21 Принцип Гамильтона (Е.И. Кугушев - Лекции)

21-2

Лекция 21

Принцип Гамильтона.

Пусть - гладкая функция и , - гладкая кривая.

Определение. Вариацией пути назовем гладкое семейство кривых , , (т.е. нумерует кривые, - параметр на кривой) такое, что

а) ,

б) , - это условие называется условием закрепленности концов.

Пусть , - гладкая кривая. Рассмотрим функционал действия

Величина называется действием вдоль пути .

Определение. Пусть - вариация пути . Имеем гладкую функцию . Производная вариацией функционала действия на пути относительно вариации пути .

Определение. Путь называется экстремалью функционала , если на любой вариации пути вариация функционала действия равна нулю:

,

Теорема. (Принцип Гамильтона)

Путь является экстремалью функционала действия тогда и только тогда, когда является решением уравнений Лагранжа (2-го рода) с лагранжианом .

Доказательство. В явном виде вариация функционала действия – следующая:

(*)

В этих равенствах надо положить .

( )В силу условия закрепленности концов (условия б)) и уравнений Лагранжа выражение равно нулю. Значит, необходимость доказана.

( ) Докажем достаточность. Пусть (*) равна нулю для любой гладкой вариации пути . Второе слагаемое равно нулю в силу условия закрепленности концов (условия б)). Следовательно и

(**)

для любой гладкой вариации .

Допустим, что не удовлетворяет уравнениям Лагранжа. Тогда на ней, в некоторой точке имеем

Тогда на некотором непустом интервале ( ) имеем для

Возьмем вариацию такую, что , где положительная функция на интервале , обращающаяся в нуль вне него. Для этой вариации равенство (**) не выполняется.

Доказательство завершено.

Задача. Проверьте, что принцип Гамильтона остается справедливым, если в качестве пространства кривых, на котором определен функционал действия, взять пространство кусочно-гладких кривых.

Принцип Мопертюи-Якоби.

Пусть связи не зависят от времени и силы потенциальны. Тогда , . Будем также считать, что лагранжиан не зависит явно от времени: .

- положительно определенная квадратичная форма по скоростям. Следовательно, можно интерпретировать как Риманову метрику на конфигурационном пространстве. Соответствующий элемент длины обозначим :

Эта метрика называется кинетической метрикой.

Рассмотрим теперь движения с одним и тем же фиксированным значением полной энергии . Поскольку , то на этих движениях . Это неравенство выделяет на конфигурационном пространстве Область Возможности Движения (ОВД).

Пусть - другая Риманова метрика на ОВД:

,

Эта метрика называется метрикой Якоби. Обратим внимание на то, что вырождается в тех точках ОВД, где , например, на границе ОВД.

Замечание. Если конфигурационное многообразие компактно, и энергия движения достаточно велика ( ), то ОВД совпадает со всем конфигурационным многообразием и Якобиева метрика нигде не вырождается. Это же имеет место и в некомпактном случае, если потенциальная энергия ограничена сверху на всем конфигурационном пространстве (например точка в Ньютоновом гравитационном поле).

Выберем в ОВД любые две точки и . Рассмотрим следующий функционал на пространстве гладких кривых , лежащих в ОВД и соединяющих эти точки.

Значение функционала не зависит от параметризации кривой , т.к. оно равно длине этой кривой в метрике Якоби .

Определение. Вариацией (или вариацией по Мопертюи-Якоби) кривой называется гладкое семейство кривых таких, что

а)

б) кривая начинается в точке и заканчивается в точке .

в) Все кривые семейства лежат в ОВД

Определения вариации функционала и экстремали – те же, что и раньше.

Теорема. (Принцип Мопертюи-Якоби). Траектории уравнений Лагранжа второго рода с энергией являются экстремалями функционала и наоборот, экстремали функционала являются траекториями уравнений Лагранжа.

Замечание. Обратите внимание, что термин “траектория” предполагает, что о параметризации кривой речь не идет. Если кривые параметризовать так, чтобы энергия равнялась , то мы будем иметь решения уравнений Лагранжа.

Следствие. Траектории уравнений Лагранжа с энергией являются геодезическими метрики Якоби .

Доказательство теоремы. Пусть траектория уравнений Лагранжа с энергией . Тогда (из принципа Гамильтона) при надлежащей параметризации (т.е., при параметризации временем) , где - экстремаль функционала действия , а также и функционала

(*)

Второе слагаемое равно , где - траектория, соответствующая .

Воспользуемся следующей леммой.

Лемма. Любой путь , на котором энергия равна (тождественно) , является экстремалью функционала

Лемму докажем позже.

Из леммы следует прямое утверждение теоремы. Действительно, - экстремаль в смысле вариаций из принципа Гамильтона, т. к. и все три слагаемых имеют экстремалью. Вариаций по Мопертюи-Якоби больше, т.к. не фиксированы начальный и конечный моменты времени. Однако, не зависит от параметризации, а любую вариацию по Мопертюи-Якоби можно параметризовать так, чтобы начальная точка проходилась в момент , а конечная – в момент .

Докажем обратное утверждение теоремы. Пусть - экстремаль . Параметризуем ее так, чтобы энергия тождественно равнялась . Полученный путь обозначим . Пусть , . Пусть - вариация . Соответствующую вариацию по Мопертюи-Якоби обозначим .

Вариации функционалов и равны нулю согласно экстремальности и лемме. Остается воспользоваться формулой (*).

Доказательство теоремы завершено.

Докажем лемму. Для любой вариации имеем

так как . Доказательство леммы завершено.

Замечания о вырождениях. Если начальная и конечная точки совпадают (напр. положение равновесия), то минимальную длину в метрике Якоби имеет вырожденная кривая. Если в этой точке , то мы не можем параметризовать кривую так, чтобы достичь энергии - следовательно, принцип неприменим. Если в этой точке - то метрика Якоби вырождена, и принцип также неприменим.

Вопросы к материалу.

• Вариационные принципы.

• Функционал действия и его вариация.

• Принцип Гамильтона.

• Принцип Мопертюи-Якоби.

• Кинетическая метрика.

• Область возможности движения.

• Метрика Якоби.

• Вариация по Гамильтону и по Мопертюи-Якоби.