Краткий курс математического анализа в лекционном изложении

Галкин С. В.Краткий курс математического анализав лекционном изложениидля студентов МГТУ им. Н. Э. Баумана(второй семестр)М. 2002г.1Лекция 1 Неопределенный интеграл, таблица интегралов.Функция F x  называется первообразной для функции f x  , еслиF x   f x  .Теоремы о первообразных.Теорема. Если F x  - первообразная для функции f x  , то F x   С ( С константа) - тоже первообразная для функции f x  .Доказательство. F x   C   F x   C   f x  .Теорема.

Пусть F x , G x  - две первообразных для функции f x  , тогдаони различаются на некоторую константу ( F x   Gx   C - константа).V x   F x   Gx  ,Рассмотримфункциюонанепрерывнаидифференцируема на всей числовой оси, как и функции F x , G x  . Тогда длялюбых конечных значений x1, x 2  x 2  x1  по формуле конечных приращенийЛагранжаV x2   V x1   V c x2  x1   F c   G c x2  x1    f c   f c x2  x1   0 .Следовательно, V x   C , F x   Gx   C.Неопределенным интегралом f x dx(интеграл от функции f x  поdx ) называется совокупность всех первообразных функций для функции f x  . f xdx  F x  C .f x  , стоящая под знаком интеграла, называетсяФункцияподинтегральной функцией, а выражение f  x dx - подинтегральнымвыражением..Свойства неопределенного интеграла.Свойства неопределенного интеграла можно условно разделить на двегруппы.

В первую группу собраны свойства, вытекающие из того, чтоинтегрирование – операция, обратная дифференцированию. Во вторую группусобраны свойства линейности. Эти свойства вытекают из того, чтоинтегрирование, как и дифференцирование – линейная операция и определяютлинейную операцию.Первая группа свойств.df x dx  f x  .1)dx df x dx  f x   C2) dx3) d  f x dx  f x dx4) df x  f x  C .Докажем первое свойство.2Так как f xdx  F x  C, то dx  f xdx  dx F x   C  dddF x  f x .dxЗдесь F x  - первообразная для f x  .Докажем второе свойство.df x Обозначим g x   f x , Фx    g x dx.

Тогда f x   g x  , аdxФx   g x  по первому свойству. Поэтому функции Фx , f x  являютсяпервообразными для функции g x  . Следовательно, по теоремам опервообразных, они различаются на константу, т.е. Фx   f x   C илиd dx f x dx  f x   C.d  f x dxТретье свойство следует из первого: d  f x dx dx  f x dx.dxЧетвертое свойство следует из второго, если вспомнить, что сдифференциалом первого порядка можно обращаться как с алгебраическимвыражением (свойство инвариантности формы записи первого дифференциала).Поэтому надо доказать два первых свойства.Вторая группа свойств.1) свойство суперпозиции   f1 x   f 2 x dx   f1 x dx   f 2 x dx 2) свойство однородности  f x dx    f x dx .Доказательства того и другого свойств проводятся аналогично.Дифференцируем (по свойствам первой группы) левую и правую частьравенства, приходим к тождеству.

Затем из теорем о первообразных заключаем,что левая и правая часть равенства, как первообразные одной и той же функции,различаются на константу. Эта константа может быть формально включена внеопределенный интеграл в левой или правой части равенства.Для того, чтобы вычислить интеграл от функции, проще всего «угадать»первообразную для этой функции по таблице для производных, переписав этутаблицу в обратном порядке.

Запишем интегралы для основных элементарныхфункций.x  1 C ,   1.1)  x  dx  1dx1dx 1  x  ln | x | C ,    x 2 dx  x  C ,  2 x  x  C . Эти формулылучше запомнить, они очень часто встречаются.axx C ,  e x dx  e x  C.2)  a dx ln adxdx tgx  C ,  2  ctgx  C.3)  cos xdx  sin x  C ,  sin xdx   cos x  C , 2cos xsin xdxdx thx  C ,  2  cthx  C.2xsh xСправедливость этих формул легко проверить, дифференцируя правуючасть соотношения и получая подинтегральную функцию.4) chxdx  shx  C,  shxdx  chx  C,  ch3Лекция 2.

Методы интегрирования и таблица интегралов.Метод подведения под дифференциал.Пусть известен интеграл  f x dx  F x   C ( F x  - первообразная дляфункции f x  ). ТогдаГлавное здесьf  x d x  .Доказательство. f  x xdx   f  xd x  F  x  C.–«догадаться»,какf  x dxпредставитьв видеdF   x  dF d f   x   x  по теореме о сложнойdxd dxфункции. Следовательно, функцияF  x  f  x xdxиявляютсяпервообразными для функции f  x  x  и, по теоремам о первообразных,различаются на константу.Этотметодприменяется1 cosln x  x dx   cosln x d ln x  sinln x   C ,часто.Например,1x1 1x e x 2 dx   d  e   e x  C . Метод замены переменной.Это – универсальный метод, метод подведения под дифференциалявляется частным случаем метода замены переменной.Теорема.

Пусть функция x  u t  непрерывно дифференцируема внекоторой области и имеет непрерывно дифференцируемую обратную функциюt  u 1 x  . Тогда  f x dx   f ut u t dt, где t  u 1 x  .Доказательство. Дифференцируя обе части, используя теоремы опроизводной сложной функции и инвариантность формы записи первогодифференциала, получим тождество дифференциалов.f x dx  f x d ut   f ut u t dt , где t  u 1 x  .

