Лекции в электронном виде (Лекции Пугачев), страница 14
Описание файла
PDF-файл из архива "Лекции Пугачев", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "кратные интегралы и ряды" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "высшая математика (криволинейные и кратные интегралы)" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 14 страницы из PDF
Ïóñòü íà ïðîèçâîëüíîì ìíîæåñòâå U ⊂ Rn çàäàíà ñêàëÿðíàÿôóíêöèÿ f . Èñ÷åðïûâàíèåì U íàçûâàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èçìåðèìûõ ìíî∞Sæåñòâ Kj , òàêèõ, ÷òî f èíòåãðèðóåìà íà Kj , K1 ⊂ K2 ⊂ K3 ⊂ . . . èKj = U .j=1Îïðåäåëåíèå 21.2. Ïóñòü ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ f (x1 , . . . , xn ) îïðåäåëåíà íà ìíîæåñòâå U ⊂ Rn . Ãîâîðÿò, ÷òî íåñîáñòâåííûé èíòåãðàëZZ· · · f (x1 , . . . , xn )dx1 . . . dxn(47)Uñõîäèòñÿ, åñëè äëÿ âñÿêîãî èñ÷åðïûâàíèÿ {Kj } ìíîæåñòâà U ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåëZZ···I = limj→∞f (x1 , .
. . , xn )dx1 . . . dxn ,Kjíå çàâèñÿùèé îò âûáîðà èñ÷åðïûâàíèÿ. Òîãäà íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ðàâåí ýòîìóïðåäåëó.Îïðåäåëåíèå 21.3. Ãîâîðÿò, ÷òî íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë (47) àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ, åñëè äëÿ íåêîòîðîãî èñ÷åðïûâàíèÿ {Kj } ìíîæåñòâà U ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåëZIabs = limj→∞Z···|f (x1 , . . . , xn )|dx1 . . . dxn .KjÒåîðåìà 21.1. 1) Åñëè íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë (47) àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ, òî îíñõîäèòñÿ, ïðè÷åì |I| ≤ Iabs .2) Åñëè íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ñõîäèòñÿ, òî îí àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ.Òàêèì îáðàçîì, äëÿ íåñîáñòâåííûõ êðàòíûõ èíòåãðàëîâ óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòüíåâîçìîæíà.Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Ïóñòü (47) àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ, ò.å. Iabs < +∞.
Òîãäà ∀ε > 0∃N : ∀j ≥ NZZεIabs − < · · · |f (x1 , . . . , xn )|dx1 . . . dxn ≤ Iabs .3Kj80Êðîìå òîãî, ïîñêîëüêó ïðè k > j −→ ∞Z ZZZ · · · f dx1 . . . dxn ≤ · · · |f |dx1 . . . dxn −→ 0,Kk \KjKk \Kjòî ïî êðèòåðèþ Êîøè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåëZZI = lim· · · f (x1 , . . . , xn )dx1 . . . dxn ,j→∞Kjïðè÷åì |I| ≤ Iabs . Ïóñòü {Qi } äðóãîå èñ÷åðïûâàíèå U . Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâà Qi ∩KNε.èñ÷åðïûâàþò KN , ìîæíî âûáðàòü òàêîå M , ÷òî ∀i > MV (KN \Qi ) <3 sup |f |KNZZÒîãäà ïðè ∀i > M ïîëó÷àåì: · · · f dx1 . .
. dxn − I ≤QiZ ZZZZZ≤ · · · f dx1 . . . dxn − I + · · · |f |dx1 . . . dxn + · · · |f |dx1 . . . dxnKN<KN \Qiε∞+ V (KN \Qi ) sup |f | + sup3KNj=N +1Qi \KNZZ···|f |dx1 . . . dxn <ε ε ε+ + = ε.3 3 3Qi ∩Kj \KN2) Ïóñòü íåò àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè, ò.å. Iabs = +∞. Îáîçíà÷èì U+ = {X ∈ U :f (X) ≥ 0}, U− = {X ∈ U : f (X) < 0}. Èíòåãðàëû |f | ïî ïîäìíîæåñòâàì U+ (èëèU− ) íåîãðàíè÷åíû.
