6 Ньютонова механика (Е.И. Кугушев - Лекции)

6-6

Лекция 6

Ньютонова механика.

Ее основы заложены Галилеем. Развиты впоследствии Гюйгенсом, Гуком и др. Были обобщены и систематизированы Ньютоном в его труде “Математические начала натуральной философии”.

Законы динамики Ньютона формулируются в некоторой выделенной системе отсчета в трехмерном евклидовом пространстве (или в системах “эквивалентных ей”) и по отношению к некоторому “фиксированному” времени. Эта система отсчета и время называются абсолютными.

Абсолютные системы на практике

Вопрос. К какому типу математических высказываний относится “принцип”? (аксиома, теорема, определение и т.п.)

Принцип детерминированности.

Рассмотрим систему, состоящую из различных точек ,…, . Их радиус-векторы в абсолютной системе отсчета – это ,…, . При движении они изменяются

,

Принцип детерминированности утверждает следующее. Точки движутся таким образом, что в каждый момент времени ускорение , однозначно определяется положениями и скоростями точек. (Это одна из возможных формулировок). Иначе говоря

, (1)

Определение функций в конкретных задачах представляет собой отдельную проблему, решение которой основывается на экспериментах и соображениях теоретического характера.

Если функции заданы, то (1) – это система ОДУ (обыкновенных дифференциальных уравнений), из которой, в принципе, можно найти функции . Такая задача называется прямой задачей. Иногда приходится решать обратную задачу. Известны движения системы, а требуется найти функции .

Принцип относительности Галилея.

(а) Законы механики одинаковы в инерциальных системах координат.

(б) Любая система, движущаяся относительно абсолютной поступательно, прямолинейно, с постоянной абсолютной скоростью, время в которой отличается от абсолютного на некоторую постоянную – инерциальна.

Законы механики включают в себя, в частности, функции .

Следствия.

1. Функции в инерциальной системе не зависят явно от . Действительно, система, в которой совпадают с абсолютными, а отличается на , инерциальна. Следовательно, .

2. Зависимость от координат сводится к зависимости лишь от разностей . Действительно, система, в которой отличаются от абсолютных на постоянный вектор , а время – то же, является инерциальной. Следовательно

для любых , , и . Подставив сюда , получим

3. То же для скоростей. Действительно, система, которая движется относительно абсолютной с постоянной скоростью , а время – то же, является инерциальной. Следовательно

для любых , , и . Подставив сюда , получим

4. Для любой ортогональной матрицы (3x3) выполнено

Это следствие того, что система координат, повернутая относительно абсолютной с помощью матрицы , инерциальна.

Понятие абсолютной системы условно. В силу принципа относительности все инерциальные системы равноправны.

Примеры.

(1) Закон инерции Галилея-Ньютона. Тело (точка), не взаимодействующее с другими телами, движется в абсолютной системе равномерно и прямолинейно.

Если взаимодействия с другими телами нет, то можно считать, что . В силу следствий 1-3 из принципа относительности получаем, что . В силу следствия 4, эта постоянная равна нулю. Значит

, следовательно

Таким образом, закон инерции – следствие принципа относительности. Заметим, что этот закон был найден лишь в средние века. До этого полагали, что свободное от сил тело неминуемо остановится.

(2) Падение тяжелых тел вблизи поверхности Земли. Закон был найден Галилеем экспериментально: ускорение освобожденного (падающего) тела постоянно и направлено вертикально вниз.

,

Вопрос. Не противоречит ли это принципу относительности.

Ответ. Нет, т.к. здесь – это постоянный вектор и это сохраняется в любой инерциальной системе.

Траектории здесь параболы.

Задача 1. (О максимальной дальности) Допустим мы бросаем точку под разными углами но с одной и той же скоростью . Землю считаем плоскостью. Под каким углом надо бросить точку, чтобы достичь максимальной дальности.

Задача 2. Найти множество достижимости в задаче 1. (Оно называется параболой безопасности).

(3) Закон Гука. Тело на пружинке. Для простоты рассматриваем одномерный случай – на оси .

