26 Динамика твердого тела (Е.И. Кугушев - Лекции)

26-2

Лекция 26

Динамика твердого тела.

Напоминание.

Твердое тело – система материальных точек, расстояние между которыми в процессе движения не меняется.

Момент инерции относительно оси . Любому ортономированному реперу , связанному с телом, с началом в некоей точке , сопоставляется матрица - тензор инерции. Момент инерции относительно оси с единичным направляющим вектором равен . Матрица симметричная, на диагонали стоят моменты инерции относительно осей координат . Поворотом репера можно добиться того, что станет диагональной матрицей. Соответствующая система координат (связанная с твердым телом) называется главными осями инерции в точке ( которая является началом координат).

Пусть - радиус-вектор точки тела в связанной с телом системе . Множество точек таких, что называется эллипсоидом инерции твердого тела в точке ( которая является началом координат).

Если тело движется так, что имеется неподвижная (в абсолютном пространстве) точка , то

а) - кинетическая энергия.

б) - кинетический момент.

в) - момент сил. Это теорема об изменении кинетического момента.

г) вектора, неподвижного в теле - формула Эйлера.

Динамические уравнения Эйлера. (Для движения твердого тела с неподвижной точкой)

Лемма. (О проекции абсолютной скорости на подвижные оси) Пусть есть некий вектор (в абсолютном пространстве). Разложим его по подвижному реперу

(*)

Тогда координаты вектора в подвижном репере равны , где - мгновенная угловая скорость репера .

Доказательство. Следует из равенств

, ,

если продифференцировать (*). Доказательство леммы завершено.

Запишем в) с учетом б) для движения твердого тела с неподвижной точкой в однородном поле сил тяжести.

Пусть - вектор, идущий из в центр масс (в подвижном репере его координаты постоянны). Пусть - единичный вектор вертикали, направленный вниз и - его координаты в подвижном репере (они меняются при движении тела). Тогда момент активных сил, приложенных к телу .

Итак

Это и есть динамические уравнения Эйлера. Распишем их подробнее (в главных осях инерции).

, , ,

Постоянство вектора в абсолютном (неподвижном) пространстве выражается уравнениями Пуассона. Они означают, что абсолютная скорость этого вектора равна нулю.

или, в подробной записи

Уравнения Эйлера-Пуассона образуют замкнутую систему. Система имеет следующие первые интегралы.

Энергия.

Кинетический момент в проекции на

Геометрический

Задача. Убедитесь, что выписанные функции – действительно первые интегралы.

Решение. (Решить!!!)

Задача. Проверьте, что у уравнений Эйлера Пуассона есть инвариантная мера с плотностью .

Решение. (Решить!!!)

Так как имеется инвариантная мера, то для интегрируемости в квадратурах не хватает еще одного независимого первого интеграла.

Имеются три классических случая интегрируемости: Эйлера, Лагранжа, Ковалевской.

Случай Эйлера. Центр масс совпадает с неподвижной точкой , т.е. .

В этом случае моменты активных сил отсутствуют и связи допускают повороты всей системы вокруг любой неподвижной оси, проходящей через . Поэтому кинетический момент - это постоянный вектор в абсолютном (неподвижном) пространстве.

Поэтому здесь имеется дополнительный первый интеграл – квадрат модуля кинетического момента

Уравнения Эйлера отделяются от уравнений Пуассона

Рассмотрим их отдельно. Движение происходит по совместным уровням интегралов

Рассмотрим их в пространстве , , ( , , ). Тогда

- сфера (*)

- эллипсоид (**)

Зафиксируем значение и будем менять . Считаем, что . Если

, то сфера с эллипсоидом не пересекается (сфера лежит внутри эллипсоида).

- две точки пересечения (касания)

- пересечение по двум замкнутым кривым (топологическим окружностям “насаженным” на ось )

- две геометрические!!! окружности, пересекающиеся на оси . В самом деле, умножим (**) на и вычтем из него (*). Получим

Коэффициенты положительны. Поэтому это уравнение распадается на два линейных, задающих две плоскости, в которых лежат наши кривые, значит, они – плоские. Расстояние до центра постоянно (*). Значит, это – окружности.

Аналогично устроены случаи , , .

Каждый из шести концов полуосей эллипса соответствует положению равновесия уравнений Эйлера. В терминах движения твердого тела – это вращения вокруг главных осей инерции с постоянной угловой скоростью. Эти движения называются стационарными вращениями. Из расположения кривых на рисунке следует, что положения равновесия уравнений Эйлера и устойчивы, а - неустойчивы. Это неустойчивость стационарного вращения вокруг средней оси инерции.

Вопросы к материалу.

• Динамика твердого тела.

• Твердое тело с неподвижной точкой.

• Абсолютная скорость в проекции на подвижные оси.

• Динамические уравнения Эйлера.

• Уравнения Пуассона.

• Первые интегралы уравнений Эйлера-Пуассона.

• Инвариантная мера и интегрируемость в квадратурах.

• Случай Эйлера.

• Фазовый портрет уравнений Эйлера.

• Устойчивость Стационарных вращений.