Âîçüìåì òàêoå èñ÷åðïûâàíèå {Qk }, ÷òîZZZZ· · · f dx1 . . . dxn > 2k;· · · |f |dx1 . . . dxn < k.Qk ∩U+Qk ∩U−Òîãäà èíòåãðàëû f ïî Qk ñòðåìÿòñÿ ê +∞.Ïðèìåð 21.1. Âû÷èñëèòü íåñîáñòâåííûé èíòåãðàëZZ1e− 2 (x2 +y 2 )dxdy .R2Äëÿ ïëîñêîñòè R2 âîçüìåì èñ÷åðïûâàíèå êðóãàìè Kj = {x2 + y 2 ≤ j 2 }. Âû÷èñëèì÷åðåç ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû:ZZ− 21 (x2 +y 2 )eZjZπdxdy =dϕ− 12 ρ2eZπ −eρ dρ =ρ=j − 12 j 2dϕ=2π−e+1→ 2π− 12 ρ2 ρ=0−πKj−π0ïðè j → ∞. Ïîñêîëüêó |f | ≡ f , ìû óáåäèëèñü, ÷òî èíòåãðàë ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî, èâû÷èñëèëè åãî. Òåïåðü âîçüìåì äðóãîå èñ÷åðïûâàíèå R2 êâàäðàòàìè Qi = [−i; i]2 .ZZ− 12 (x2 +y 2 )eQiZidxdy =− 21 x2Zidx e−i− 12 y 2e−iZidy =e−i81− 12 x2Zidx ·1 2e− 2 y dy −→i→∞−i Z∞−→− 12 x2ei→∞2dx= 2π(îòâåò óæå èçâåñòåí).−∞Òàêèì îáðàçîì, ìû âû÷èñëèëè íåáåðóùèéñÿ èíòåãðàë ÏóàññîíàZ∞1 2e− 2 x dx =√2π.−∞ÏðèçíàêZñðàâíåíèÿ.Ïóñòü g(x1 , .
. . , xn ) ≥ |f (x1 , . . . , xn )| íà U . Åñëè íåñîáñòâåííûéZèíòåãðàëg dx1 . . . dxn ñõîäèòñÿ, òî ñõîäèòñÿ è èíòåãðàë îò f .···UÄîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü {Kj } èñ÷åðïûâàíèå U . ÒîãäàZZZZ· · · |f | dx1 . . . dxn ≤ · · · g dx1 . . . dxn → 0 ïðè k > j → ∞,Kk \KjKk \KjZè ïî êðèòåðèþ Êîøè èíòåãðàëZ···f dx1 . . . dxn àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ.UÏðèìåð 21.2.
Âû÷èñëèòü íåñîáñòâåííûé èíòåãðàëZZ{0<x2 +y 2 ≤1}dxdyp.x2 + y 2Âîçüìåì èñ÷åðïûâàíèå êîëüöàìè Kj = {j −2 ≤ x2 +y 2 ≤ 1}. Âû÷èñëèì ÷åðåç ïîëÿðíûåêîîðäèíàòû:ZZKjdxdyp=x2 + y 2ZπZ1dϕ−π11· ρ dρ = 2π 1 −−→ 2π.ρj i→∞1/jÏîñêîëüêó |f | ≡ f , äîêàçàíî, ÷òî èíòåãðàë ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî, è âû÷èñëåíî åãîçíà÷åíèå.Ïðèìåð 21.3. Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü íåñîáñòâåííûé èíòåãðàëZZ(x2xydxdy.+ 2y 2 )3/2{0<x2 +y 2 ≤1}Èç îöåíêè1xy|xy|11 (x2 + 2y 2 )3/2 ≤ x2 + y 2 · px2 + y 2 ≤ 2 · px2 + y 2è ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà â ïðèìåðå 21.2 ïî ïðèçíàêó ñðàâíåíèÿ ñëåäóåò ñõîäèìîñòüäàííîãî èíòåãðàëà.  ñèëó ñèììåòðèè îí = 0.8222Ñâåðòêà ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé(äîïîëíèòåëüíàÿ ëåêöèÿ)Îïðåäåëåíèå 22.1.
Ïóñòü f è g êóñî÷íî-íåïðåðûâíûå 2π -ïåðèîäè÷íûå ôóíêöèè.Èõ ñâåðòêîé íàçûâàåòñÿ 2π -ïåðèîäè÷íàÿ ôóíêöèÿZπf ∗ g(x) =f (t)g(x − t)dt.−πÑâåðòêà êîììóòàòèâíà: ñäåëàâ çàìåíó u = x − t, ìû ïîëó÷èìZπg ∗ f (x) =−πZf (x − t)g(t)dt =Z=x−πf (u)g(x − u)(−du) =Z πf (u)g(x − u)du =f (u)g(x − u)du = f ∗ g(x)x+πx+π−πx−πâ ñèëó 2π -ïåðèîäè÷íîñòè.Ëåììà 22.1. Åñëè g òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n, òî f ∗ g òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè íå âûøå n.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü g(x) = C +nXAk cos kx + Bk sin kx .
