lecture_05 (Лекции по математическому анализу)
Описание файла
Файл "lecture_05" внутри архива находится в папке "Лекции по математическому анализу". PDF-файл из архива "Лекции по математическому анализу", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "математический анализ" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Математический анализ,семестр 2, лекция 5*стр. 1 из 67. Замена переменной в определенном интеграле.a∫b x = ϕ (t ) t1 dx = ϕ '(t )dt t1*f ( x)dx = = ∫ f (ϕ (t )) ⋅ ϕ '(t )dt = ∫ f (t )dt , где f * ( x) = f (j (t ))Чj '(t ) .(t)aϕ=1t2 t2 ϕ (t2 ) = b a∫0Пример:x = a sin t ππ=dxacostdt2 2 2a22222sincosa − x dx = =a−at⋅atdt=a 2 ⋅ cos 2 tdt =x=0⇒t =0 ∫∫20 0π x = a ⇒ sin t = 1 ⇒ t = 2 a2=2π2∫0a2dt +2π2∫ cos 2tdt =0π2∫ (1 + cos 2t )dt =0a 2 π a 2 sin 2t π a 2⋅ + ⋅=2 2 224= 0, т.к . sin π = 08. Формулы интегрирования по частям в определенноминтеграле.Теорема.b∫ u ( x)dv( x) = u ( x)v( x)bbaa− ∫ v( x)du ( x)aДоказательство:Т.к. ( uv ) ' = u ' v + uv ' , т.е.
функция u ⋅ v является первообразной для u ' v + uv ' . Такимобразом,b∫ ( u ' v + uv ') dx = uvba= u (b)v(b) − u (a )v(a)abb' dx + ∫ u v' dx = uv∫ v ua= duba= dvaПример:22212 − ∫ x dx = 2 ln 2 − 1.∫1 ln xdx = x ln x 1 − ∫1 xd ln x = 2 ln 2 − ln1x=019. Геометрические приложения определенного интеграла.1. Площадь плоской фигуры.Под площадью плоской фигуры будем пониматьпроизвольноеограниченноемножествоточекнаплоскости.Напомним, что площадью прямоугольника называетсяпроизведениеегооснованиянавысоту.Этонеотрицательноечисло,обладающеесвойствомаддитивности, т.е.
если прямоугольник разбить на частипрямыми, параллельными его сторонам, на меньшиепрямоугольники, то площадь данного прямоугольникаМатематический анализ,семестр 2, лекция 5*стр. 2 из 6будет равна сумме площадей составляющих. Для произвольной плоской фигуры Dпостроим нижнее и верхнее приближение к искомой площади, т.е. две области,состоящие из прямоугольников: Dex и Din – охватывающих D и содержащихся внутри D.Тогда искомая площадь S фигуры D лежит: S ( Din ) ≤ S ( D ) ≤ S ( Dex ) при любом выборе Din иDex.Продолжим разбиение прямоугольников прямыми, параллельными их сторонам, так,чтобы длины диагоналей всех прямоугольников стремились к 0, тогда S ( Din ) монотонновозрастает, а S ( Dex ) монотонно убывает.Плоская фигура D называется квадрируемой или измеримой, если существуетобщий предел S ( Din ) и S ( Dex ) при неограниченном разбиении и при стремлении длиндиагоналей прямоугольников к нулю.
Этот общий предел и принимают за площадь S(D).Естественно, что этот общий предел существует, когда S ( Dex ) - S ( Din ) ® 0 , т.е. когда границаобласти D может быть заключена в кайму сколь угодно малой площади.2. Площадь криволинейной трапеции. f ( x) ∈ ℂ [ a; b ] (непрерывна); если функция f ( x) ≥ 0 ∀ x ∈ [ a; b ] ⇒bS = ∫ f ( x)dxaПример:y = a 2 − x 2 - полуокружность радиуса а с центром в точке О.y 2 = a2 − x2 ⇒ax2 + y 2 = a2S = ∫ a 2 − x 2 dx =0π a24Пояснение: т.к.
площадь всего круга равна π R 2 , где R – радиус круга, то площадь четвертиπ R2.круга равна4рис. 9.2. Площадь произвольнойкриволинейной трапециирис. 9.2.2. Иллюстрация к примеру f ( x) ∈ ℂ [ a; b ] (непрерывна); если функция f ( x) ≤ 0 ∀ x ∈ [ a; b ] ⇒bS = − ∫ f ( x)dxaМатематический анализ,семестр 2, лекция 5*стр. 3 из 6рис. 9.2.3. Функция y = f(x) отрицательна навсем промежутке [a; b] f ( x) ∈ ℂ [ a; b ] (непрерывна); если функция f (x) – четная, т.е.a = −b; ∀ x ∈ [ − a; a ] f ( x) = f (− x);f ( x) ≥ 0 ∀ x ∈ [ − a; a ] ⇒aS = 2 s = 2∫ f ( x)dx =0a∫f ( x)dx−a f ( x) ∈ ℂ [ a; b ] (непрерывна); если функция f (x) – нечетная, т.е.a = −b; ∀ x ∈ [ − a; a ] f ( x) = − f ( x) ⇒ S = s + s ⇒0S=∫−aaf ( x)dx + ∫ f ( x)dx =0a∫f ( x)dx = 0 (по свойству аддитивности).−aрис.
