29 Принцип Гамильтона в фазовом пространстве (Е.И. Кугушев - Лекции)

29-2

Лекция 29

Принцип Гамильтона в фазовом пространстве.

Возьмем Гамильтонову систему с гамильтонианом . Рассмотрим расширенное фазовое пространство . Введем функционал действия

на пространстве кривых , соединяющих точки и . Пусть - одна из таких кривых. Назовем семейство кривых

,

вариацией кривой , если

а)

б) , ,

Вариацией функционала на пути относительно вариации пути называется величина .

Теорема. Кривая является решением уравнений Гамильтона тогда и тоько тогда, когда для любой вариации пути

соответствующая вариация функционала действия равна нулю. Иными словами - - критическая точка, или экстремаль функционала действия

.

Доказательство. Аналогично доказательству обычного принципа Гамильтона для уравнений Лагранжа с Лагранжианом

Уравнения Лагранжа для него полностью совпадают с уравнениями Гамильтона.

Интегральный инвариант Пуанкаре-Картана.

В определении функционала участвует 1-форма , на действующая на векторах касательных к расширенному фазовому пространству. Между прочим,

Эта форма называется интегральным инвариантом Пуанкаре-Картана. Смысл этого названия в том, что сохраняется интеграл по замкнутому контуру от этой формы при сдвиге вдоль траекторий уравнений Гамильтона в расширенном фазовом пространстве.

Дадим строгие формулировки этого факта.

Замечание. Напомним определение внешнего произведения двух 1-форм и . Для любых векторов , , по определению

Свойства внешнего дифференцирования. Если - 0-форма, то

,

Например, пусть и . Тогда

и

Выпишем значение канонической 2-формы в общем виде. Возьмем два векторных поля и где и - компоненты, соответствующие , и - , и и - . Тогда

Поэтому

(**)

Лемма 1. Векторное поле в расширенном фазовом пространстве является аннулятором 2-формы , т.е. для любого векторного поля выполнено

(***)

Доказательство. Действительно, при подстановке в (**) получим (***). Доказательство завершено.

Лемма 2. Пусть векторное поле в расширенном фазовом пространстве является аннулятором формы (для некоторого ). Тогда

Доказательство. Рассмотрим более общий случай. Пусть . По условию леммы при любых выполнено

т.е.

Группируя коэффициенты при получим

, ,

Третье равенство есть следствие первых двух. Итак, мы получили

,

По условию . Доказательство закончено.

Замечание. Если не предполагать, что по последней координате компонента единичная, то получим векторное поле коллинеарное (пропорциональное) Гамильтоновому.

Сформулируем несколько следствий из Леммы 1.

Следствие 1. Пусть - замкнутая кривая в расширенном фазовом пространстве. При сдвиге вдоль траекторий уравнений Гамильтона мы получим некую поверхность – трубку траекторий. Пусть замкнутая, охватывающая эту трубку траекторий так, что и составляют край поверхности трубки между ними. Тогда

Действительно, по теореме Стокса эта разность равна , где - участок боковой поверхности. Он двумерный, причем в любой точке касательная плоскость содержит аннулятор подинтегральной формы. Значит интеграл равен нулю.

Доказательство завершено.

Пусть - сдвиг вдоль решений системы с гамильтонианом :

для любого решения . Отметим, что действует в расширенном фазовом пространстве.

Следствие 2. Пусть - замкнутая кривая в расширенном фазовом пространстве. Тогда

(*)

Это частный случай Следствия 1.

В обычном фазовом пространстве определена 1-форма . Она называется интегральным инвариантом Пуанкаре. Это название объясняет следующее следствие.

Следствие 3. Пусть - замкнутая кривая в обычном фазовом пространстве, определенная в некий момент времени . Тогда

(**)

Доказательство. Пусть кривая - параметрическое задание кривой . Тогда можно рассматривать как параметрическое задание замкнутой кривой в расширенном фазовом пространстве. Для нее выполнено (*). Но на имеем и на имеем . Поэтому при интегрировании будет и , значит будет выполнено.(**). Доказательство завершено.

Задача. Сохранятся ли доказанные утверждения если на замкнутый контур попала особая точка (положение равновесия) уравнений Гамильтона?

Решение. Ответ - да. Для доказательства надо построить семейство контуров, обходящих особую точку, и сходящихся к исходному контуру.

Напомним, что гладкое отображение многообразия порождает отображение векторов в прямом направлении, и отображение дифференциальных -форм в обратном направлении. Говорят, что отображение сохраняет форму , если .

Напомним также свойство перестановочности дифференциалов и отображений:

Следствие 4. Преобразование сдвига вдоль тракеторий сохраняет каноническую 2-форму

.

Доказательство. Достаточно доказать, что интеграл по любому гладко вложенному двумерному диску от этой формы равен интегралу от . Докажем, это. Действительно,

Доказательство завершено.

Следствие 5. Рассмотрим сдвиг , где - решение уравнений Гамильтона с начальными условиями (в автономном случае этот сдвиг называют фазовым потоком). Этот сдвиг сохраняет 2-форму .

Доказательство. Аналогично доказательству Следствия 3. Рассматриваем отображения диска в обычное фазовое пространство. Поднимаемся в расширенное фазовое пространство (при этом будет ) и используем Следствие 4.

Следствие 6. Сдвиг из Следствия 5 сохраняет формы , ,… и т.д. В частности, сохраняется форма , где - число степеней свободы. С точностью до знака, она совпадает с формой объема

Этот результат совпадает с теоремой Лиувилля о сохранении фазового объема гамильтоновых систем.

Вопросы к материалу.

• Принцип Гамильтона в фазовом пространстве.

• Лемма об аннуляторе канонической 2-формы.

• Интегральный инвариант Пуанкаре-Картана.

• Интегральный инвариант Пуанкаре.

• Инвариантность канонической 2-формы при сдвиге по траеториям.

• Еще раз теорема Лиувилля о сохранении фазового объема.