28 Гамильтонова механика (Е.И. Кугушев - Лекции)

28-2

Лекция 28

Гамильтонова механика.

Преобразование Лежандра.

Преобразованием Лежандра функции , является функция , такая, что , где выражение получено путем решения уравнения относительно .

Согласно данному определению, преобразование Лежандра можно применить не к любой функции. Необходимо, чтобы уравнение было разрешимо относительно . По теореме о неявной функции достаточным условием для локальной разрешимости является невырожденность Гессиана :

Стандартный класс функций, для которых преобразование Лежандра определено – это выпуклые функции. Мы будем называть функцию выпуклой, если ее матрица Гесса является положительно определенной: , т.е. , . Хотя можно дать и геометрическое определение.

Задача. Проверить, что если функция выпуклая, то

Решение. Возьмем пару . Поскольку , то , т.е., - точка экстремума функции . Но эта функция выпуклая, т.к.

Значит – это точка ее максимума.

Следствие. Неравенство Юнга: .

Утверждение 1. Преобразование Лежандра выпуклой функции – выпуклая функция.

Доказательство. Найдем сначала . Продифференцируем по . Получим , значит . Имеем

Значит

(***)

Имеем . Матрица, обратная к положительно определенной – тоже положительно определенная т.к.

Значит - тоже выпуклая функция. Доказательство завершено.

Утверждение 2. Преобразование Лежандра инволютивно, т.е., будучи примененным дважды – оно дает тождественное преобразование

Доказательство. При построении первого преобразования Лежандра мы находим как решение уравнения . При построении второго преобразования Лежандра мы находим как решение уравнения . Однако, согласно (***) , т.е. есть функция обратная к . Значит,

Согласно определению преобразования Лежандра

Подставляя сюда в качестве аргумента получим

Или

Доказательство завершено.

Задача. Пусть , где - постоянная, симметрическая положительно определенная функция. Показать, что .

Утверждение 3. Пусть зависит от параметра : . Тогда ее преобразование Лежандра также зависит от и

Доказательство. Т.к. , то

Доказательство завершено.

Рассмотрим Лагранжеву систему с лагранжианом , , где - гладкое многообразие. Предположим, что выпукла по (это свойство не зависит от выбора локальных координат). Пример - - лагранжиан натуральной системы. Произведем преобразование Лежандра функции относительно , считая остальные переменные параметрами. Получим:

при таком, что

Переменные называются импульсами, канонически сопряженными координатам . Пара называется каноническими координатами (или каноническими переменными).

Замечание. Обратите внимание, что все это напоминает

а) Формулу для обобщенного интеграла энергии автономной Лагранжевой системы (Интеграл Якоби).

б) Понижение порядка по Раусу.

Утверждение 4. В канонических переменных уравнения Лагранжа переходят в следующие:

, (*)

Функция называется функцией Гамильтона (или гамильтонианом), а уравнения движения (*) – уравнениями Гамильтона.

Доказательство. Первое уравнение - это в точности равенство (***). Поскольку , то, в силу уравнений Лагранжа ( ) имеем

согласно Утверждению 3. Доказательство завершено.

Свойства уравнений Гамильтона.

Утверждение 5. При дифференцировании по в силу уравнений Гамильтона имеем .

Доказательство. Используя уравнения Гамильтона (*), получаем

Доказательство завершено.

Следствие. Если не зависит от (гамильтониан автономен), то является первым интегралом уравнений Гамильтона. (По построению - интеграл энергии – интеграл Якоби).

Задача. Показать, что для натуральной системы имеем при таком, что .

Решение. (Решить!!!)

Понижение порядка. Пусть - циклическая координата. Тогда - первый интеграл. Рассмотрим понижение порядка по Раусу в гамильтоновой форме тривиально. Забываем уравнение и считаем . Получаем гамильтониан и уравнения гамильтона для переменных.

Утверждение 6. Уравнения Гамильтона имеют инвариантную меру с плотностью .

Доказательство. Согласно теореме Лиувилля, достаточно проверить что дивергенция правой части равна нулю.

Доказательство завершено.

Вопросы к материалу.

• Гамильтонова механика.

• Преобразование Лежандра, и его свойства.

• Канонические переменные.

• Уравнения Гамильтона, и их свойства.

• Циклические интегралы и понижение порядка в уравнениях Гамильтона.

• Инвариантная мера уравнений Гамильтона.