lecture_06 (Лекции по математическому анализу)

Математический анализ,семестр 2, лекция 6стр. 1 из 44. Длина дуги кривой.Пространственная кривая L задается векторной функцией r (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )k илитремя скалярными уравнениями: x(t ), y (t ), z (t ), t ∈ [t1 , t2 ] . Если эти три функциинепрерывны на [t1 , t2 ] , то кривая L называется непрерывной. Если, кроме того, функцииобладают непрерывными производными на [t1 , t2 ] , то кривая L называется гладкой.Рассмотрим гладкую кривую L, заданную параметрически: x = x(t ) , где t ∈ [t1 , t2 ] и значению t1 отвечает точка А – начало кривой L, а t2 – точка B – y = y (t ) конец кривой L. z = z (t )Разобьем кривую L на n частей точками M 0 = A, M 1 ,..., M n = B , точки M i последовательносоединим ломанной, которая будет вписана в кривую L. Длиной кривой L назовемпредел периметра вписанной ломанной при неограниченном измельчении ее звеньев, асаму кривую L – спрямляемой.

Вычислим периметр ломанной M 0 , M 1 ,..., M n ; если каждойточке деления M i отвечает значение параметра ti , то длина звена ломанной M i M i +1определяется по теореме ПифагораM i M i +1 = △ xi2 +△ yi2 +△ zi2 , где△ xi = x(tin ) − x(ti ) = x′(ti′)△t ,△ yi = y (tin ) − y (ti ) = y ′(ti′′)△t , а △ti = ti +1 − ti△ xi = z (tin ) − z (ti ) = z ′(ti′′′)△t ,тогда длина ломанной будет равнаn −1∑MMii +1i =0При измельчении ломанной, т.е. при n → ∞ и △ti → 0 получим, что длина кривой L равнаL = lim ∑ M i M i +1 = lim ∑ △ x 2 +△ y 2 +△ z 2 = ( по т.Лагранжа ) =n →∞n →∞ii(6)t2= lim ∑ x′ (ti′) + y ′ (ti′′) + z ′ (ti′′′) △ti = ∫ xt′ (t ) + yt′ (t ) + zt′ (t ) dt.2n →∞222i22t1В частном случае плоской кривой в формуле (6) будет лишь отсутствовать третьякоордината.Пример.Вычислить длину дуги астроиды3 x = a cos tt ∈ [0, 2π ]3 y = a sin tπ 2L=4∫0π 2a 2 9 cos 4 t sin 2 t + a 2 9 sin 4 t cos 2 tdt = 12a ∫ sin t cos tdt = 6a sin 2 tπ 20= 6a .0В случае если дуга плоской кривой задана явно: y = f ( x), x ∈ [a, b] , то длина звенавписанной ломанной определяется:2 △yi 222M i M i +1 = △xi + △yi = 1 +  △xi = ( по т.Лагранжа ) = 1 + [ f ′(ξ i )] △xi , ξi ∈ xi △xi b2′Тогда L = lim ∑ M i M i +1 = lim ∑ 1 + [ f (ξi ) ] △ xi = ∫ 1 + f ′2 ( x)dxn →∞in →∞ia(7)Математический анализ,семестр 2, лекция 6стр.

2 из 4Пример:Вычислить длину дуги полукубической параболы y = x 3 2 от точки А(0, 0) до точки В(4, 8)y′ =3 129x ; 1 + y ′2 = 1 + x24349x1 + dx =4L=∫044  9x 2 21 + 94  3=0()810 10 − 127Если дуга плоской кривой задана в полярных координатах ρ = ρ (ϕ ), α ≤ ϕ ≤ β , то,переходя к декартовым координатам, получим: x(ϕ ) = ρ (ϕ )cos ϕи подкоренное выражение в формуле (6) принимает вид: y (ϕ ) = ρ (ϕ )sin ϕxϕ′2 + yϕ′2 = ( ρ ′ cos ϕ − ρ sin ϕ ) + ( ρ ′ sin ϕ − ρ cos ϕ ) = ρ ′2 cos 2 ϕ + ρ 2 sin 2 ϕ + ρ ′2 sin 2 ϕ + ρ 2 cos 2 ϕ = ρ 2 + ρ ′222и формула длины дуги приобретает вид:βL = ∫ ρ 2 + ρ ′2 d ϕ(8)αПример:Кардиоида ρ (ϕ ) = a(1 + cos ϕ )ρ 2 = a 2 (1 + 2 cos ϕ + cos 2 ϕ ) ; ρ ′2 = a 2 sin 2 ϕπL = 2∫ 2a cos0ϕ2dϕ = 8a sinϕ2π0= 8aЗамечание: Рассмотрим дугу переменной длиныtL=AM = ∫ xt′2 + yt′2 + zt′2 dt , тогдаt1dL= xt′2 + yt′2 + zt′2 илиdtdL = xt′2 + yt′2 + zt′2 dt 2dL = 1 + f ′ ( x)dx(9)dL = ρ 2 (ϕ ) + ρ ′2 (ϕ )dϕ Выражение dL ,определяемое одной из функций (9) называется дифференциаломдуги.5.

