Краткий курс математического анализа в лекционном изложении, страница 8

Просто в методе подстановки с самого начала используется то, чторешение представляется в виде произведения двух функций независимойпеременной.Пример. y   xy  xy 2Решим это уравнение Бернулли методом вариации произвольнойпостоянной.y   xy  0,y   C e1 x221dy1  xdx, ln y   x 2  C,y2 Cxe1 x22, C e1 x22 Cxe1 x22y  Ce Cxe1 x2 x2dC122xe,e C1 , C x  CC21 x22x22, C  C x  , xC 2 e  x1C1  e1 x222,Уравнение в полных дифференциалах.Любое дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенноеотносительно старшей производной, можно записать в виде44Px, y dx  Qx, y dy  0 .Если выполнено соотношениеP Q, то уравнение называетсяy xуравнением в полных дифференциалах.Причину такого названия понять легко.

Пусть ux, y  - функция двухпеременных, дифференцируемая и имеющая непрерывные вторые частныеuu 2u 2udx dy,производные по своим переменным. Тогда du .xyxy yxuu, QЕсли обозначить P , то исходное уравнение можноxyзаписать в виде полного дифференциалаP Qкак раз и означаетdu  Px, y dx  Qx, y dy  0 , а соотношениеy x 2u 2u.xy yxПоэтому решить уравнение в полных дифференциалах – означает найтифункцию ux, y  (она называется потенциалом). Так как du  0 на решенияхдифференциального уравнения, то потенциал будет первым интеграломисходного дифференциального уравнения:u x, y   CДля решения уравнения в полных дифференциалах можно использоватьдва способа.u1) P  u x, y    Px, y dx  z1  y   C1 ,xuQ u  x, y    Q x, y dy + z 2 x   C 2 .yЗдесь интегрирование ведется «частным образом»: только попеременной x, считая y константой или только по y, считая x константой.Сравнивая оба выражения для ux, y  , находим функции z1  y , z 2 x  иконстанты.Если какой-либо из интегралов, например,  Px, y dx не берется или егоравенство смешанных производныхu u  x, y    Q x, y dy + z 2 x   C 2 .yЗатем, дифференцируя ux, y  частным образом по x, надо сравнить P  x, y u  x, y си определить функции z1  y , z 2 x  и константы.x2) Потенциал можно определять по формуле (она будет выведена изнезависимости криволинейного интеграла от пути интегрирования позже, в 3семестре)вычислить сложно, то можно найти Q xyx0y0.

ux, y    Px, y 0 dx   Qx, y dy .Пример. x  y dx  x  2 y dy  0 .Решим уравнение первым способом.45P   x  y  x  2 y  Q1, то это – уравнение в полныхyyxxдифференциалах.u1 P  x  y  u  x 2  xy  z1  y   C1 ,x2u Q  x  2 y  u  xy  y 2  z 2 x   C 2 .yСравниваяобаравенства,видим,что11z1  y   y 2 , z 2 x   x 2 , C1  C 2  C , поэтому u x, y   x 2  xy  y 2  C .221 2Соотношениеx  xy  y 2  C  0 - это первый интеграл заданного2дифференциального уравнения.Так какРешим уравнение вторым способом.yx1u x, y    xdx   x  2 y dy  x 2  xy  y 2  C .

Здесь принято x 0  y 0  0 .200Интегрирующий множитель.Можно поставить вопрос, нельзя ли любое дифференциальное уравнениепервого порядка свести к уравнению в полных дифференциалах?Оказывается, что существует такой интегрирующий множитель   x, y  ,умножая на который обе части любого дифференциального уравнения,удовлетворяющего условиям теоремы Коши, можно привести это уравнение куравнению в полных дифференциалах.Однако неясно, как в общем случае найти этот интегрирующиймножитель.

