Краткий курс математического анализа в лекционном изложении, страница 2

=2a2  ax 2  bx  cax 2  bx  cax 2  bx  c7Mb dxax 2  bx  c   N .22  ax  bx  cdxИнтеграл вычислен в п.2.ax 2  bx  cMaЗаметим, что интегралы 5 –10 таблицы интегралов также содержатприведенный квадратный трехчлен.Примеры.dxdx1 x 1 x 2  4 x  3   x  22  1  2 ln x  3  Cdxdx x 2  4 x  5   x  22  1  arctg x  2  Cdxdx1 x 2  4 x  4    x  2 2   x  2  Cdxdx2 x 2  4 x  3   x  22  1  ln x  2  x  4 x  3  Cdxdxx2 5  4 x  x 2   9  x  22  arcsin 3  C3x 2  4 x  103x 2  12 x  158x  5dx x 2  4x  5 x 2  4 x  5 dx   x 2  4 x  5 dx 2x  4dx3x  4 2dx  11 3x  4 ln x 2  4 x  5  11arctg x  2  C2x  4x  5x  2  14x  1 2x  4dx 5  4 x  x 2 dx  2 5  4 x  x 2 dx  9 9  x  22 x2 4 5  4 x  x 2  9 arcsinC.3Лекция 3.

Интегрирование рациональных функций.Рациональная функция – это отношение двух целых функций –многочленов (полиномов).Если порядок полинома – числителя ниже порядка полинома –знаменателя, то такая рациональная функция называется рациональной дробью.Лемма 1. Если рациональная функция не является рациональной дробью,то ее можно привести к сумме целой части – полинома и рациональной дроби.Доказательство основано на правиле деления многочленов с остатком,например, на алгоритме деления многочленов «уголком».8x4  x2 1 x4  x2 1| x2 12x 1Пример.x4  x2| x2 .1x4  x2 11 x2  2.2x 1x 1Поэтому интегрированиерациональнойфункциисводитсякинтегрированию многочлена и интегрированию рациональной дроби.Интеграл от многочлена равен по свойствам линейности интеграла суммепроизведений интегралов от степенных функций на постоянные коэффициенты.Интеграл от степенной функции легко вычислить по таблице интегралов.Отсюда следует, чтоРазложение рациональной дробиPx на элементарные.Qx Полином Qx  – знаменатель рациональной дроби может иметь некоторойдействительныйкореньойкратности.ТогдаkkQx    x    Q1  x  , где многочлен Q1  x  уже не имеет корня  .

В этом случаеиз рациональной дроби можно выделить элементарную рациональную дробьAkвида. x   kЛемма 2. Пусть  - действительный корень k - ой кратности полиномаQx  – знаменателя рациональной дроби. ТогдаAkP1 x Px =, где многочлен Q1  x  уже не имеет корня  .kQx  x   x   k 1 Q1 x Доказательство. Приведем дроби к общему знаменателю Qx  иприравняем числители полученных дробей.Px   Q1 x Ak  P1 x x    .

Тогда выражение P  x   Q1  x Ak должноделиться на  x    , т.е. P   Q1  Ak  0 . Этого можно добиться, выбравP  Ak .Q1  Следствие 1. В условиях леммы 2 рациональную дробь можнопредставить в видеAkAk 1A1Px Px  ...   , где Qx  не имеет корня  .kk 1 x    Q x Qx  x   x   Доказательство.

Применим лемму 2 k раз и получим указанноеразложение.Полином Qx  – знаменатель рациональной дроби может иметь пару  i k - ой кратности. Тогдакомплексно сопряженных корней9Qx   x 2  px  q Q1 x   x    i x    i  Q1 x   x 2  2x   2   2 Q1 x  x   kkk  2 Q1 x Причем   i уже не являются корнями полинома Q1  x  . В этом случае израциональной дроби тоже можно выделить некоторую элементарнуюMx  Nрациональную дробь вида.kx   2   2Px Лемма 3.

