9 Асимптотики периода (Е.И. Кугушев - Лекции)

9-3

Лекция 9

Асимптотики периода.

(1) Малые колебания ( ).

В этом случае, обычно не исследуют интеграл (квадратуры), а линеаризуют уравнения. Делают это так. Мы интересуемся движениями, при которых , где в точке имеет локальный минимум. Мы рассматриваем невырожденный случай, т.е. , . Положим . Тогда уравнение движения перейдет в

Отбрасывание нелинейностей в уравнении называется его линеаризацией. Линеаризуем это уравнение. Получим

, или , где

Общее решение этого уравнения имеет вид гармонических колебаний

Итак, частота малых колебаний равна (приближенно) .

(2) Колебания в окрестности сепаратрисы ( ).

Пусть замкнутая кривая близка к сепаратрисе. Для определенности рассмотрим следующую картинку.

Сдвигом переменной можно добиться, чтобы равнялось нулю ( ). Добавляя к постоянную, так чтобы в точке максимума . Это не изменяет уравнений движения. Считаем максимум невырожденным , .

Итак

, , (*)

Найдем асимптотику периода движения при .

Утверждение. , при , .

Доказательство.

где

, ,

и - некоторая малая постоянная. Интегралы и - очевидно ограничены при .

Рассмотрим поведение при . Из (*), применив следствие из малой леммы Морса, получаем , где - гладкая функция (знак “минус” выбран для дальнейшей простоты). Сделаем замену переменных . Тогда

где

, ,

Интеграл , очевидно, ограничен при .

Лемма. и - ограничены при малых , где

Доказательство.

Пусть . Тогда

Выберем настолько малым, чтобы . Тогда для будет

и

Значит

Поэтому

Последний интеграл ограничен при . Это завершает доказательство.

Задача. Дайте асимптотику периода колебаний для движений “внутри петли” т.е., для .

Ответ. при . ?

Линейные колебания.

Рассмотрим материальной точки по прямой следующего вида

, ,

Здесь

- упругая сила,

- вязкое трение,

- внешняя сила.

(1) Пусть . Получаем линейное однородное уравнение. Корни характеристического уравнения:

Частные случаи (картинки из книги Л.С. Понтрягина “Обыкновенные дифференциальные уравнения”)

(а) - два действительных различных отрицательных корня – устойчивый узел. Решения – экспоненты с отрицательными показателями.

(б) - действительный отрицательный корень кратности 2 - устойчивый вырожденный узел . Решения – экспонента с отрицательным показателем умноженная на полином первой степени.

(в) Два комплексно сопряженных корня с отрицательной вещественной частью. Устойчивый фокус. Колебания с амплитудой затухающей по экспоненте.

(г) Два комплексно сопряженных чисто мнимых корня. Центр. Колебания около положения равновесия.

Общее решение, графики функций .

Задача. Нарисовать фазовые портреты в случаях а) – г).

(2) Рассмотрим случай , , . Надо найти частное решение. Тогда общее решение будет суммой частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.

Ищем решение методом неопределенных коэффициентов в виде

(*)

Подставляем в уравнение

Приравниваем коэффициенты при и :

(a) - есть частное решение вида (*)

(б) - ( - собственная частота, ). Резонанс.

Решение – квазимногочлен:

Задача. Проверить.

Задача. Нарисовать качественно решение при

- очень малом, , - очень большом.

Ответ. Биения.

Пример резонанса в линейной системе.

Рассмотрим уравнение движения гармонического осциллятора под воздействием периодической принуждающей силы

Перейдем к комплексному виду (метод комплексных амплитуд)

Характеристическое уравнение

,

Рассмотрим два случая.

а) (т.е. - показатель квазимногочлена – не корень характеристического уравнения. Поскольку степень квазимногочлена в правой части – нулевая, то ищем частное решение в виде

Подставив в уравнение, получим

Таким образом, частное решение имеет вид

В соответствии с методом комплексных амплитуд, частное решение исходного (вещественного) уравнения имеет вид

Общее решение имеет вид

Такое движение называется квазипериодическим движением. Первые два члена в нем – это свободные колебания, последний член – вынужденные колебания. Амплитуда вынужденных колебаний (и, значит – амплитуда полного движения) растет сколь угодно велико при приближении частоты вынуждающей силы к частоте свободной системы. Это явление называется резонансом.

б) (т.е. ) - показатель квазимногочлена – корень характеристического уравнения кратности один. Поскольку степень квазимногочлена в правой части – нулевая, то ищем частное решение в виде

Тогда

Подставив в уравнение, получим

Или

Откуда

Таким образом, частное решение имеет вид

В соответствии с методом комплексных амплитуд, частное решение исходного (вещественного) уравнения имеет вид

Это гармонические колебания с частотой и амплитудой линейно растущей во времени

Общее решение имеет вид

Как происходит переход от а) к б)? Рассмотрим, например, решение с начальными условиями , (при . Подставив в общее решение

Получим

,

Т.е.

Но

Поэтому

Если мало, то у нас есть медленные колебания, на которые наложены биения с частотой .

При фиксированном и получаем

Т.е. амплитуда растет линейно по (при невеликих ). Это линейный резонанс. В нелинейных системах в общем случае – все по-другому. Амплитуда – ограничена. Возникают устойчивые (притягивающие) циклы.

Вопросы к материалу.

• Малые колебания.

• Колебания в окрестности сепаратрисы. Асимптотика периода колебаний.

• Линейные колебания в отсутствии внешней силы.

• Линейные колебания при гармонической внешней силе. Резонанс.