 18 ïðèìåò âèäZHZZf (x, y)dxdy =DhZv(x)dxf (x, y)dy.u(x) òðåõìåðíîì ñëó÷àå òåîðåìó ïðèäåòñÿ ïðèìåíèòü äâàæäû. ÏóñòüB = {(x, y, z) : (x, y) ∈ D, ϕ(x, y) ≤ z ≤ ψ(x, y)},(20)ãäå ôèãóðà D èìååò âèä (19), ôóíêöèè ϕ è ψ íåïðåðûâíû íà D è ϕ ≤ ψ .

Òîãäàñå÷åíèå Bx = {(y, z) : u(x) ≤ y ≤ v(x), ϕ(x, y) ≤ z ≤ ψ(x, y)}. Ïîëó÷àåì:ZZZBZH Z ZZH Zv(x) ψ(x,y)Zf (x, y, z)dxdydz = dxf (x, y, z)dydz = dx dyf (x, y, z)dz.hBxhu(x)ϕ(x,y)Åñëè äâóìåðíîå ìíîæåñòâî èìååò áîëåå ñëîæíûé âèä, ÷åì (19), èëè òðåõìåðíîå òåëîñëîæíåå, ÷åì (20), òî åãî íóæíî ðàçáèòü íà íåñêîëüêî ÷àñòåé âèäà (19) (ñîîòâ. (20))è âîñïîëüçîâàòüñÿ àääèòèâíîñòüþ êðàòíîãî èíòåãðàëà.46Ïðèìåð 12.1. Ïóñòü f (x, y) = x2 y 2 , D = {1 < x2 + y 2 < 4, x > 0, y > 0} ÷åòâåðòüïëîñêîãî êîëüöà. ×òîáûñâåñòè äâîéíîé èíòåãðàëê ïîâòîðíîìó,íóæíî ðàçáèòüD0<x<11≤x<2√√íà äâå ÷àñòè: D1 = √, D2 =.1 − x2 < y < 4 − x20 < y < 4 − x2Âû÷èñëÿòü èíòåãðàë ïðèøëîñü áû òàê:ZZx2 y 2 dxdy =0DZ1=0Z1=Z1√√Z4−x2Z2Z4−x2dxx2 y 2 dy + dxx2 y 2 dy =√ √ 2!2 3 y= 4−xxy 3 y=√1−x211−x2Z2dx +1 √ 2!2 3 y= 4−xxy 3 y=0x2(4 − x2 )3/2 − (1 − x2 )3/2 dx +300Z1dx =x2(4 − x2 )3/2 dx = .