lecture_03 (Лекции по математическому анализу)

Математический анализ,семестр 2, лекция 3стр. 1 из 3Интегрирование некоторых классов функций.1. Интегрирование тригонометрическихвыражений.1. Универсальные тригонометрические подстановки:I = ∫ R (cos x,sin x, tg x)dxt = tgx2xxcos 222x 2 xxcos  sin + cos 2 222xxx1 − tg 2cos 2 − sin 21− t 22=22cos x ==1 + t 2 1 + tg 2 x cos 2 x + sin 2 x2222sin x2t 1 + t2ttg x ===cos x 1 − tg 2 x 1 + tg 2 x 1 − t 22221− tc tg x =2txxt = tg ⇒ = arctg t ⇒ x = arctg t222dx =dt1+ t22t=sin x =1+ t22sin 2 2t 1 − t 2 2t  2;;I = ∫ Rdt222 2 1+ t 1+ t 1− t  1+ tdxdtx2I =∫=∫dt = ∫ = ln t + C = ln tg + C22sin x(1 + t ) 2t (1 + t )2t2.

I = ∫ R (cos x) sin xdxt = cos xI = ∫ R (sin x) cos xdxt = sin x  tg x  I = ∫ R  dx ctg x   tg x t=ctg x Пример:d (1 + tsin 2 x2sin x cos x2tdt∫ 1 + sin 2 x dx = ∫ 1 + sin 2 x , {t = sin x} , ∫ 1 + t 2 = 2∫ 1 + t 22) = 2 ln(1 + t3. Интегрирование производных sinx, cosx Если одно из чисел m или n – целое, нечетноеm или n : 2k+12)+CМатематический анализ,семестр 2, лекция 3стр. 2 из 3I = ∫ sin 4 x cos3 xdx = ∫ sin 4 x cos 2 x cos xdx = ∫ sin 4 x(1 − sin 2 x)d sin x = {t = sin x} = ∫ t 4 (1 − t 2 )dt == ∫ ( t 4 − t 6 ) dt =t5 t 7sin 5 sin 7− +C =−+C5 757 Если m и n – целые, четные: m, n ∈ 2k , то следует воспользоваться формуламипонижения степени:1cos 2 x = (1 + cos 2 x )21sin 2 x = (1 − cos 2 x )2xx2 sin cos = sin x22Пример:11I = ∫ sin 4 x cos2 xdx = ∫ sin 2 x cos2 x sin 2 xdx = ∫ sin 2 2 x (1−cos 2 x )  dx =4211=− ∫ sin 2 2 x cos 2 xdx + ∫ sin 2 2 x =8811=− ∫ sin 2 2 xd sin 2 x + ∫ (1−cos 4 x )dx =16161113sin 4 x + C .x−= − sin 2 x +4816324.

Интегрирование произведений sin x и cos x1 ( m − n) x( m + n) x 1 sin(m − n) x 1 sin(m + n) xI = ∫ cos mx cos nxdx = ∫ cos+ cosdx =++ C.2 222 m−n2 m+n11 sin(m − n) xI = ∫ sin mx sin nxdx = ∫ [ cos(m − n) x − cos(m + n) x ] dx =+ C.22 m−n11 cos(m − n) 1 cos(m + n)I = ∫ sin mx cos nxdx = ∫ [sin(m − n) x + sin(m + n) x ] dx = −−+ C.22 m−n2 m+nПример:Вычислить интеграл: I = ∫ cos 3 x cos 2 xdx111 sin 5 xI = ∫ cos 3 x cos 2 xdx = ∫ ( cos x + cos 5 x ) dx = sin x ++C .222 55. Тригонометрические подстановки в интегралах, содержащихax 2 + bx + c , a ≠ 02222bc2bbbcbcbax 2 + bx + c = a  x 2 + x +  = a  x 2 +x + 2 − 2 +  = a x +  + − 2 aaaaaa 2a4a 4a4  ht Если a > 0 ; h > 0 , то ax 2 + bx + c = a ( t 2 + h 2 )()I = ∫ R t , a ( t 2 + h 2 ) dtСделать замену: u =hhh==sin t cos t cht Если a < 0 ; h < 0 , то ax 2 + bx + c = a ( h 2 + t 2 )Математический анализ,семестр 2, лекция 3стр.

3 из 3)(I = ∫ R t , a ( h 2 − t 2 ) dtСделать замену: u = h sin t = h cos tПример:Вычислить интегралы:()1) I = ∫ a a 2 − x 2 dx() x = a sin t 2 2 2I = ∫ a a 2 − x 2 dx = = ∫ a − a sin ta cos tdt = dx = a cos tdt = ∫ a 2 cos t cos tdt =2a2x aa2a 2 a 2 sin 2t2+C =arcsin   ++ C.∫ 1+ cos tdt = t +222 2222 x = a sh t 2I = ∫ x 2 + a 2 dx =  = ∫ a 2 sh 2 t + a 2 a cht dt = a ∫ sh 2 t +1cht dt =dx = a cht dt 2) 2 1sh x = ( sh 2 x −1) 2 2 12= ch x = 2 ( ch 2 x +1)  = a ∫ sh 2 t + ch 2 t −sh 2 x .sh 2 x = 2 sh x ch x 221=ch x −sh x.