Пусть Qx  – знаменатель рациональной дробиимеет паруQx комплексно сопряженных корней   i k - ой кратности. Тогда рациональнуюдробь можно представить в видеP1 x Px Mx  N=, где   i уже неk 1kQx x   2   2 Q x x   2   22k 1являются корнями полинома Q1  x  .Доказательство. Приведем дроби к общему знаменателю и приравняемчислители полученных дробей.2P  x  Mx  N Q1 x   P1 x  x      2=.

Px   Mx  N Q1 x  должноQx Qx делиться как на x    i  , так и на x    i  . ПоэтомуP   M  N Q1    0P   M  N Q1    0 , где  =   i ,  =   iОтсюда имеем систему уравнений для определения констант M , NP M  N Q1  P M  N .Q1  Определитель этой системы равен     0 , так как корни комплексные и  0 .

Поэтому система имеет единственное решение.Следствие 2. В условиях леммы 2 рациональную дробь можнопредставить в видеM 1 x  N1M k x  NkM k 1 x  N k 1Pˆ  x Px =++…++kk 1x 2  px  q  Qˆ  x  ,Qx x 2  px  qx 2  px  qгде   i уже не являются корнями полинома Q̂x  .Доказательство. Применяем лемму 3 нужное число раз и получаемискомое разложение. Теорема. Рациональная функция может быть представлена в виде10AkAk 1A1Px B ... = M x ++…+kk 1x   x  b Qx x    x   M x  N1M k x  NkM k 1 x  N k 1Lx  D+…+++ …+ 2 1+ …+ 2,kk1x  px  q x  p1 x  q1x 2  px  qx 2  px  qгде b - простой действительный корень Qx  , a - действительный кореньQx  кратности k ,  , - пара комплексно сопряженных корней кратности kQx  (комплексно сопряженные корни x 2  px  q ),  , - простая пара комплексно сопряженных корней Qx  (корни x 2  p1 x  q1 ).Доказательство.

Применяем к рациональной функции лемму 1, выделяемполином – целую часть M  x  , затем по лемме 2, выделяем члены разложения,соответствующие простым и кратным действительным корням. Затем по лемме3 выделяем члены разложения, соответствующие простым и кратным парамкомплексно сопряженных корней. Так как многочлен может иметь корни лишьперечисленных типов, то разложение этим и исчерпывается.Следствие 3. Задача интегрирования рациональной функции сводится кзадачам интегрирования элементарных рациональных дробей четырех типовALx  DMx  NB1), 2), 3) 2, 4) 2.kxx  p1 x  q1( x  px  q ) kx   Способы вычисления коэффициентов при разложении рациональнойдроби на элементарные.Пример.3x 5  x 4  7 x 3  2 x 2  2 x  1x2 1x  122ABMx  N Px  Q 2x  1 x  1 x  1 x 2  12Ax  1 x 2  1  Bx  1 x 2  1  Mx  N  x 2  1 x 2  1  Px  Q  x 2  122x21 x 1Теперь надо приравнивать многочлены в числителях дробей и определятьнеизвестные коэффициенты A, B, M, N, P, Q.Это можно сделать двумя способами.1 способ – приравнивать коэффициенты при одинаковых степеняхпеременной, составлять и решать систему уравнений.X5| 3=A+B+MX4| 1=A-B+NX3| 7=2A+2B+PX2| 2=2A-2B+QРешение системы A=2, B=1, M=N=Q=0, P=1.X |2=A+B-N-P1 |1=A-B-N-Q222 способ – задавать значения неизвестной, вычислять значениячислителей и составлять систему уравнений.X=1 | 16=8AX= -1| -8=-8BX=0 | 1=A-B-N-P11X=2 | 181=75A-25B+30M+15N+6P+3QX=-2 | -96= -25A-75B-30M+15N-6P+3QX=-3 | -824= -200A –400B-240M –80N –24P+8QРешая эту систему уравнений, получим то же решение A=2, B=1,M=N=Q=0, P=1.Какой способ применять – зависит от того, где получается более простая иудобная для решения система уравнений.В данном примере вторая система сложнее первой.Интегрирование элементарных рациональных дробей четырехтипов.B1) x   dx  B ln | x   | C ,2) x  a 3) axAkdx 11 k1x  a k 1, k  1.M2ax  bMb dxMx  Ndx   N =dx  2222a ax  bx  c2a  ax  bx  c bx  cMMb dxln ax 2  bx  c   N (пример рассмотрен во второй 22a2  ax  bx  cлекции).

