Краткий курс математического анализа в лекционном изложении, страница 5

Это возможно в трехслучаях:  , b, a, ,  , . Определим несобственные интегралы какпределыbf x dx  lim a f x dx  limbb a f x dx ,ab f x dx ,abf x dx  lim a ,  f x dx . В последнем интеграле a и b независимо друг отb aдруга стремятся к   . Если a  b , то предел в правой части последнегоравенства называется главным значением несобственного интеграла.Если эти пределы существуют и конечны, то несобственные интегралыназываются сходящимися.

Если предел не существует или бесконечен, то такойнесобственный интеграл называется расходящимся.Если сходятся интегралы от функций f x , g  x  , то сходятся интегралыот функций  f x , f x   g x  . Это следует из теорем о пределах.1Пример.  2 dx  lim b1 xПример.1 x dx  limbax2dx  lim b 11b|  1 , интеграл сходится.x1bln x |   , интеграл расходится.1Пример.1x1dx сходится при a  1 и расходится при a  1 . Проверьте это.0Рассмотрим интеграл Дирихле1xndx .1  , n  111 1 n b11 ndxlimxlimb1 1 , n 1.1 x n n1 b 1  n |1 1  n bn 1При n  11xndx  lim b ln x  1   , интеграл расходится.1Итак, несобственный интеграл Дирихле первого родапри n  1, расходится при n  1.1xndx сходится126Признаки сравнения несобственных интегралов (достаточныепризнаки сходимости и расходимости несобственных интегралов).1 признак.0  f x   g x  .Теорема.Пустьxaпривыполненоaa g x dx сходится, то и интегралЕсли интегралнеравенство f x dx сходится.aa f x dx расходится, то и интеграл  g x dx расходится.Если интегралДоказательство.

Проинтегрируем неравенство 0  f x   g x  на отрезкеa, b, b  a ,bbaa0   f x dx   g x dx . Так как обе функции на отрезке имеют толькоположительные значения, то интегралы от этих функций представляют собойвозрастающие функции от верхнего предела b.Если g x dxсходитсяa(  g  x dx =I),топрилюбомb>aabbaaa0   f x dx   g x dx  g x dx = I (I – конечное число).bПоэтому f x dx -монотонно возрастающая, ограниченная функцияaверхнего предела интегрирования b. Следовательно, по теореме Вейерштрассаэтот интеграл как функция b имеет пределblim bf x dx  J  I , т.е. интегралa f x dx сходится.aПусть теперьf x dxрасходится.

Еслиa g x dxсходится, то поaдоказанному и f x dx сходится, противоречие. Теорема доказана.aВообще-то, все было ясно из геометрического смысла определенногоинтеграла как площади криволинейной трапеции под графиком функции. Еслизначения одной функции больше, чем значения другой функции, то исоответствующая криволинейная трапеция имеет большую площадь. И если этаплощадь конечна, то и меньшая площадь конечна. А если меньшая площадьбесконечна, то и большая площадь бесконечна. Но строгое доказательство неподведет, а «очевидное» иногда подводит.2 признак сравнения. Теорема. Пусть при x>a f x   0, g x   0 .

Еслисуществует конечный предел lim xf x  K  0 , то интегралыg x  f x dx ,a27 g x dx ,сходятся или расходятся одновременно (если один сходится, то иaдругой сходится, если один расходится, то и другой расходится).Доказательство.Изопределенияпределаf x f x   0     0 : x    K    K   K  g x g x K   g x   f x   K   g x  .следует f x dxЕсли интегралсходится, то по первому признаку сравненияa K   g xdx ,сходится интеграла, следовательно, сходится интегралa g x dx .Еслиинтегралa g x dxсходится,тосходитсяинтегралa K   g xdx ,а, следовательно, по первому признаку сравнения сходитсяaинтеграл f x dx .Пусть интегралa f x dxрасходится.

Если интегралa g x dxсходится, то по первому признаку сравнения сходится интегралa f x dx ,противоречие. Пусть интегралa g x dxрасходится. Если интегралa f x dxсходится, то по первому признаку сравнения сходится интегралa g x dx , противоречие. Теорема доказана.aЭталонами служат обычно интегралы Дирихле или интегралы отпоказательной функции.1  cos3 x  xПример. dx сходится по второму признаку сравнения,x 2 1  x 1интеграл сравнения1x2dx .1Пример.2exexx 1dx сходится по первому признаку, интеграл сравненияdx .2Несобственные интегралы от разрывной функции по конечномупромежутку (второго рода).28Функция может терпеть разрыв на левом конце отрезка a, b , на правомконце или в некоторой внутренней точке с отрезка.Пусть функция f x  непрерывна на отрезке a, b за исключением точкиx= a, тогда несобственным интегралом второго рода от функции f x  поотрезку a, bbf  x dx называется предел lim  0ba abf x dx =  f  x dxa.Пусть функция f x  непрерывна на отрезке a, b за исключением точкиx= b, тогда несобственным интегралом второго рода от функции f x  поотрезку a, bb f x dx называется предел lim b baa f x dx =  f x dx .0aПусть функция f x  непрерывна на отрезке a, b за исключением точкиx= c  a, b  , тогда несобственным интегралом второго рода от функции f x  поотрезкуa, bназываетсяbcbaac f x dx =  f xdx   f xdx(интегралы в правойчасти определены выше).Если указанные пределы существуют и конечны, то интегралыназываются сходящимися, если предел бесконечен или не существует вообще,то интеграл расходится.Если сходятся интегралы от функций f x , g  x  , то сходятся интегралыот функций  f x , f x   g x  .