Òîãäàk=1Zπf ∗ g(x) =nXf (t) C +Ak (cos kx cos kt + sin kx sin kt)+k=1−π+ Bk (sin kx cos kt − cos kx sin kt) dt == Cπa0 +n Xπ(Ak ak − Bk bk ) cos kx + π(Ak bk + Bk ak ) cos kx .k=1Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Âåéåðøòðàññà. Ïóñòü f íåïðåðûâíàÿ 2π -ïåðèîäè÷íàÿ ôóíêöèÿ, M = max |f |. Îïðåäåëèì ôóíêöèèZπψn (x) =−1(1 + cos t) dt(1 + cos x)n .n−π83Ôóíêöèÿ ψn ÿâëÿåòñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîì ñòåïåíè n, âåäü cos kxÿâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì ñòåïåíèk îò cos x =⇒ cosn x âûðàæàåòñÿ ëèíåéíî ÷åðåç cos x, .
. . , cos nx.RπÏî ïîñòðîåíèþ ψn ≥ 0 è −π ψn (t)dt = 1. Êðîìå òîãî, ∀δ ∈ (0; π) ïîëó÷àåòñÿZ−δZππ max ψn (x)π 1 + cos δ nδ≤|x|≤π=γn := ψn (t)dt = ψn (t)dt <−→ 0.δ min ψn (x)δ 1 + cos(δ/2) n→∞−π|x|≤δ/2δÁóäåì ïðèáëèæàòü f òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ìíîãî÷ëåíàìè fn = f ∗ψn . Çàäàäèì ε > 0è â ñèëó ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè f âûáåðåì δ ∈ (0; 1) òàê, ÷òî |f (x) − f (y)| ≤ εïðè |x − y| ≤ δ .ZπZπ|fn (x) − f (x)| = ψn (t)f (x − t)dt − ψn (t)f (x)dt ≤−π−πZπZδψn (t)f (x − t) − f (x)dt ≤ ψn (t)f (x − t) − f (x)dt+−π−δ≤Z−δ+ 2MZπψn (t)dt +−πψn (t)dt ≤ 2δε + 2M · 2γn < 3εδïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì n. Òàêèì îáðàçîì, max |fn − f | → 0 ïðè n → ∞, ÷òî èòðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Ïðåäñòàâèì ÷àñòè÷íóþ ñóììó ðÿäà Ôóðüå ÷åðåç ñâåðòêó.nS2na0 X=+(ak cos kx + bk sin kx) =2k=11=2πZπ−ππn Z1Xf (t)dt +f (t)(cos kt cos kx + sin kt sin kx)dt =π k=1−πZπf (t)Dn (x − t)dt = f ∗ Dn (x),=−π84ãäå ÿäðîì Äèðèõëå íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿnnX11 XDn (u) =1+2cos ku =cos ku =2π2π k=−nk=1n X1 11usin k + u − sin k − u =cos ku sin ==uu2224π sin k=−n2π sin k=−n221sinn+u1112 .=sinn+u−sin−n−u=uu224π sin2π sin22nX1Ôóíêöèÿ Dn ÷åòíàÿ.
Ïîñêîëüêó 1 ∗ Dn ≡ 1, ïîëó÷àåìZ πZ 0Z π1Dn (t)dt = 1 =⇒Dn (t)dt =Dn (t)dt = .2−π−π0Äîêàçàòåëüñòâî ïðèçíàêà Äèíè â òî÷êå, ãäå ñóùåñòâóþò îäíîñòîðîíèå ïðîèçâîäíûåf (a + t) − f (a ± 0).t→±0tf 0 (a ± 0) = limZπS2n (a) − f (a) =f (a − t)Dn (t)dt −−πZπ=ZπZ0f (a − 0)Dn (t)dt +f (a + 0)Dn (t)dt =−π0f (a − t) − f (a − 0) Dn (t)dt +Z0f (a + t) − f (a + 0) Dn (t)dt =−π0Zπ=1 F (a − t) sin n + t dt,2−πf (a − t) − f (a − 0 · sign t) êóñî÷íî-íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ. Íåòðóäíît2π sin2 n1 o∞1ïðîâåðèòü, ÷òî ñèñòåìà ôóíêöèé gn (t) = √ sin n + tÿâëÿåòñÿ îðòîíîðìè2πn=1ðîâàííîé. Èç íåðàâåíñòâà Áåññåëÿãäå F (a − t) =∞X(F, gn )2 ≤ kF k2 < +∞ =⇒ S2n (a) − f (a) =n=185√π · (F, gn ) −→ 0.n→∞.
