Краткий курс математического анализа в лекционном изложении, страница 6

Поэтомуaинтегралsin 2 xa x dx расходится. Если бы он сходился, то складывая его ссходящимся интегралом 0.5(0.5cos2 xdx , получили бы сходящийся интегралxa1 x dx ), а этот интеграл расходится.a31Используянеравенствоsin x  sin 2 xирасходимостьинтегралаsin 2 xa x dx , по первому признаку сравнения получаем расходимость интегралаasin xxdx . Следовательно, интегралsin xdx условно сходится.xaЛекции 9-10. Приложения определенного интеграла.Приложение интеграла к физическим задачам основано на свойствеаддитивности интеграла по множеству. Поэтому с помощью интеграла могутвычисляться такие величины, которые сами аддитивны по множеству.Например, площадь фигуры равна сумме площадей ее частей Длина дуги,площадь поверхности, объем тела, масса тела обладают тем же свойством.Поэтому все эти величины можно вычислять с помощью определенногоинтеграла.Можно использовать два метода решения задач: метод интегральныхсумм и метод дифференциалов.Метод интегральных сумм повторяет конструкцию определенногоинтеграла: строится разбиение, отмечаются точки, в них вычисляется функция,вычисляется интегральная сумма, производится предельный переход.

В этомметоде основная трудность – доказать, что в пределе получится именно то, чтонужно в задаче.Метод дифференциалов использует неопределенный интеграл и формулуНьютона – Лейбница. Вычисляют дифференциал величины, которую надоопределить, а затем, интегрируя этот дифференциал, по формуле Ньютона –Лейбница получают требуемую величину. В этом методе основная трудность –доказать, что вычислен именно дифференциал нужной величины, а не что-либоиное.Вычисление площадей плоских фигур.1. Фигура ограничена графиком функции, заданной в декартовойсистеме координат.Мы пришли к понятию определенного интеграла от задачи о площадикриволинейной трапеции (фактически, используя метод интегральных сумм).Если функция f x  принимает только неотрицательные значения, то площадьS  x  под графиком функции на отрезке [a, b] может быть вычислена с помощьюbопределенного интеграла f x dx .

Заметим, чтоdS x   f x dx поэтому здесьaможно увидеть и метод дифференциалов.Но функция может на некотором отрезке принимать и отрицательныезначения, тогда интеграл по этому отрезку будет давать отрицательнуюплощадь, что противоречит определению площади.32bМожно вычислять площадь по формуле S=  f x  dx . Это равносильноaизменению знака функции в тех областях, в которых она принимаетотрицательные значения.Если надо вычислить площадь фигуры, ограниченной сверху графикомфункции f x  , а снизу графиком функции g x  , то можно пользоватьсяbформулой S=   f x   g x dx , так как f x   g x  .aПример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми x=0, x=2 играфиками функций y=x2, y=x3.Заметим, что на интервале (0,1) выполнено неравенство x2 > x3, а при x >1выполнено неравенство x3 > x2.

Поэтому12 x3 x4  1  x4 x3  2S   x 2  x 3 dx   x 3  x 2 dx    |    | 4 0  43 1 3011 18 1 1 3 4   3 43 4 3 22. Фигура ограничена графиком функции, заданной в полярной системекоординат.Пусть график функции задан в полярной системе координат и мы хотимвычислить площадь криволинейного сектора, ограниченного двумя лучами  1 ,    2 и графиком функции      в полярной системе координат.Здесь можно использовать метод интегральных сумм, вычисляя площадькриволинейного сектора как предел суммы площадей элементарных секторов, вкоторыхграфикфункциизаменендугойокружности2n  i S  lim m ax i 0  i .2i 1Можноиспользоватьиметоддифференциалов:221  S  dS   2  d , S  d .221Рассуждать можно так.

Заменяя элементарный криволинейный сектор,соответствующий центральному углу d круговым сектором, имеемпропорцию2   2d  dS.. Отсюда dS  2 d  2d . Интегрируя и используя22формулу Ньютона – Лейбница, получаемS21 2  2d .Пример. Вычислим площадь круга (проверим формулу). Полагаем   R .2Площадь круга равна12R02d 1 2R 2  R 2 .2Пример. Вычислим площадь, ограниченную кардиоидой   a1 cos   .33S 21 21  cos 2 3 222 3a 1  cos  d  a 2  1  2 cos d  a   0  0  a2022203 Фигура ограничена графиком функции, заданной параметрически. x  xt Функция может быть задана параметрически в виде . Используем y  yt bв нее dx  xt  dt, f x  yt  и пределыформулу S=  f x  dx , подставляяat2интегрирования по новой переменнойt.S   y t x t dt .

