Краткий курс математического анализа в лекционном изложении, страница 9

Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядкаy   f x,y,y  . Областьсуществования и единственности решения3G  R x,y,y  заполнена непересекающимися интегральными кривыми. Черезлюбую точку  x0 , y 0 , , y 0   G проходит единственная интегральная кривая.Однако через «точку»  x0 , y 0   R 2  x, y  проходит бесконечно многоинтегральных кривых, все они различаются значениями y 0 . Заметим, что вR 3  x, y , y  «точка»  x0 , y 0   R 2  x, y  представляет собой прямую x  x0 , y  y 0 .Понижение порядка дифференциальных уравнений.Мы умеем аналитически решать всего пять типов дифференциальныхуравнений первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные,линейные, Бернулли, в полных дифференциалах.

Причем однородные,линейные и Бернулли тоже сводятся к уравнениям с разделяющимисяпеременными.Даже решить уравнение второго порядка, не говоря уж об уравнении n-гопорядка – проблема. Поэтому стараются понизить порядок дифференциальногоуравнения, если это возможно, чтобы свести его к известным типам уравненийпервого порядка.Если правая часть дифференциального уравнения n-го порядка зависиттолько от x, то интегрируя его n раз, можно получить решение.y n   f x , y n1   f x dx  Cn1 , y n2     f x dxdx  Cn1 x  Cn2,...x n 1x n2 C n2 ...

 C1 x  C 0 .n  1!n  2!Но это – очевидный случай. Рассмотрим менее очевидные случаи.y  x    ...  f  x dx...dx  C n 1Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.1) Уравнение не содержит явно y , его вид F x,y , y   0 илиy   f x,y  .Здесь применяется подстановка y   px , y   p x  - вводится новаяфункция y   px  старой переменной. Уравнение сводится к уравнениюпервого порядка p   f x, p  .Пример. Найти общее решение уравнения y x ln x  y  и его частноерешение, удовлетворяющее начальным условиям ye  0, y e   1 .dpdxp x ln x  p,, p  C1 ln x, y   C1 ln x, y  C1 x ln x  x   C 2p x ln xобщеерешение.Найдемчастноерешение.y e  C1 ln e  C1  1, ye  e ln e  e  C 2  e  e  C 2  C 2  0 .Частноерешение y  x ln x  x .2) Уравнение не содержит явно x , его вид F  y,y , y   0 илиy   f  y,y  .51dp dp dy p  y  p y  dx dy dxвводится новая функция y   p y  новой переменной.

Уравнение сводится куравнению первого порядка pp   f  y, p  .Здесь применяется подстановка y   p y , y  Пример. Найти общее решение уравнения yy    y   0 и его частноерешение, удовлетворяющее начальным условиям y1  y 1  1 .ypp   p 2  0CЛибо p  0  y  C - решение, либо yp   p  0, ydp   pdy, p  1 ,y2y2 C1 x  C 2 - общее решение.2Найдемчастное2y11y 1  C1  1, y 1  1  1  C2   C2  ,2222y  2 x  1 - частное решение.ydy  C1 dx,решение.2) Однородное уравнение относительно y,y ,y  .Уравнение называется однородным относительно y,y ,y  , если при заменеy  ky, y   ky , y   ky  уравнение не изменится.Здесь применяется подстановка y   yz  x .Пример.

Найти общее решение уравнения xyy   x y   yy y   yz, y   y z  z y  yz 2  z y, xy  yz 2  yz   xy 2 z 2  y 2 z,dz dxxy 2 z   y 2 z, y  0 - решение. xz   z, , z  C1 x, y   yC1 x ,zx1 2C1 xdy C1 x, y  C2 e 2 - общее решение.y23) Уравнения, обе части которых являются полными производнымикаких-либо функций.Пример. yy    y  .2Запишем уравнение в видеy  y  ,yyln y   ln y  ,ln y   ln y  C ,dy C1 dx, ln y  C1 x  C 2 , y  C 3 e C1x .yСуществуют еще несколько случаев, которые встречаются реже и здесь нерассматриваются.y   C1 y,52Лекции 15–16. Линейные дифференциальные уравнения n –огопорядка с переменными коэффициентами.Линейное однородное дифференциальное уравнение n –ого порядка спеременными коэффициентами может быть записано в видеa 0  x  y n   a1  x  y n 1  ...  a n 1  x  y   a n  x  y  0Линейное неоднородное дифференциальное уравнение n –ого порядка спеременными коэффициентами может быть записано в видеa 0 x  y n   a1 x  y n 1  ...

