Краткий курс математического анализа в лекционном изложении, страница 7

Поэтому класс функций, удовлетворяющих условию А, шире, чемкласс функций, удовлетворяющих условию В, а классфункций,удовлетворяющих условию В, шире, чем класс функций, удовлетворяющихусловию С. Условие А проверить трудно, а условие В или условие D проверитьгораздо легче.Если в какой-либо точке x, y   G решение дифференциальногоуравнения не существует (через точку не проходит интегральная кривая), то вней разрывна функция f  x, y  .38Если через какую-либо точку проходят две или более интегральныхкривых, то функция f  x, y  непрерывна в этой точке, но ни одно из условий А,В, D не выполнено в ней.Пример. Найти общее и частное решение уравнения y   y .Очевидно, что общее решение будет y  Ce x . Так как правая частьнепрерывна и удовлетворяет условию D, то через любую точку конечнойплоскости OXY проходит единственная интегральная кривая.Для заданных начальных условий x0 , y 0   G существует константаC 0  y 0 e  x0 , такая что y 0  C 0 e x0  ( y 0 e  x0 )e x0 .Лекция 12.

Основные типы дифференциальных уравнений первогопорядка.Уравнения с разделяющимися переменными.Уравнение с разделяющимися переменными имеет видy   f x g  y  .В этом уравнении переменные «можно разделить», т.е. функции от x и dxсобрать в правую часть, а функции от y и dy – в левую часть. Затем интегрируемполученное соотношение и получаем соотношение вида   y    x   C .dydydy f x g  y , f x dx,  f x dx,   y    x   C .dxgygy dy dx . Заметим, что y  0 - решение, это такyназываемое тривиальное решение.

Только, проанализировав, является ли y  0решением или нет, мы имеем право, разделив обе части на y , двигаться дальше.Иначе тривиальное решение будет потеряно.ln y  x  C1 .Пример.y   y,Здесь нельзя потерять модуль, иначе потеряем решения при y  0 .y  e C1 e x .Обозначим C 2  e C1  0 и раскроем модуль:y  C 2 e x .Заменим C  C 2 и разрешим С быть равной нулю, т.к. тривиальноерешение есть. Окончательно,y  Ce x , где С – произвольная действительная постоянная.Обычно все эти «подводные камни» опускают (достаточно сказать о нихdy Ce x , C .один раз) и сразу выписывают решение уравненияdx39 1Пример.

Найти кривую, проходящую через точку 1,  , если угловой 3коэффициент касательной к кривой в три раза больше углового коэффициентарадиус-вектора в точке касания.ydydxy  3 , 3 , y  0 - решение, y  Cx 3 . Подставляя начальныеxyx11условия, получим  C , y  x 3 .33Пример. Формула Циолковского.Ракета вместе с топливом, массой mt  , движется прямолинейно, безучета гравитации. Скорость истечения топлива V 0 , в начальный моментвремени t 0 ракета неподвижна и имеет вместе с топливом массу M.

Вывестиформулы для скорости ракеты v t  .Выделим элемент массы dm. По закону сохранения количества движенияdmd mv  v  V0 dm, mdv  vdm  vdm  V0 dm, dv  V0, v  V0 ln m  CmПодставляя vt 0   0 , получим C  V0 ln M . ОтсюдаM- формула Циолковского.v  V0 lnmОднородное уравнение.Правая часть однородного уравнения зависит от отношенияy:x yy  f   .xЭто позволяет заменить отношение новой переменной u  x  y  x ux  .yилиxdudx.f u   uxПолучено уравнение с разделяющимися переменными.

Если f u   u , тоисходное уравнение уже является уравнением с разделяющимися переменными.y   u x   xu x   f u x , xu x   f u   u,Пример.y   xu   u  1  2u,y  Cx  1xy   1 2y.xy  x ux  ,dudxy , ln 1  u  ln x  C , 1  u  Cx, 1   Cx1 uxxОбобщенно-однородное уравнение.Обобщенно-однородное уравнение имеет вид40 ax  by  c  .y   f  qx  ky  m Возможны два случаяa и1)Рекомендуется замена0q k  ax  by  с,t  qx  ky  mdy d  adx  bdy   a  b dxdx dy dt  qdx  kdy   q  k dxdx  a  bf  d a  by  t  , получили однородное уравнение.dt q  ky  q  kf  ta и2)0q kЗдесь вводят новую функцию   ax  by  c старой переменной x.  d , где  ,  определяются из a  by   a  bf dx    пропорциональностистрокопределителя.Полученоуравнениесразделяющимися переменными.d  adx  bdy,Пример.

y    y  x 1t  y  x 1,y  x 1, случай1).y  x 1d  dy  dx   y   1dx,dt  dy  dx   y   1dx1d y   1 t tdty  1  t1tПолучили однородное уравнение.y  x 1, случай 2).yx2d dy 1  y  x, d  dy  dx,1  1.dx dx 2Получили уравнение с разделяющимися переменными.Пример. y Линейное уравнение.y   a  x  y  b x Существует два метода решения линейного уравнения: метод вариациипроизвольной постоянной и метод подстановки.41Метод вариации произвольной постоянной будет встречаться нам часто:при решении неоднородных линейных уравнений высшего порядка, прирешении неоднородных систем линейных уравнений.