Это следует из теорем о пределах.1Пример.011111 x 2 dx  1 x 2 dx  0 x 2 dx  lim  01111 x 2 dx  lim  0  x 2 dx  1   1 1lim  0   |   lim  0   |  Интеграл расходится, так как пределы в x 1  x правой части равенства бесконечны.Заметим, если здесь формально применить формулу Ньютона-Лейбница(она неприменима, т.к. функция разрывна), получим ответ 2. Еще разубеждаемся, что теоремы следует применять, внимательно проверяя условия ихприменимости.b1Рассмотрим несобственный интеграл Дирихле второго рода  n dx .0 x  ,11 1n b1 1 n1 n1 ndxlimxblimb  00 x n n1  0 1  n | 1  n1  n ,bb11dxlimdx  lim  0 ln b  ln     ,Приn 1 0 0 x n xрасходится.b1Итак, несобственный интеграл Дирихле второго рода  n dx0 xпри n  1, расходится при n  1.bn 1n 1.интегралсходится29Замечание.

Интегралы Дирихле первого и второго рода расходятся приn=1. При n>1 интеграл Дирихле первого рода сходится, а интеграл Дирихлевторого рода расходится. При n<1 интеграл Дирихле первого рода расходится, аинтеграл Дирихле второго рода сходится.Признаки сравнения интегралов остаются верными и для интеграловвторого рода. Эталонами сравнения служат обычно интегралы Дирихле иинтегралы от показательной функции.5Примеры.0dx5x  x2  1  x35dxсходитсясравнением с несобственным5 1 ) по второму признаку сравнения.52x0Вспомните, что сумма бесконечно малых функций в знаменателе эквивалентнапри x  0 бесконечно малой наинизшего порядка малости.

Можно доказатьэквивалентность непосредственным вычислением предела.3 2x  x  1dxрасходитсясравнениемсинтегралом1 x  x 41 x по второмупризнаку сравнения.интегралом Дирихле(n=Абсолютная сходимость несобственных интегралов.До сих пор при анализе сходимости несобственных интегралов мыпредполагали, что подинтегральная функция принимает только положительныезначения. Откажемся от этого предположения. Будем исследовать сходимостьнесобственных интегралов первого рода вида f x dx ,гдеf x  можетaпринимать значения любого знака.

Полученные результаты переносятся поаналогии на остальные несобственные интегралы первого и второго рода.Интеграл f x dx называетсяабсолютно сходящимся, если сходитсяa | f x | dx .несобственный интегралaТеорема. Если интеграл f x dx абсолютно сходится, то он сходится.aДоказательство. Введем в рассмотрение две вспомогательные функции11 x    f x   f x ,  x    f x   f x . Эти функции принимают только22положительные значения.

Кроме того,  x  f x ,  x  f x . По первомупризнаку сравнения из абсолютной сходимости интеграла f x dx ,т.е. изaсходимости интегралаaa | f x | dx следует сходимость интегралов  x dx ,30aaa  x dx . Тогда сходится интеграл ( x   x )dx  f xdx .Теоремадоказана.Пример.1x2cos xdx абсолютно сходится, так как cos x  1, а интеграл2a xdx сходится.aУсловная сходимость несобственных интегралов.Интеграл f x dxназывается условно сходящимся, если он сходится, аaинтеграл | f x | dxрасходится.asin xdx условно сходится.xaПокажем, что интегралbb cos x b b cos x sin xd cos xcosb cos acos xdxdxdx2a xa x x |a  x 2baaa xПерейдем к пределу при b   .

Интеграл в правой части равенстваабсолютно сходится, обозначим его I.sin xcos asin xa x dx  a  I . Поэтому интеграл a x dx сходится.Покажем, что этот интеграл не сходится абсолютно. Справедливоbbbbsin 2 x1  cos 2 x1cos 2 x2dx  dx   dx  dx .неравенство sin x  sin x . x2x2x2xaaaabПереходя к пределу при b   , видим, что интеграл(аналогично интегралуsin xa x dx ), интеграл1 2 x dxcos2 xdx сходится2xaрасходится.