Краткий курс математического анализа в лекционном изложении, страница 4

величины I,удовлетворяющей соотношению I A  B  I  A  I B, где А, В – отрезки осиOX (в общем случае определенного интеграла по некоторому множеству А, В –некоторые множества). В качестве таких величин можно выбрать длину отрезка,19длину кривой, площадь поверхности, объем пространственного тела, массууказанных множеств и т.д.Свойства определенного интеграла.1.

Свойства линейностиа) суперпозиции   f x   g x dx   f x dx   g x dx ,б) однородности   f x dx    f x dxВообще говоря, свойствами линейности обладают все линейные операции(дифференцирование, интегрирование, проектирование и т.д.)2. Свойство аддитивности (по множеству)bacbacf x dx   f x dx   f x dxДоказательство.

Пусть c  a, b . Выберем разбиение так, чтобы точка сбыла границей элемента разбиения (c  x k 1 ) . Это возможно (следствие).Составим интегральную суммуnkn f  x   f  x   f  xi 1iiii 1ii  k 1i. Будемiизмельчать разбиение, сохраняя точку с границей элемента разбиения. Этовозможно (следствие). Тогда предел при max xi  0 левой части равенстваbинтегральных сумм равенf  x dx , первого слагаемого правой частиac f x dx ,abвторого слагаемого правой части f x dx .c3.baab f x dx   f x dx (свойство «ориентируемости» множества).Составляя интегральную сумму для интеграла в правой части равенства,заметим, что элемент разбиения надо проходить в другом направлении, отконца отрезка к началу. Поэтому для этого интеграла интегральная сумма будетni 1f  i (xi )  -получимn f  x .

Переходя к пределу при измельчении разбиения,ii 1baabi f x dx   f x dx .a4. f x dx  0 . Это постулируется, но, вообще говоря, это и очевидно.ab5. c dx  b  a .ab cdx  c limmax xi 0x1  x2  ...  xn   c lim max x 0 x1  x0  x2  x1  x3  x2  ...xn  ia20cx n  x0   cb  a  .bf  x   0 , то  f x dx  0 .6. Если на отрезкеanТак как f  x   0 на отрезке, то i f  i   0,   f  i xi  0 . Переходя кi 1bпределу, получим f x dx  0 .a7.

Если на отрезке f x   g x  , тоbaТакbf x dx   g x dx .af x   g x какnni 1i 1наотрезке,тоi f  i   g  i ,   f  i xi   g  i xi . Переходя к пределу, получимbb f xdx   g xdx .aab8.abf x dx   f x  dxabbbaaa f x   f x   f x    f x  dx   f x dx   f x  dx 9.bbaababf x dx   f x  dx .a f z dz   f xdx (переменная интегрирования – «немая» переменная,ее можно изменить, она не несет в себе самостоятельного смысла)Определенный интеграл является функцией своих пределов, прификсированных пределах интегрирования это – число.

Он определен своимипределами. Поэтому он и называется определенным.Теорема об оценке определенного интеграла.Пусть на отрезке a, b m  f x   M и функция f x  интегрируема наотрезке. Тогдаbmb  a    f x dx  M b  a aДоказательство. Интегрируя по свойству 7 неравенство m  f x   M , с учетомсвойства 5 получаем требуемое утверждение.Теорема об оценке полезна, когда интеграл вычислить трудно или вообщеневозможно, но приблизительно оценить его необходимо. Это часто встречаетсяв инженерной практике.2221Пример.

 e  x dx . Такой интеграл «не берется». Но 4  e x  1 наe2отрезке  2, 2. Поэтому, учитывая четность подинтегральной функции,21224 0,16   e  x dx  4 . Конечно, это – очень грубая оценка, более4e2точную оценку можно получить, применяя методы численного интегрирования.получимТеорема о среднем значении определенного интеграла («теорема осреднем»).Пусть функция f x  непрерывна на отрезке a, b .

Тогда существуетbc  a, b , что f c   f x dxba f xdx  f c b  a  ).baГеометрически, смысл этого соотношения состоит в том, что площадькриволинейной трапеции равна площади прямоугольника с тем же основаниеми высотой f c  .Доказательство. По второй теореме Вейерштрасса функция, непрерывнаяна отрезке, достигает на нем своей верхней M  supa,b  f  x  и нижнейa(илиbm  inf a,b  f  x  грани. По теореме об оценке mb  a    f x dx  M b  a  ,aоткуда, деля на b  a , получимbm f x dx M . По второй теореме Больцано – Коши функция,baнепрерывная на отрезке, принимает на нем все промежуточные значениямежду m и M.

В частности, существует и такая точка c  a, b , в которойabфункция принимает свое промежуточное значение f x dxabab, т.е. f c   f x dxabaЛекция 6. Формула Ньютона – Лейбница.Интеграл с переменным верхним пределом.Определенный интеграл представляет собой функцию пределовинтегрирования. Это ясно даже из геометрической интерпретации интеграла какплощади криволинейной трапеции.

Изменяя пределы интегрирования, мыизменяем основание трапеции, изменяя тем самым ее площадь.Рассмотрим интеграл как функцию верхнего предела интегрирования –xинтеграл с переменным верхним пределом J x    f x dx . Переменнаяaинтегрирования по свойству 9 определенного интеграла – «немая переменная»,ее можно заменить z или t или как- либо еще. Никакого отношения к верхнемупределу интегрирования она не имеет.Теорема о производной интеграла по переменному верхнему пределу(основная теорема математического анализа)22Пусть функция f x  непрерывна на отрезке a, b , пусть x  a, b. ТогдаJ x   f x  .Доказательство.x  xx  xxx f x dxJ  x  x   J x 1 J  x   lim x 0 lim x0f x dx   f x dx   lim x0xx  axaf c x  x  x lim x0 lim x0 f c   f x  .xПри доказательстве мы воспользовались теоремой о среднемx  x  f x dx  f c (x  x   x), c  x, x  x  инепрерывностьюфункции xlim x0 f c   f x  .Формула Ньютона – Лейбница.Пусть функцияf x  непрерывна на отрезкепервообразная функции f x  .

