Краткий курс математического анализа в лекционном изложении, страница 10

Тождество можно дифференцировать, поэтому54k k k y1 x  2 y2 x  ...n yn x, k  1,2,3...n  1 . Тогда первый столбецопределителя Вронского линейно выражается через остальные столбцы,поэтому определитель Вронского тождественно равен нулю.Теорема. Для того, чтобы решения линейного однородногодифференциального уравнения n-ого порядка были линейно зависимы,необходимо и достаточно, чтобы W x   0 .Доказательство. Необходимость следует из предыдущей теоремы.Достаточность.

Зафиксируем некоторую точку x 0 . Так как W  x 0   0 , тостолбцы определителя, вычисленные в этой точке, представляют собой линейнозависимые векторы.k , C1 ,...C k  0,...C n , что выполнены соотношенияC1 y1 x0   ...  C k y k x0   ...  C n y n x0   0C1 y1 x0   ...  Ck y k x0   ...  Cn y n x0   0n1n1n1C1 y1 x0   ...  Ck yk x0   ...  Cn yn x0   0 .Так как линейная комбинация решений линейного однородного уравненияявляется его решением, то можно ввести решение видаy x   C1 y1 x   ...  C k y k x   ...  C n y n x - линейную комбинациюрешений с теми же коэффициентами.ЗаметШм55что при x  x0 это решение удовлетворяет нулевым начальным условиям, этоследует из выписанной выше системы уравнений. Но тривиальное решениелинейного однородного уравнения тоже удовлетворяет тем же нулевымначальным условиям.

Поэтому из теоремы Коши следует, что введенноерешение тождественно равно тривиальному, следовательно,y x   C1 y1 x   ...  C k y k x   ...  C n y n x   0, C k  0 ,поэтому решения линейно зависимы.Следствие. Если определитель Вронского, построенный на решенияхлинейного однородного уравнения, обращается в нуль хотя бы в одной точке,то он тождественно равен нулю.Доказательство. Если W  x 0   0 , то решения линейно зависимы,следовательно, W x   0 .Теорема.

1. Для линейной зависимости решений необходимо идостаточно W x   0 (или W  x 0   0 ).2. Для линейной независимости решений необходимо и достаточноW x0   0 .Доказательство. Первое утверждение следует из доказанной вышетеоремы и следствия. Второе утверждение легко доказывается от противного.Пусть решения линейно независимы. Если W  x 0   0 , то решения линейнозависимы. Противоречие. Следовательно, W x0   0 x0 .Пусть W  x 0   0 .

Если решения линейно зависимы, то W x   0 ,следовательно, W  x 0   0 , противоречие. Поэтому решения линейнонезависимы.Следствие. Обращение определителя Вронского в нуль хотя бы в однойточке является критерием линейной зависимости решений линейногооднородного уравнения.Отличие определителя Вронского от нуля является критерием линейнойнезависимости решений линейного однородного уравнения.Теорема. Размерность пространства решений линейного однородногоуравнения n-ого порядка равна n.Доказательство.1. Покажем, что существуют n линейно независимых решений линейногооднородного дифференциального уравнения n-го порядка.

Рассмотримрешения y1 x , y 2 x , ... y n x  , удовлетворяющие следующим начальнымусловиям:y1 x0   1, y 2 x0   0,... y n x0   0,y1 x0   0, y 2 x0   1,...y n x0   0,...........................................................n1n1n1y1 x0   0, y2 x0   0,...yn x0   1,56Такие решения существуют. В самом деле, по теореме Коши через точкуx0 , y 0, y 0 , y 0 , ... y nn1 проходит единственная интегральная кривая –решение. Через точку  x0 , 1, 0, 0, ... 0  проходит решение y1  x  , через точкуx0 , 0, 1, 0, ...

0 - решение y 2 x , через точку x0 , 0, 0, 0, ... 1 - решениеy n x  .1 0... 0Эти решения линейно независимы, так как W x   0 1... 0  1  0 .0 0... 12. Покажем, что любое решение линейного однородного уравнениялинейно выражается через эти решения (является их линейнойкомбинацией).Рассмотрим два решения. Одно - произвольное решение y  x  сn 1 начальными условиями  x0 , y 0 , y 0 ,... y 0 . Справедливо соотношениеy x0  C1 y1 x0  C 2 y 2 x0  ...  C n y n x0y x0   C1 y1 x0   C2 y 2 x0   ...  Cn y n x0 ..........................................................................n1n1n1y n1 x0   C1 y1 x0   C2 y2 x0   ... Cn yn x0  , гдеn 1C1  y0 , C 2  y0 ...C n  y0 .Второе решение – это линейная комбинация решений y1 x , ...

y n x  с темиже коэффициентами y x   C1 y1 x   ...  C n y n x  .Вычисляя начальные условия в точке x 0 для решения y  x  , убеждаемся,что они совпадают с начальными условиями для решения y  x  .Следовательно, по теореме Коши, произвольное решение y  x представляется в виде линейной комбинации линейно независимыхрешений y1 x , ... y n x   yx   yx  .Таким, образом, существует n линейно независимых решений линейногооднородного дифференциального уравнения n-ого порядка, ипроизвольное решение линейно выражается через эти решения .