9.2.5. Площадь трапеции,ограниченной нечетной функциейрис. 9.2.4. Площадь трапеции,ограниченной четной функциейПример:Вычислить интеграл.3x cos x sin17x dx = 0∫ sin2−32четн.5нечетн. Если искомая площадь заключена между графиками двух функций f1(x) иf2(x), причем f1 ( x), f 2 ( x) ∈ ℂ [ a; b ]; f1 ( x) ≤ f 2 ( x) ∀ x ∈ [ a; b ] ⇒bbaaS = S2 − S1 = ∫ f 2 ( x)dx − ∫ f1 ( x)dx =b∫[ fa2( x) − f1 ( x)] dxМатематический анализ,семестр 2, лекция 5*стр. 4 из 6рис. 9.2.6.
Площадь криволинейной трапеции, заключенной междуграфиками двух функцийПример:Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой y = x ипараболой y = 2 − x 2 (см. рис. 9.2.7).2 - x 2 = x , найдем координаты точекРешивуравнениепересечения прямой и параболы: А (-2; -2) и В (1; 1).Следовательно, искомая площадь равна:1x3 x 2 1 1 1 8 9S = ∫ ( 2 − x 2 ) − x dx = 2 x − − −2 = 2 − − − −4 + − 2 =3 2 3 2 3 2−2(ед2).рис. 9.2.7. Если криволинейная трапеция ограничена кривойx = g(y), определенной на отрезке [c; d], и прямымиy = c и y = d, т.е. x = g ( y ) ∈ ℂ [c; d ]; y = c; y = d (см.
рис.9.2.8), то ее площадь вычисляется по формуле:cS = ∫ g ( y )dyd Если кривая l, ограничивающая искомую площадь,рис. 9.2.8. x = x (t )задана параметрически, т.е. l : , t ∈ [t1 ; t2 ] , причем y = y (t )x(t ), y (t ), x '(t ), y '(t ) ∈ ℂ [t1 ; t2 ] , т.е. функции x(t) и y(t), атакже их производные непрерывны на [t1; t2], так чтопараметру t1 отвечает точка A, а t2 – точка В, т.е.A ( x(t1 ); y (t1 )); B ( x(t2 ); y (t2 )) (см. рис. 9.2.9), то площадьтакой трапеции вычисляется по формуле:x ( t2 )S=∫x ( t1 )t2t2f ( x)dx = ∫ f ( x(t )) dx(t ) = ∫ y (t ) ⋅ x '(t ) dtt1= y (t )t1Пример:Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды:x = t − sin t ; y = 1 − cos t ; 0 ≤ t ≤ 2π (см. рис. 9.2.10).рис.
9.2.9Математический анализ,семестр 2, лекция 5*стр. 5 из 6Искомая площадь будет равна:2π2π2π1 + cos 2t 3cos t +S = ∫ (1 − cos t ) 2 dt = ∫ 1 − 2dtdt = 3π .=2 2 ∫0=000 =0рис. 2.9.103. Площадь криволинейных секторов и сегментов.Замечание:Sкр.
= π r 2 ;Sсект. =∆ϕ∆ϕ∆ϕ r 2⋅ Sкр. =⋅ π r2 =(см. рисунок)2π22πПусть искомая площадь, отнесенная к полярнойсистеме координат, ограничена кривой ρ = ρ (ϕ ) илучами ϕ = α и ϕ = β . Функцию ρ = ρ (ϕ ) предположимнепрерывной по ϕ ∈ [α ; β ] . Сектор АОВ разбиваем наn секторов с углами размаха ∆ϕi . Площадь каждогоиз них заменяем площадью кругового секторарадиуса Ri или ri. Тогда площади вписанных иописанных фигур будут равны соответственно:11s = ∑ ri 2 ∆ϕi и S = ∑ Ri2 ∆ϕi .i 2i 2Если dT = max(∆ϕi ) → 0 при n → ∞ , то эти суммырис.
9.3.1.стремятся к общему пределу, причем s ≤ Sс. ≤ S =>площадь криволинейного сектора равна:βSс. =1 2ρ (ϕ )dϕ2 α∫Пример:Вычислить площадь фигуры, ограниченной одним виткомархимедовой спирали и отрезком полярной оси: r = aj , гдеa = const (см. рис. 9.3.2)2πS=∫0a2 ϕ 31 2 2a ϕ dϕ = ⋅22 32π0=a24(2π )3 = a 2π 363рис. 9.3.2.Площадькриволинейногосегмента,ограниченного кривыми ρ = ρ1 (ϕ ) и ρ = ρ 2 (ϕ ) и лучамиϕ = α и ϕ = β (рис. 9.3.3), можно вычислить по формуле:β1S = ∫ ρ22 (ϕ ) − ρ12 (ϕ ) dϕ2αрис.
9.3.3.Пример:Математический анализ,семестр 2, лекция 5*стр. 6 из 6x2 + y 2 = 2 x ⇒x2 + y 2 = 4 x ⇒ρ = 2cos ϕ1=> S =2ρ = 4cos ϕπ2∫ (16 cos2ϕ − 4cos 2 ϕ )dϕ = 3π0**в этой лекции нумерация пунктов логически продолжает содержание лекции № 4..