Тогдаa, b,F x  - некотораяb f x dx  F b  F a  .aДоказательство. Из теоремы о производной интеграла по переменномуверхнему пределу следует, что J x   f x  , т.е. J x  - первообразная дляфункции f x  . По теоремам о первообразных две первообразных отличаютсяна константу т.е. J x   F x   C. Но J a   0 (свойство 4 определенногоF a   C  0  C   F a  .интеграла),поэтомуТогдаbJ b    f x dx F b   C  F b   F a  .

Следовательно,ab f x dx  F b  F a  .aФормула Ньютона – Лейбница - это одна из немногих формул - связок,связывающих различные разделы математики воедино. Если бы не былоформулы Ньютона – Лейбница, то неопределенные интегралы не нашли быприложения, а определенные интегралы нельзя было бы вычислитьаналитически. Именно эта формула делает интегральное исчислениеважнейшим инструментом исследования процессов. Любой процессописывается дифференциальными или интегральными уравнениями, а онирешаются в интегралах.Мы встречались с такими формулами или теоремами – связками.Например, теорема о связи функции, ее предела и бесконечно малой связываетбесконечно малые и пределы.

Теорема Ферма и ее следствия – теоремы осредних значениях связывают дифференциальное исчисление и теориюэкстремума. В дальнейшем мы тоже будем встречаться с теоремами – связками,они всегда играют фундаментальную роль, например теоремы Остроградского –Гаусса и Стокса в векторном анализе.Методы вычисления определенного интеграла.23Методы вычисления остаются теми же, что и методы вычислениянеопределенного интеграла, но разница есть.

В неопределенном интеграле,делая замену переменной, надо затем возвратиться к исходной функции, вопределенном интеграле этого делать не нужно, при замене пересчитываются ипределы интегрирования для новой переменной. Определенный интеграл припостоянных пределах интегрирования – число и все равно, в каких переменныхсчитать это число. Но требование взаимной однозначности функции – замены ив определенном интеграле сохраняется, просто оно маскируется условиямитеоремы о замены переменной.Метод замены переменной.Пусть1) x   t ,  t  непрерывны при t   ,   ,2) значения x   t  , t   ,   не выходят за границы a, b ,3)     a,     b ,bТогда f xdx  f  t  t dtaДоказательство.bf  t  t dt   f  t d t   F     F     F b   F a    f x dx .2Пример xeax2041 t1e dt  e 4  1 .202dx t  x, dt  2 xdxНайдите ошибки2Упражнение.в применении теоремы о заменепеременной.011dxd tgxdt   dx   2dx arctgt |00  022222sinxcosx1tgxcosx1tgx1t00000t  tgxМетод интегрирования по частям.Пусть функции u x , u x , vx , v x  непрерывны на a, b .

Тогдаbbaab uxvxdx  ux vx |a  vxu xdxДоказательство остается тем же, что для неопределенного интеграла,только интегрирование проводится в пределах от a до b.Интегрирование четных и нечетныхсимметричном относительно начала координат.a0aaa0 f x dx   f x dx   f x dx функцийнаотрезке,0aaaa000  f  t dt   f x dx   f  x dx   f x dx t   x, dx  dt 24 b2  f  x dx,fxfxdx aa0,f  x   четнаяb f  x   f x  , так какf  x   нечетнаяf x   f x   2 f x , f x   четная.f x   нечетная f x   f x   0,Интегрирование периодических функций на отрезке длины, кратнойпериоду.Два свойства периодических функций.f x  - периодическая функция с периодом T, тоTпериодическая функция с периодом .1) Еслиf x  - T Доказательство.

f   x     f x  T   f x  .  xПоэтому период sin 2x равен  , период cos равен 8 и т.д.42) Если f x  - периодическая функция с периодом T, тоa TTa0 f x dx   f xdxДоказательство.a TTa TaaT f x dx   f xdx   f x dx TaTa00  f x dx   f  y dy    f x dxy  x  T x  y Поэтому интеграл от периодической функции на отрезке, длиной равнойпериоду, можно вычислять на любом таком отрезке, результат будет тем жесамым.Заметим,что2200 sin x dx  0,2 40 cos x dx  0 .Поэтому,например, sin x dx  0,  sin 4 x dx  0,  cos8x dx  0 .Когда встречаются интегралы от синусов и косинусов на отрезке длины,кратной периоду, то такие интегралы вычислять не стоит, они равны нулю.Лекции 7, 8 Несобственные интегралы.Мы строили определенный интеграл по отрезку a, b, где a, b - конечныечисла, т.е.

по конечному промежутку числовой оси.Кроме того, предполагалось, что подинтегральная функция непрерывна наотрезке или имеет на нем конечное число точек разрыва первого рода.25Если снимается хотя бы одно из этих условий, то понятие интеграла надообобщать, вводя в прежней конструкции интеграла предельный переход иполучая так называемые несобственные интегралы. Если снимается первоеусловие, то мы имеем несобственный интеграл первого рода, если снимаетсявторое условие, то мы имеем несобственный интеграл второго рода.Несобственные интегралы от непрерывной функции по бесконечномупромежутку (первого рода).Пусть отрезок a, b числовой оси неограничен.