Обычно приt1вычислении интеграла выделяют те области, где подинтегральная функцияимеет определенный знак и учитывают соответствующую площадь с тем илииным знаком. x  a costПример. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом . y  b sin tИспользуем симметрию эллипса, вычислим площадь четверти эллипса,находящуюся в первом квадранте. В этом квадранте y  0, x  a sin t  0 .21  cos 2t1dt  4ab ab .22202Поэтому S  4  b sin t a sin t dt  4ab 0Вычисление объемов тел.1.

Вычисление объемов тел по площадям параллельных сечений.Пусть требуется вычислить объем некоторого тела V по известнымплощадям сечений S  x  этого тела плоскостями, перпендикулярными прямойOX, проведенными через любую точку x отрезка [a, b] прямой OX.Применим метод дифференциалов. Считая элементарный объем dV , надx, x  dx объемом прямого кругового цилиндра с площадьюотрезкомоснования S  x  и высотой dx , получим V  dV  S x dx . Интегрируя иприменяя формулу Ньютона – Лейбница, получимbV   S x dx .a2. Вычисление объемов тел вращения.Пусть требуется вычислить объем тела вращения вокруг оси OX.bТогда S x   y 2 x , V    y 2 x dx .aАналогично, объем тела вращения вокруг оси OY, если функция задана вdвиде x  x y  , можно вычислить по формуле V   x 2  y dy .c34Если функция задана в виде y  y  x  и требуется определить объем телавращения вокруг оси OY, то формулу для вычисления объема можно получитьследующим образом.2V x   V x  dx  V x   y 2 x  dx   y 2 x     yx   dy   y 2 x   y 2 x   2 yx dy  dy 2  y 2 x   2xyx dx  dy 2 .Переходя к дифференциалу и пренебрегая квадратичными членами,имеем dV x   2y 2 x dx .

Интегрируя и применяя формулу Ньютона –bЛейбница, имеемV  2  xydx .aПример.Вычислитьобъемшараx2  y2  R2 .x3 R2R 3 4 33V   y x dx    R  x dx  R 2R   |  2R  R .3 R33RRПример. Вычислить объем прямого кругового конуса, ограниченногоx2  y2z2поверхностьюи плоскостью z  H .R2H2Вычислим объем, как объем тела вращения, образованного вращениемвокруг оси OZ прямоугольного треугольника в плоскости OXZ, катеты которогоHлежат на оси OZ и прямой z = H , а гипотенуза лежит на прямой z x.RRR22222R 2 z 3 H R 2 H Rz Выражая x через z, получим V      dz  2|0  3 .H3H0Искомый объем можно посчитать как разность объемов прямогокругового цилиндра x 2  y 2  R 2 с высотой H и тела, вращения, ограниченногоцилиндрической, конической поверхностями и плоскостью OXYRRHx2HR 3 R 2 HV  R 2 H  2  xzx dx  R 2 H  2  xdx  R 2 H .R3R300HВычисление длины дуги.Для того, чтобы получить формулы для вычисления длины дуги,вспомним выведенные в 1 семестре формулы для дифференциала длины дуги.Если дуга представляет собой график непрерывно дифференцируемойфункции y  f x  , дифференциал длины дуги можно вычислить по формулеbdl  1  y  x dx .

Поэтому l   1  y  2 x dx.2a x  xt Если гладкая дуга задана параметрически , то y  yt t2dl  x 2 t   y 2 t dt . Поэтому l   x 2 t   y 2 t dt .t1Если дуга задана в полярной системе координат, то35dl        d . Поэтому l 222 2     2  d .1  Пример. Вычислить длину дуги графика функции y  ln sin x , x   ,  .4 21  y  2 x   1  ctg 2 x 21.sin xldx ln tg  ln tg   ln tg .sin x4884Пример. Вычислить длину кардиоиды   a1 cos   .l  2a  1  2 cos  cos   sin  d  2 2a  1  cos d 22002 2a  2 cos02d  8a x  at  sin t Пример. Вычислить длину одной арки циклоиды. . y  a1  cost t2x 2 t   y 2 t   a 1  cost   sin 2 t  a 2 1  cost  2a sin222tt 2l   x 2 t   y 2 t dt  2a  sin dt  4a cos |  8a .22000Вычисление площади поверхности вращения.Пусть гладкая дуга представляет собой график непрерывнодифференцируемой функции f x , x  a, b .