Ясно только, что он должен удовлетворять уравнению (   x, y P)  (  x, y Q).yx1  Q P   F1 x  (является функций только однойОказывается, еслиQ  x y 1  Q P   F2  y  (является функцийP  x y только одной переменной y), то     y  .переменной x), то    x  . ЕслиПример. x  y 2 dx  2 xydy  0 .Покажите, что здесь выполняется первое условие и   x  Найдите потенциал, покажите, что он равен u  x, y   1.x2y2 ln x  C .xЛекция 13. Геометрическая интерпретация дифференциальных46уравнений 1 порядка, изоклины.

Особые точки и особыерешения.Рассмотрим интегральные кривые дифференциального уравнения 1порядка y   f x, y  . В любой точке плоскости OXY правая частьдифференциального уравнения известна, ее можно вычислить. Поэтому в любойточке плоскости известна и левая часть. Левая часть, исходя из геометрическогосмысла производной, задает тангенс угла наклона касательной к интегральнойкривой.Следовательно, в любой точке плоскости можно определить угол наклона(к оси OX) касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку, т.е.определить направление вектора касательной к интегральной кривой.Если в некоторой области плоскости задана вектор-функция, то говорят,что она задает в этой области векторное поле.Поэтому геометрический смысл дифференциального уравнения первогопорядка состоит в том, что оно задает в области определения G (x, y) функцииf(x, y) векторное поле направлений векторов касательных к интегральнымкривым.

Если интерпретировать дифференциальное уравнение механически, какскорость f(x, y) движения точки по траектории – интегральной кривой, тодифференциальное уравнение задает поле скоростей.Изоклинами называются кривые в плоскости OXY, в каждой точкекоторой угол  наклона к оси OX касательной к интегральной кривой один итот же tg  k  . Уравнение изоклины: f x, y   k .Строя изоклины как можно чаще, можно достаточно точно построитьинтегральные кривые, нанося на каждой изоклине соответствующее ейнаправление вектора касательной к интегральной кривой..xПример. y   yxУравнение изоклины   kyУравнение изоклиныk00x=0 (ось OY)1y=-x4-1y=x4y = 0 (ось OX)2Можно предположить, что уравнение интегральной кривой x 2  y 2  R 2dyx  ).(это легко проверить: 2 xdx  2 ydy  0, y  dxyТаким образом, интегральные кривые – окружности с центром в началекоординат.47Понятие об особых точках и особых решениях дифференциальногоуравнения первого порядка.Точка (x, y) называется не особой точкой дифференциального уравненияпервого порядка y   f x, y  , если существует ее окрестность, что через каждуюточку этой окрестности проходит единственная интегральная кривая.Все прочие точки называются особыми точками дифференциальногоуравнения первого порядка y   f x, y  .Особым решением называется решение, все точки (x, y) которого –особые.2Пример.

y   3y 3Решая это уравнение с разделяющимися переменными, получим общее3решение y   x  C  и решение, не принадлежащее этому семейству –тривиальное решение y  0 .Каждая точка оси OX – особая, так как через нее проходят как3тривиальное решение, так и частное решение из семейства y   x  C  .y  0 - особое решение.Пример. y  y1x  C 2 , x  C (иначе4y   0 ). Кроме того, y  0 - тоже решение. y  0 - особое решение.Заметим, что на особом решении не выполняются условия теоремы Коши,гарантирующие единственность.

В самом деле, в том и другом примерахf x, y терпят разрыв при y  0 .yЗаметим, что y Уравненияпроизводной.y  0 . Общее решение y первогопорядка,неразрешенныеотносительноРассмотрим два типа уравнений 1) y  f x, y , 2) x  f  y, y  .Метод введения параметра.Обозначим p  y , dy  pdx.fpdy f f dpdpx .pВ случае 1) y  f x, p  ,fdx x p dx,dxpНайдем решение p   x, C  , подставим в y  f x, p  ,получим y  f x,  x, C  - общее решение.1 f1 dx f f dp dp p y,.В случае 2) x  f  y, p ,fp dy y p dydypНайдем решение p    y, C  , подставим в x  f  y, p  ,получим x  f  y,   y, C  - общее решение.48Уравнение Лагранжа.Дифференцируем:y  x  p     p p    p   x  p     p dpdx, dpx  p     p   pdx    p dx,dx1x  p     p  - линейное уравнение.dp p    p Отыскиваем x  x p  и, подставляя в уравнение Лагранжа, находимy  x p   p     p  .Пример.