 a n 1  x  y   a n  x  y  f x  .Если коэффициенты и правая часть – непрерывные функции и a 0  x   0 ,то условия теоремы Коши выполнены, решения однородного и неоднородногоуравнений существуют и единственны.Введем линейный дифференциальный операторdnd n 1dLn  p, x   a0 x  n  a1 x  n 1  ...

 a n 1 x   a n x   a0 x  p n  ...a n 1 x  p  a n x dxdxdxdЗдесь p обозначает оператор дифференцирования.dxТогда линейное однородное уравнение можно записать в виде Ln  p, x  y  0 , алинейное неоднородное – в виде Ln  p, x  y  f  x .Так как Ln  p, x  линеен, тоLn  p, x  y1  y 2   Ln  p, x  y1  Ln  p, x  y 2 , Ln  p, x y   Ln  p, x  y .Пользуясь линейностью оператора, легко доказать теоремы о свойствахрешений однородного и неоднородного уравнений (ниже обозначено y o решение однородного уравнения, y н - решение неоднородного уравнения).Теоремы о свойствах решений.1) сумма или разность решений однородного уравнения есть решениеоднородного уравнения,2) разность решений неоднородного уравнения есть решениеоднородного уравнения,3) сумма решений однородного и неоднородного уравнений есть решениенеоднородного уравнения.Докажем эти теоремы.1) L y o1  y o 2   Ly o1  Ly o 2  02) L y н1  y н 2   Ly н1  Ly н 2  f x   f x   03) L y o  y н   Ly o  Ly н  0  f x   f x  .Теорема.

Решения линейного однородного уравнения с переменнымикоэффициентами образуют линейное пространство.Доказательство. Так как сумма любых двух решений однородногоуравнения и произведение любого решения на число вновь есть решенияоднородного уравнения, то операции сложения и умножения на число намножестве решений определены корректно (не выводят за множество решений).Решения образуют аддитивную группу по сложению (абелев модуль). Всамом деле, ассоциативность по сложению очевидна, y  0 (тривиальноерешение) является решением однородного уравнения, для каждого решения53y  x  противоположное решение  yx  тоже является решением.Следовательно, решения однородного уравнения – группа по сложению.Аддитивность решений очевидна, поэтому эта группа аддитивна.Справедливость четырех аксиом из восьми показана. Существует число «1»,такое что 1  yx  - решение, справедлива ассоциативность по умножению начисло  y     y  .

Это – две аксиомы относительно операции умножения начисло. Наконец, справедливы две аксиомы дистрибутивности, связывающиеоперациисложенияиумноженияначисло  y1  y 2   y1  y 2 ,     y  y  y .Итак, налицо полный набор из восьми аксиом. Продумайте их еще разподробнее дома.Линейная зависимость и независимость.Функции g1 x , g 2 x , ... g n  x  называются линейно независимыми, если1 g1 x   ... n g n x   0  1  0,...  n  0 (допустима только тривиальнаялинейная комбинация функций, тождественно равная нулю). В отличие отлинейной независимости векторов здесь тождество линейной комбинациинулю, а не равенство.

Это и понятно, так как равенство линейной комбинациинулю должно быть выполнено при любом значении аргумента.Функции g1 x , g 2 x , ... g n  x  называются линейно зависимыми, еслисуществует не нулевой набор констант (не все константы равны нулю) 1 ,...  n ,такой что 1 g1 x  ...n g n x  0 (1  ...n  0) (существует нетривиальнаялинейная комбинация функций, тождественно равная нулю).22Теорема. Для того чтобы функции были линейно зависимы, необходимо идостаточно, чтобы какая-либо из них линейно выражалась через остальные(представлялась в виде их линейной комбинации).Докажите эту теорему самостоятельно, она доказывается так же, каканалогичная ей теорема о линейной зависимости векторов.Определитель Вронского.Определитель Вронского для функций y1 , y 2 ,...

y n вводится какопределитель, столбцами которого являются производные этих функций отнулевого (сами функции) до n-1 го порядка.y1y 2 ... y ny1'W x  ...y1n 1y 2' ......y n'...y 2n 1y nn1.Теорема. Если функции y1 x , y 2 x , ... y n x  линейно зависимы, то W x   0Доказательство. Так как функции y1 x , y 2 x , ... y n x  линейно зависимы,то какая-либо из них линейно выражается через остальные, например,y1 x    2 y 2 x   ... n y n x  .