Объем тела по известной площади поперечного сечения.Пусть пространственное тело заключено междудвумя плоскостями x = a и x = b и в каждой точкеx ∈ [ a , b]известна площадьg ( x)сечения телаплоскостью первой оси OX . Предположим, чтофункция S ( x) непрерывна по х. Вычислим объем этоготела. Разобьем отрезок [a, b] на n частей △ xi и черезточки деления проведем плоскости x = xi . Получимслои с известными площадями оснований и высотами,△ xi .Объем каждого из слоев △Viравнымиприближенно можно считать равным объемуцилиндрического слоя:Математический анализ,семестр 2, лекция 6стр. 3 из 4△Vi ≈ S ( xi )△ xiТогдаобъемвсеготелаV = ∑ Vi ≈ ∑ S ( xi )△ xiiэтоинтегральнаясуммаприib = max ( △ xi ) → 0 и n → 0 приведет к интегралуbV = ∫ S ( x) dx(10)a6.

Объем тела вращения.В частном случае, когда исследуемое тело является телом вращения, площадькаждого поперечного сечения есть круг. И если поверхность тела образована вращениемдуги кривой y = f ( x), x ∈ [a, b] , то S ( x) = π f 2 ( x) и формула (10) примет вид:bV = π ∫ f 2 ( x)dx(11)aПримеры:1.

Найти объем, полученный от вращения синусоиды y = sin x, x ∈ [0, π ] вокруг оси OX .πV = π ∫ sin 2 xdx =0π22.x2 y 2 z 2++= 1.a 2 b2 c2Площадь эллипса = π ab . Вычислим площадь сечения эллипсоидаплоскостью x = const , т.е. площадь эллипса с полуосями bx и cx .2. Найти объем эллипсоидаПолагая z = 0 и x = const , получим: bx = b 1 −Полагая y = 0 и x = const , найдем cx = c 1 − x3Площадь сечения S ( x) = π bx cx = π bc  1 − 2 aa x2 x3 V = 2∫ π bc  1 − 2  dx = 2π bc  x − 2 3a  a 0ax2.a2x2.a2 , тогда= 4π abc .07. Площадь поверхности вращения.Дугазаданная непрерывной с непрерывнойпроизводнойфункциейy = f ( x), x ∈ [a, b] ,вращается,например, вокруг оси OX . Требуется определить площадьполученной поверхности вращения. Разобьем [a, b] на nчастей, получим отрезки △ xi , в точках деления восстановимперпендикуляры до пересечения с дугой.

Точки пересеченияM i соединим ломанной. Звено ломанной при вращенииописывает поверхность усеченного конуса с площадьюAB ,S=p+Pl , где2p, P- периметры окружностей, l - длинаобразующей. В данном случае2π ( yi + yi +1 )2π ( yi + yi +1 )22Si =2△ xi +△ yi =21 + f ′2 (ξ i ) △ xi ; выражениефункции f ( x) в некоторой точке ξi ∈△ xi , тогдаyi + yi +1есть значение2Математический анализ,семестр 2, лекция 6стр.

4 из 4( )Si = 2π f (ξi ) 1 + f ′2 ξi △ xiЗа площадь поверхности вращения примем предел этой интегральной суммы приd = max(△ xi ) → 0, n → ∞ :ibS = 2π ∫ y 1 + y ′2 dx или(12)at2S = 2π ∫ y (t ) xt′2 + yt′2 dt .t1Пример:Вычислить площадь шарового пояса, полученного при вращении вокруг оси OXокрестности x 2 + y 2 = 4 , лежащей между точками с абсциссами x = −1 и x = 1y = 4 − x2 ; y′ =−x4 − x2+1S = 2π ∫ 4 − x 2 1 +−1;x2dx = 8π .4 − x2дуги.