Для того, чтобы вычислить интеграл от дроби в п.3, достаточно всоответствующем примере второй лекции обозначить коэффициенты другимибуквами.2x  ppM Mx  NMdxdx   N 4) =dx = 2kk( x  px  q )22  x 2  px  q kx 2  px  qM1pM dx.N J k , где J k  k1k21  k  x 2  px  q2 x 2  px  qВычислим интеграл J k .dxdydx.= Jk  kk22 k222ybx  px  q  x  p    q  p  2 4  1 y 2  b2  y 21dy12ydy  2  2 ydy 2 kk 1k22222bb2by by by  b21211J k 1 - 222bb 1yd  1  k=y 2  b 2 k 1 1y1 J k 1  1Jk 1 22 k 121k21ky b1 1 y1  J k 1 2 k 1b  21  k  2b 2 1  k  y 2  b 2По этой рекуррентной формуле можно последовательно вычислятьинтегралы J k при различных k , предварительно вычисливdy1yJ1   2 arctg  C .2bby bТаким образом, показано, что все четыре типа элементарныхрациональных дробей интегрируемы.

Следовательно, класс рациональныхфункций представляет собой класс интегрируемых функций.При интегрировании конкретных рациональных функций выделяют целуючасть и раскладывают рациональную дробь на элементарные. Затеминтегрируют элементарные рациональные дроби.1b2Пример. A  Bx 2  2B  C x  B  A  C 2 x  3x  1ABCx  12 x  1 x  1 x  1 x  12x  12 x  1Составляем и решаем систему уравнений относительно неопределенныхкоэффициентов (первый способ определения коэффициентов)A  B  2Получим A  B  C  12 B  C  3 B  A  C  1Можно воспользоваться и вторым способом определения коэффициентов.X=0 | -1 = B-A-CX=1 | 4 = A+B+2B+C+B-A-C= 4BX=-1| -2 = A+B-2B-C+B-A-C= -2C. Отсюда C=1, B=1, A=1.Вторая система проще, чем первая.Теперь интегрируем сумму элементарных дробей.2 x 2  3x  11 x  12 x  1 dx  ln x  1  ln x  1  x  12Метод Остроградского.Если знаменатель рациональной дроби содержит пары комплексносопряженных корней большой кратности, то удобно применять методОстроградского.Онсостоитвследующем:вычисляютQ1 x   НОД (Qx , Qx ), Qx   Q1 x Q2 x  .

Затем интеграл представляют ввиде13Px X x Y x  Qx  dx  Q x    Q x  dx ,1где степеньX x  на единицу меньше2степени Q1  x  , а степень Y x  на единицу меньше степени Q2  x  .Коэффициенты полиномов X x  , Y x  определяются при дифференцированиилевой и правой частей и приравнивания коэффициентов при равных степенях x.Лекция 4. Интегрирование иррациональных и тригонометрическихфункций.Интегрированиефункций.1.рациональныхфункцийоттригонометрических Rsin x, cos xdx , где R( ) – рациональная функция своих аргументов.Такие интегралы всегда можно взять универсальной тригонометрическойподстановкой (лекция 1)xxx112t  t  tg , sin x  2 sin cos  2,21 1 t2221 t2 1 2t2 cos x  cos2 x  sin 2 x  1  1  1  t ,1 1 t222 1 t21 2t2 x  2arctgt, dx  1  t 2 dt2. Rsin x, cos xdx .А) Если Rsin x, cos x  нечетна по sin x, то делают подстановку t = cos x.Б) Если Rsin x, cos x  нечетна по cos x, то делают подстановку t = sin x.В) Если Rsin x, cos x  не меняет знака при изменении знака sin x или cos x, тоделают подстановку t = tg x.t1dtt  tgx, sin x , cos x , x  arctgt, dx 221 t2t 1t 1dx 1  3 cos.