Эксперимент: ,

Решения: ,

Оказывается, что каждому телу можно сопоставить число , такое, что , где не зависит от тела, а зависит лишь от пружинки.

- называется массой тела. Масса определена с точностью до пропорциональности. Единица массы – эталон.

Аддитивность массы. Поскольку масса аддитивна, то ее можно трактовать, как меру количества материи (вещества).

Определение. Пара , где - масса точки называется матеральной точкой.

Уравнения движения можно переписать в таком виде

,

Вектор называется силой.

Например, - сила тяжести, или вес, а ( ) - упругая сила.

Задача Кеплера и закон всемирного тяготения.

Рассмотрение идет в системе координат в начале которой расположено Солнце, и ориентация осей которой неизменна по отношению к удаленным звездам. Эта система считается инерциальной.

Кеплер: “Новая астрономия” (1609) и “Гармония мира” (1619), используя результаты наблюдений его наставника Тихо Браге, получил следующие три закона движения планет Солнечной системы:

I. Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце (точнее, его центр).

II. Радиус-векторы планет (проведенные из солнечного фокуса) за равные промежутки времени заметают равные площади.

III. Отношение кубов больших полуосей орбит к квадратам периодов обращения планет является постоянной величиной (не зависящей от выбора планеты).

Следуя Ньютону, выведем формулу для силы , действующей на планету.

1. Поскольку орбита – эллипс (I), то движение происходит в постоянной плоскости. Введем в ней полярные координаты ( , ) с полюсом расположенном в том фокусе эллипса, где располагается Солнце. Ориентацию плоскости выберем так, чтобы движение планеты происходило против часовой стрелки. Луч, соответствующий нулевому полярному углу выберем произвольно.

Из Анализа мы знаем формулу для площади сектора

Следовательно (II)

2. Пусть - радиус-вектор планеты. Тогда . Надо найти .

Напомним формулу для ускорения в полярных координатах

(**)

Дифференцируя соотношение по времени получим

Поскольку , то , и из (**) получаем

(*)

В этой ситуации говорят, что сила – центральная (она всегда направлена на одну и ту же точку – в данном случае – на начало координат).

Надо найти как функцию от .

3. Поскольку , , то - монотонная функция времени. Следовательно в качестве параметра на траектории можно взять . Тогда

, , причем

Доказательство. Имеем

Значит , а из закона площадей . Теперь формулу (*) можно переписать в следующем виде

4. Снова (I). Обозначим - большую полуось эллипса - малую полуось. Направим полярную ось, от которой отсчитывается угол , через второй фокус траектории – эллипса. Тогда уравнение эллипса можно записать в таком виде: , где фокальный параметр , и эксцентриситет . Следовательно

, и

Тогда

,

Т.о. сила притягивающая и растет обратно пропорционально квадрату расстояния.

5. Пусть - период обращения. Следовательно . Следовательно

из (III) следует, что не зависит от планеты.

С такой силой Солнце действует на планету. Естественно предположить, что планета также действует на Солнце.

Принцип равенства действия и противодействия. Обсудить. В добавок третьему закону Ньютона верно следующее. Поскольку абсолютную систему можно повернуть на любой угол вокруг линии соединяющей взаимодействующие точки, а сила взаимодействия инвариантна – то она может быть направлена только по этой линии.

Естественно положить , где - масса Солнца.

Ньютон сформулировал закон всемирного тяготения: , годящаяся для описания взаимодействия любых тел. Она называется гравитационная постоянная.

Закон всемирного тяготения.

, ,

Иногда этот закон называют Закон всемирного притяжения.

Вопросы к материалу.

• Ньютонова механика.

• Абсолютное время и система отсчета.

• Принцип детерминированности.

• Принцип относительности Галилея и следствия из него.

• Закон инерции Галилея-Ньютона.

• Падение тяжелых тел вблизи поверхности Земли.

• Закон Гука. Масса.

• Материальная точка. Сила.

• Законы Кеплера.

• Вывод формулы для гравитационной силы из законов Кеплера.

• Принцип равенства действия и противодействия.

• Закон всемирного тяготения.