Эта дуга вращается вокруг оси OX,описывая некоторую поверхность. Требуется определить площадь этойповерхности.Считая элемент поверхности боковой поверхностью усеченного конуса,x, x  dx ,высотойкоторогоявляетсяотрезокполучимS    yx   yx  dxdl  2yx dl  yx dxdl . Выделяя здесь линейную часть,пренебрегая квадратичным членом от дифференциала dx , получаемdS  2yx dl . Интегрируя и применяя формулу Ньютона – Лейбница, получимbbaaS  2  yx dl  2  yx  1  y  2 x dx .Если функция задана параметрически или в полярной системе координат,то в этой формуле производится соответствующая замена переменной, формулыдля дифференциала длины дуги dl приведены выше.1, x  [1,) вращается вокруг осиxOX, образуя «ведерко».

Можно ли налить в это ведерко определенноеколичество краски так, чтобы окрасить боковую поверхность ведерка?Во-первых, определим, конечен ли объем ведерка.Пример. Дуга графика функции y 36V 1x2dx   , интеграл сходится, объем конечен. Ведерко будет1окрашено, если будет окрашена каждая точка поверхности, т.е. в том случае,когда боковая поверхность ведерка будет конечна.1111S бок  2 1  4 dx . Так как 1  4  0, а интеграл  dx расходится,xxxx11то по первому признаку сравнения будет расходиться и интеграл11Следовательно,боковаяповерхностьимеетS бок  2 1  4 dx .xx1бесконечную площадь, и боковую поверхность ведерка окрасить не удастся.Лекция 11. Дифференциальные уравнения.Дифференциальным уравнением называется уравнение относительнонезависимой переменной, неизвестной функции и ее производных.Дифференциальное уравнение общего вида выглядит следующим образом:F x, y x , y x ,...

y n x   0 . Здесь x – независимая переменная, y(x) –неизвестная функция.Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшейпроизводной, входящей в уравнение.Если, пользуясь теоремой о неявной функции, из уравнения общего видаудается выразить явно старшую производную, то такое уравнение называетсяуравнением, разрешенным относительно старшей производной.y n  f x, y x , y x ... y n 1 x  .Дифференциальные уравнения первого порядка.Дифференциальное уравнение первого порядка общего вида выглядитследующим образом:F x, yx , y x   0 .Предположим, что дифференциальное уравнение удалось разрешитьотносительно производной: y x   f x, yx  илиy   f  x, y  .Функция y  x  называется решением дифференциального уравненияпервого порядка, если при подстановке этого решения в уравнение получаемтождество.y x   f x, yx  .Функция y   x,c  называется общим решением дифференциальногоуравнения первого порядка в области G  x, y  , если- при любой постоянной c функция  x, c  является решением,- для любого набора начальных условий x0 , y 0   G существуетконстанта c 0 такая, что y x0 ,c0    x0 ,c0   y 0 , т.е.

существуетрешение из семейства y   x,c  (при c  c 0 ), удовлетворяющее этимначальным условиям.37Одной из основных задач является задача отыскания общего решениядифференциального уравненияЕсли зафиксировать постоянную в общем решении, мы получим частноерешение дифференциального уравнения первого порядка.Функция Ф x, y  называется первым интегралом дифференциальногоуравнения, если она сохраняет свои значения на его решениях ( Ф x, y  =С).По сути дела, это – закон сохранения (функция Ф x, y  сохраняет значенияна решениях дифференциального уравнения).Интегральной кривой называется график решения дифференциальногоуравнения.Одной из основных задач является также задача Коши - задачаотысканиячастногорешениядифференциальногоуравнения,x0 , y0   G илиудовлетворяющего заданным начальным условияминтегральной кривой, проходящей через заданную точку x0 , y 0   G .Теорема существования решения задачи Коши.f  x, y  непрерывна в области x, y   G , тогдаПусть функциясуществует хотя бы одно решение, удовлетворяющее любым заданнымначальным условиям x0 , y 0   G или существует хотя бы одна интегральнаякривая, проходящая через точку x0 , y 0   G .Теорема существования и единственности решения задачи Коши.Пусть функция f  x, y  непрерывна в области x, y   G и удовлетворяет вэтой области одному из трех условий:А: функция f  x, y  удовлетворяет условию Липшица по y :f x, y1   f x, y2   L y1  y2 ,f  x, y ,yf  x, y D: существует и непрерывна частная производная.yВ: существует и ограничена частная производнаяЗаметим, что из условия D следует условие В., а из условия В следуетусловие А.