Краткий курс математического анализа в лекционном изложении, страница 19

Поэтому приходится ещерешать систему уравнений для явного определения y n 1 .xn 1Пример.h f x, y dx  2  fn f n1  . Поэтому имеем формулуxnh f n  f n1  метода Адамса – Мултона второго порядка.2Более точен метод Адамса – Мултона четвертого порядкаhy n1  y n  9 f n1  19 f n  5 f n1  f n2  .24Эти методы также требуют разгона.y n1  y n Обобщением методов Адамса являются линейные многошаговыеметодыkkj 0j 0 j y n j  h  j f n j , n  0,1...Если  k  0 , то метод – явный, если  k  0 , то метод – неявный.Есть методы, сочетающие явные и неявные этапы – методы. Таковы,например, методы типа предиктор – корректор (предиктор P – предсказатель –явный метод, корректор С – неявный метод). Эти методы содержат обычно иэтапы вычисления функции Е. Распространены методы РЕСЕ и РЕС.Рассмотрим в качестве метода Р метод Адамса – Башфорта 2 го порядка, ав качестве метода С – метод Адамса – Мултона 2 го порядка.Схема метода может быть записана в виде.hР y n1  y n  3 f n  f n 1  .2Е f n 1  f x n 1 , y n 1 hС y n1  y n   f n  f n1 2ffxЕn 1n 1 , y n 1 Метод Р «предсказывает», прогнозирует y n 1 , вычисляется значениеправой части, которое используется в методе С – «корректоре» для коррекцииприближения y n 1 , затем вычисляется более точное значение правой части,которое вновь используется в методе Р.103Сходимость, устойчивость разностных схем, порядок точностиметодов.Вообще-то это – тема отдельного курса, но нельзя говорить о методахрешения дифференциальных уравнений и не сказать хотя бы несколько слов осходимости численных алгоритмов, устойчивости вычислительных схем иточности методов.Рассмотрим дифференциальное уравнение  y   f x, y  , равномернуюсетку на отрезке интегрирования a, b : x0  a, x1  a  h,...

x n  a  nh,...b .Рассмотрим сеточную функцию f  h  - правую часть уравнения,определенную на сетке f x k , y k , k  1,... n, y k  y x k  .Введем аппроксимации производной:111 y k 1  y k 1  .y k    y k 1  y k  , y k    y k  y k 1  , y k 0 hh2h y   f x, y Задача Коши (дифференциальная задача) заменяется y  x0   y 0 L y   fразностной задачей (разностной схемой)  y  x0   y 0или Lh y h   f h  .Разностная схема отличается от дифференциального уравнения тем, чтофункции заменены сеточными, производные заменены их аппроксимациями.y  h  - решение разностной задачи, y - решение дифференциальной задачи, y h - сеточная функция, построенная по y .Сходимость разностной схемы с порядком h k .Решение y  h  сходится к y с порядком h k , если y h  y h   Ch k , .C  0, k  0,   max   .iАппроксимация с порядком h k .Пусть задача Lh y h   f h  имеет единственное решение.Пусть Lh y  h  f h   f h  ( f h  - невязка).Разностная задача аппроксимирует дифференциальную задачу на решенииy с порядком h k , если f h   max h f h   C1h k . y   f x, y Пример.

Рассмотрим схему Эйлера для задачи . y0  y0y  yn f x n , y n  , y n 1  y n  hf x n , y n  ,Разностная задача n 1hy n 1  y n y x n   oh  . Поэтомуhy  ynLh  y h  n 1 y x n   oh  = f h   x n   oh  . То есть, f n   oh  ,hследовательно, схема Эйлера дает аппроксимацию первого порядка.104Замечание. Ошибку аппроксимации  можно оценить по правилу Рунге,hрешая дифференциальное уравнение с шагом h , а затем с шагом и сравнивая2h h / 2 y ypрешения:   h / 2 h / 4   2 , где p - порядок аппроксимации.yyУстойчивость разностной схемы.Разностнаясхеманазываетсяh h0 ,   0, что для h  h0 ,    разностнаяустойчивой,еслиh h Lh z  f    h задачаимеет единственное решение z h  такое, что z h   y h   C  h  .Другими словами, при малых возмущениях fh мало возмущается y  h  .Теорема. Пусть разностная схема аппроксимирует дифференциальнуюзадачу на решении y с порядком h k и устойчива.

Тогда решение разностнойзадачи сходится к y с порядком h k , причемyh  y h  CC1h k . Здесь C1 -константа аппроксимации, С – константа устойчивости.Доказательство. Пусть  h   f h  , тогда по единственности решения(определение устойчивости) и определению аппроксимации  y h  z  h  . Тогдаyh  y h  C  h   C f h   CC1h k (при  h   f h  имеем z  h    y h ).105Содержание.Лекция 1Неопределенный интеграл, таблица интегралов.2Лекция 2.Методы интегрирования и таблица интегралов.4Лекция 3.Интегрирование рациональных функций.8Лекция 4.Интегрирование иррациональных итригонометрических функций.14Лекция 5.Определенный интеграл.18Лекция 6.Формула Ньютона – Лейбница.22Лекции 7, 8Несобственные интегралы.25Лекции 9-10.

Приложения определенного интеграла.32Лекция 11.Дифференциальные уравнения.37Лекция 12.Основные типы дифференциальных уравненийпервого порядка.39Лекция 13.Геометрическая интерпретация дифференциальныхуравнений 1 порядка, изоклины. Особые точки и особыерешения.47Лекция 14.Дифференциальные уравнения высших порядков.50Лекции 15–16. Линейные дифференциальные уравненияn –ого порядка спеременными коэффициентами.53Лекции 17-18. Линейные дифференциальные уравнения спостоянными коэффициентами.61106Лекции 19-20. Нормальные системы дифференциальных уравнений.68Лекция 21.76Системы линейных дифференциальных уравнений.Лекция 22.

Однородные системы линейных дифференциальныхуравнений с постоянными коэффициентами.82Лекции 23-24. Устойчивость движения, классификация точек покоя,теоремы Ляпунова.87Лекция 25.95Приближенное вычисление интеграла.Лекция 26. Обзор численных методов решения задачи Коши98107.