Поэтомуразмерностьпространстварешенийлинейногооднородногодифференциального уравнения n-ого порядка равна n. dim I  n  .Любые n линейно независимых решений линейного однородногодифференциального уравнения n-ого порядка представляют собой базиспространства решений или фундаментальную систему решений.Теорема о структуре общего решения однородного уравнения.Общее решение линейного однородного уравнения есть линейнаякомбинация решений фундаментальной системы.y oo x   C1 y1 x   ...  C n y n x  .Доказательство. Покажем, что линейная комбинация57y oo x   C1 y1 x   ...

 C n y n x  является общим решениям (удовлетворяетпунктам определения общего решения)1. y oo  x  - решение линейного однородного уравнения как линейнаякомбинация решений.n 12. Зададим произвольные начальные условия y 0 , y 0 , ...y 0, покажем,что можно подобрать константы C1 ,...C n такие, что y oo  x удовлетворяет этим начальным условиям.y oo x0   C1 y1 x0   ...  C n y n x0   y 0 .yoo x0   C1 y1 x0   ...  Cn y n x0   y0 .yoo x0   C1 y1 x0   ...  Cn y n x0   y0 ..........................................................................n1n1n1n1yoo x0   C1 y1 x0   ...

 Cn yn x0   y0 .Это – система линейных алгебраических уравнений относительноконстант C1 ,...C n . Определитель этой системы – определитель Вронского.Он не равен нулю, так как решения y1 x , ... y n x  линейно независимы.Поэтому константы C1 ,...C n определяются из этой системы по начальнымусловиям – правым частям системы единственным образом.Следовательно, y oo x   C1 y1 x   ...

 C n y n x  - общее решение.Замечание. Определитель Вронского (как всякий определитель)представляет собой ориентированный n – мерный объем, натянутый на векторырешений фундаментальной системы решений.Формула Остроградского – Лиувилля.Рассмотрим линейное однородное уравнениеa 0  x  y n   a1  x  y n 1  ...  a n 1  x  y   a n  x  y  0 .Определитель Вронского можно вычислить по формуле Остроградского –ЛиувилляW x   Cea x a10  x dx.Вывод формулы Остроградского – Лиувилля.Известна формула для производной определителяa11 x  a12 x  ... a1n x  a11 a12 ... a1n d a 21 x  a 22 x  ...

a 2 n x  a 21.........dx ......a n1 x  a n 2 x  ... a nn x  a n1a11aa 22 ... a 2 n ...  21.........a n1a n 2 ... a nna12 ... a1na 22...an2a2n....a nn58y1y 2 ...'dW x  d y1Вычислимdxdx ...y1n 1y1y 2 ...yny1'...y 2' ......y n'...y1n y 2n  ... y nn 0+...+0+y1y1'...y 2'...y 2n1yny1'y 2' ...y n'y n'...y1'y 2'y n'.........y1n 1y 2n1y nn1y nn1y1y1'............ ...+yny n'...aaa1 n 1ay1  ...  n y1 ...  1 y nn 1  ...  n y na0a0a0a0.........yny n'...a1 n 1ay1...  1 y nn 1a0a0a1W x  .a0a x  1 dxa x dW  x  1, W x   Ce a0  x  .W x a0 x Замечание.

В формуле Остроградского – Лиувилля участвуют толькокоэффициенты при двух старших производных.Рассмотрим частный случай уравнения второго порядка.a0 x  y   a1 x  y   a 2 x  y  0 . Здесь формулу Остроградского – Лиувилляможно вывести проще. Рассмотрим y1 x , y 2 x  - два частных решенияa 0 x  y1  a1 x  y1  a 2 x  y1  0 . , a0 x  y 2  a1 x  y 2  a 2 x  y 2  0 . Умножимпервое уравнение на y 2 , а второе на y1 и вычтем первое уравнение из второго.a0 x  y1 y 2  y 2 y1   a1 x  y1 y 2  y 2 y1   0 .y y2 y1 y 2'  y 2 y1' , то W x   y1' y 2'  y1 y 2''  y 2' y1'  y 2 y1''Так как W x   1'y1 y 2'= y1 y 2''  y 2 y1'' .Теперь уравнение можно переписать в виде a0 x W x   a1 x W x   0 .Решая это уравнение с разделяющимися переменными, получаем формулуОстроградского – Лиувилля W x   Cea x a10  x dxФормула для построения второго частного решения по известному(построение фундаментальной системы).W x  y1y2y1'y 2' y1 y  y 2 y  Ce'2'1a1  x  a0  x  dx.Разделим обе части уравнения на y12 x   059a1  x y1 y 2'  y 2 y1'  y 2 1   a0  x  dx.    C 2 ey1y12 y1 Отсюдаy2y1a1  x dx1 C 2 e a0  x  dx  C1 .