Его надо знать твердо.При решении методом вариации произвольной постоянной сначаларешают однородное уравнение (с нулевой правой частью)y   a x  y  0Это – уравнение с разделяющимися переменными. a  x dxdy a x dx, y  Ce .yЗатем варьируют произвольную постоянную, полагая C  C x  . a  x dx a  x dx.y   C x e  C x ax e Подставляем в неоднородное уравнение: a  x dx a  x dx a  x dxC e  Cax e  Cax e  bx  .При вариации произвольной постоянной здесь обязательно должнысократиться два члена, в этом идея метода.a  x dxa  x dxC   bx e , C x    bx e dx  C , где С – произвольнаяпостоянная. a  x dx  a  x dx  C   Ce   a  x dx  e   a  x dx bx e  a  x dx .yx   e   bx eВидно, что общее решение неоднородного уравнения равно сумме общегорешения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.Это справедливо не только для линейных уравнений первого порядка, но и длялинейных уравнений высших порядков, и для линейных систем.

Там подобноеутверждение называется теоремой о структуре общего решения неоднородногоуравнения или системы.Замечание. Решая уравнение методом вариации, обязательно приводитеего к виду y   ax  y  bx  (если при y  стоит коэффициент, то делитьна него обязательно), иначе метод вариации даст ошибку.При решении методом подстановки полагаютy x   u x vx . Мы видели выше, что решение действительно являетсяпроизведением двух функций от x.

Этот факт здесь и используется.y   u v  uv . Подставляем в уравнение:u v  uv  ax uv  bx  .Теперь решают либо уравнение u v  ax uv  0 , определяя отсюда a  x dx, либо уравнение uv  ax uv  0 , определяя отсюдаue  a  x dx.

Здесь при интегрировании не надо добавлять константу, онаve появится позже, при отыскании второй функции. В первом случае, остаетсяa  x dxbx dx   bx e dx  C .найти v из uv  bx , v  u a  x dx  a  x dx  C  , как и выше.Теперь y  uv = e   bx e42Вовторомслучаеостаетсянайтиua  x dxb x udx   bx e dx  C .v a  x dx  a  x dx  C  , как и выше.Теперь y  uv = e   bx eизu v  bx  ,Пример. xy   2 y  2 x 4 .Решение методом вариации.

Приводим уравнение, деля на коэффициентпри y  :yy  2  2x 3 .xy dydx 2 , y  Cx 2 .Решаем однородное уравнение y   2 ,xyxВарьируем произвольную постоянную C  C x , y   C x 2  2Cx .Подставляем в неоднородное уравнение C x 2  2Cx  2Cx  2 x 3 ,C   2 x, C x   x 2  C1 , y  x 2 x 2  C1  .Решение методом подстановки.y  uv, y   u v  uv , xu v  uv   2uv  2 x 4 , xuv   2uv  0, xv   2vdvdx 2 , v  x 2 , xu v  2 x 4 , x 3u   2 x 4 , u   2 x, u  x 2  C1vxy  uv  x 2 x 2  C1  .Уравнение Бернулли.y   a  x  y  b x  y nЕсли n = 1, то это – уравнение с разделяющимися переменными, если n = 0, тоэто – линейное уравнение.Заметим, что при n > 0 y  0 - решение уравнения.Решать уравнение Бернулли можно тремя способами1) сведение к линейному уравнению заменой z  y 1 nРазделим обе части уравнения на y n 1 ,y11  1 11 n1   ax  n1  bx , ax  n1  bx ,z   ax z  bx n1 n  y 1 nyyyПолучили линейное уравнение относительно z  x  n  1 .Этот метод применяется редко, так как уравнение Бернулли можно решатьтеми же методами, что и линейное уравнение, не приводя его предварительно клинейному.2) Решение методом вариации произвольной постоянной.Решение проводится аналогично линейному уравнению.43Решим сначала однородное уравнение, полагая правую часть уравнениянулевой. a  x dx.y   ax  y  0, y  Ce  a  x dxЗатем ищем решение уравнения в виде y  C x e , варьируяпроизвольную постоянную C  C x  ,вычисляем y  и подставляем в исходное уравнение . a  x dx a  x dx a  x dx n a  x dx.C e  Cax e  Cax e  bx C n e Вновь, как и в линейном уравнении, два слагаемых сокращаются,получаем уравнение с разделяющимися переменными.(1 n ) a  x dxdC bx e nC a  x dxОпределяя отсюда функцию C x  , подставляем ее в y  C x e .3)Решение методом подстановки.Полагаем y  u x vx  , подставляем y   u v  uv в исходное уравнениеu v  uv   ax uv  bx u n v n .Точно так же, как при решении линейного уравнения, решаем, например, a  x dxуравнение u v  ax uv  0, u  e .

Подставляем полученную функцию,решаем«оставшееся» уравнение с разделяющимися переменными(1 n ) a  x dxdv.uv  bx u n v n , bx e nvЗаметим, что оно получилось точно таким же, как в методе вариации.Поэтому вторая функция в методе подстановки и есть та самая варьируемаяпостоянная. Затем записываем решение y  u x vx  .Видим, что метод вариации и метод подстановки, фактически, один и тотже метод.