Из него следуетравенство интегралов в левой и правой частях.Заметим, что требования к обратной функции нужны, чтобы суметьвозвратиться обратно, от переменной t к переменной x .Для вычисления интегралов видавычислять интеграл vxdux , uxdvx ,если вместо него удобнопользуются методом интегрирования почастям. uxdvx = uxvx -  vxdux ,если интегралы в обеих частях соотношения существуют.Докажем справедливость этой формулы.

Дифференцируя произведениефункций, получим d ux vx   vx dux   ux dvx , или4ux dvx   d (u x vx )  vx dux  .Интегралы левой и правой частей существуют(  d ux vx   ux vx   C ).Интегрируя, получим нужное соотношение.Примеры. ln xdx  x ln x   xd ln x  x ln x  x  C x 2  x 2 ln xx21 21 2 x ln xdx   ln xd  2   2   2 d ln x  2 x ln x  4 x  C .dv  xdx  u  ln x1x2  du  dx v x2  x cos xdx   xd sin x  x sin x   sin xdx  x sin x  cos x  CВычислим интегралы  e x cos xdx ,  e x sin xdx .exsin xdx  e x cos x   e x cos xdx ,excos xdx  e x sin x   e x sin xdxu  exu  exdv  sin xdx dv  cos xdx . du  e x dx v   cos x  du  e x dx v  sin xТеперь, подставляя второй интеграл в первый, получим1 xx e sin xdx  2 e sin x  cos x .Аналогично, подставляя первый интеграл во второй, получим1 xx e cos xdx  2 e sin x  cos x  .Пополним таблицу интегралов, применяя методы интегрирования (в первойлекции получены четыре интеграла). xd dx1dx11xa 2    2  arctg  C5.

 222aaax aa x x1  1  aadx1  11 1ln | x  a |  ln | x  a |  C  1 ln x  a  C6.  2dx 22a  x  a x  a 2a2a x  ax a xd dx a   arcsin x  C7. 222aa x x1  a8.dxx2  ax 2  a dtx2  a x  x2  adt ln | t | C  ln | x  x 2  a | CtЗдесь сделана замена переменной, подстановкаподстановок Эйлера,x 2  a  t  x - одна из5xx2  a  dt , dx  dt  dx , dx1dt .22 x2  ax  x2  a x a2 x dx9.a2a2a21cos2tdttsin 2t  C 2 24( x  a sin t , dx  a costdt )22 a cos t dt a 2  x 2 dx 2a2x a2a2x a2x xarcsin 2 sin t cost  C arcsin 1    C 2a 22a 2aa21axx a2  x2 arcsin  C .22ax 2  A dx  x x 2  A  x2dx  x x 2  A  x2  A  Adx x2  Ax2  Au  x2  Adv  dx xdxvx  du x2  AAx x 2  A   x 2  A dx  dx .x2  AПеренося искомый интеграл из правой части в левую часть, получим1A222 x  A dx  2 x x  A  2 ln | x  x  A | Cxdx1 d a2  x2122 a 2  x 2 2  a 2  x 2   2 ln a  x  Csin xd cos x11.

 tgxdx  dx    ln cos x  Ccos xcos xd sin x ctgxdx   sin x  ln sin x  Cdx2 1 t 2x12.  dt  ln t  C  ln tg  C2sin x21  t 2t10.xxx112t t  tg , sin x  2 sin cos  221 1 t2221 t21 2t2 cos x  cos2 x  sin 2 x  1  1  1  t ,1 1 t222 1 t21 2t2 x  2arctgt, dx  1  t 2 dt13.dxx cos x  ln tg 2  4   C,- вывести самостоятельно.Эти соотношения представляют собой таблицу основных интегралов.6Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.Квадратный трехчлен ax 2  bx  c , выделяя полный квадрат, можнопривести к виду2b b 2  4ac 222ax  bx  c = a  x    ay    ,22a 4abгде y  x ,2ab 2  4ac.2aЗнак «+» выбирается, если D  b 2  4ac  0 , знак «-» выбирается, еслиD  0 .

Если D  0,   0 .1. ax2dx1dy  2. bx  c a y   21dy1ylnC.22a y 2a y  1dy1yarctg  C .Если D  0 , то  22a y a1 dy1Если D  0 , то  2    Ca yaydxdy2. .ax 2  bx  cay 2   2 Если a  0 , D  0 , то под корнем стоит отрицательное число, интеграл вфункциях действительной переменной вычислить не удастся.1dyln y  y 2   2  C .Если a  0 , D  0 , то =22aay   Если D  0 , то a yЕсли a  0 , D  0 , то=1ln y  y 2   2  C .ady1ln y  C .ayady1dy1y=arcsin  C .aaa y2   2 2  y2Если a  0, D  0 , тоЕсли a  0, D  0 , то 3.dy22M2ax  bMb dxMx  Ndx   N dx = 2222a ax  bx  c2a  ax  bx  c bx  c axMMb dxln ax 2  bx  c   N . 22a2  ax  bx  cdxИнтеграл  2вычислен в п.1.ax  bx  cMx  NM2ax  bMb dxdx dx   N 4.