y  xy  4 y ,p pxdp2 dpdxp dx,y  xp  4 p - уравнение Лагранжа.2p dp  2 x ,dx  pdx1x- линейное уравнение по x .dp p p 2 pРешаем его методом подстановкиuv11x  uv, u v  uv  , u, v  ln p  С ,2p p ppx  uv 1pln p  C ,yp 4  ln p  C .Уравнение Клеро. y  xp    p  .Уравнение Лагранжа превращается в уравнение Клеро, если в уравненииЛагранжа положить   p   p .Дифференцируем обе части:dp d  p  dp dp d  p   x   0.p  px,dxdp dx dx dp dp1) 0  p  C , y  Cx   C  - общее решение.dxd  p    p  . Подставляя в уравнение, получим особое2) x  dp y   p  p     p решение  x    p Пример. y  xy    y p  p  xp   2 pp , p x  2 p   0.1) p   0  p  C  y  xC  C 2 - общее решениеx  2 px2 x2 x2y2) - особое решение.2244 y  xp  p249Лекция 14.

Дифференциальные уравнения высших порядков.Дифференциальное уравнение n – ого порядка в общем виде записываетсятак:F x, y, y ,... y n   0 .Дифференциальное уравнение n – ого порядка в виде, разрешенномотносительно старшей производной, выглядит так:y n   f x, y, y ... y n 1 .Решением дифференциального уравнения n – ого порядка называетсяфункция y  x  , обращающая его в тождество.Общим решением дифференциального уравнения n – ого порядканазывается функция y   x, C1 ,...C n  такая, что1) при любом наборе констант C1 ...C n эта функция является решением,2) для любого набора начальных условий из области существованиярешения x 0 , y 0 , y 0 ,... y 0n 1   G найдется набор констант C1 ...C n , прикотором функция y   x, C1 ,...C n  удовлетворяет заданным начальнымусловиям, т.е.

y  x0   y 0 , y  x0   y 0 , ... y n   x0   y 0n 1 .Заметим, что общее решение дифференциального уравнения n – огопорядка зависит ровно от n констант.Частным решением дифференциального уравнения n – ого порядканазывается какое-либо из решений, входящих в общее решение (приконкретном выборе констант).Общим интегралом дифференциального уравнения n – ого порядканазывается функция Фx, y, C1 ,...C n  , сохраняющая свои значения на решенияхдифференциального уравнения.Интегральной кривой называется график частного решения.Общее решение представляет собой совокупность интегральных кривых.Обычно рассматривается одна из трех задач:1) Найти общее решение дифференциального уравнения n – ого порядка,2) Задача Коши – найти частное решение дифференциального уравненияn – ого порядка, удовлетворяющее заданным начальным условиям,3) Краевая задача – найти частное решение, удовлетворяющее заданнымначальным условиям, одна часть которых задана в точке x 0 , а другаячасть в точке x1 .Теорема Коши (существования и единственности решения задачи Кошидля дифференциального уравнения n – ого порядка y n   f x, y, y ...

y n 1  ).Пусть функция f x, y, y ... y n 1  и ее частные производные по переменнымy, y , ... y n 1 определены и непрерывны в некоторой области G x, y, y ,... y n 1  .Тогда для любой внутренней точки x0 , y 0 , ,y 0 ,... y 0n 1   G существуетединственное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее этимначальным условиям, т.е. y  x0   y 0 , y  x0   y 0 , ... y n 1  x0   y 0n 1(через любую внутреннююединственная интегральная кривая).точкуx , y , ,y  ,... y    G000n 10проходит50Пример.