32 Переменные действие-угол (Е.И. Кугушев - Лекции)

32-2

Лекция 32

Переменные действие-угол.

Угловые переменные на торе в теореме Лувилля-Арнольда можно выбрать в целой тороидальной окрестности так, что замена будет канонической. Такие переменные называются переменными действие-угол.

(А) Рассмотрим сначала случай системы с одной степенью свободы. Пусть - область. Функция - гамильтониан. Рассмотрим гамильтонову систему . Кривые инвариантны под действием гамильтонова фазового потока. Для простоты будем считать, что (т.е. имеют только одну связную компоненту).

Предположим, что для - замкнутая кривая. Определим переменную “действие” :

Если ограничивает область , т.е. , то, по формуле Стокса,

Имеем .

Будем считать, что , , и, что лишь в конечном числе точек на каждой из кривых , (впрочем, от последнего предположения можно и избавиться).

Построим переменную канонически сопряженную к (т.е. хотим, чтобы являлись каноническими переменными). Т.е. такую, что замена - каноническая. Пусть - соответствующая производящая функция. Тогда

, (*)

Чтобы найти , выразим из уравнения переменную через и . Для этого нужно чтобы . Согласно нашим предположениям, это выполнено везде на кроме конечного числа точек ( - любое). Получаем функцию . Точнее, набор функций , определенных там, где .

с-150

Функции продолжаются по непрерывности в точки, где .

Имеем уравнения для : , точнее набор уравнений . Значит, - первообразная по от . Функции определены с точностью до слагаемых вида .

Из (*) , причем следует подобрать так, чтобы функция была непрерывна при переходе через все кривые , кроме одной. Переменная однозначно определена, если, например, положить на одной из кривых .

Итак, если мы хотим, чтобы была непрерывна на она должна быть многозначна. Найдем приращение при обходе .

(Б) Аналогично вводятся переменные действие-угол в случае разделения переменных:

Пример. Гармонический осциллятор.

, - эллипс с полуосями и .

Т.е.

Отсюда

Значит, искомая замена координат такая

,

Динамика в переменных действие-угол.

В переменных действие угол , , гамильтонова система . Уравнения движения

,

В общем случае траектория (обмотка тора) всюду плотно заполняет тор. Здесь - это вектор частот. Резонансом называется случай, когда найдется такое целое , такое, что . В этом случае траектория периодическая.

Обозначим

Это подгруппа в . - минимальное число образующих.

(Развить!!!)

Вопросы к материалу.

• Переменные действие-угол.

• Переменные действие-угол для систем с одной степенью свободы.

• Переменные действие-угол для гармонического осциллятора.