15 Уравнения движения систем со связями (Е.И. Кугушев - Лекции)

15-3

Лекция 15

Уравнения движения систем со связями.

Пусть - сила, действующая на -ю точку, когда связи не наложены. Чтобы система не сходила со связей , должны действовать дополнительные силы – реакции связей . Силы называются активными. Итак, уравнения движения – следующие

То, что наложение связей можно заменить действием каких-то сил является аксиомой классической Ньютоновской механики.

Аксиома освобождения от связей. Для любого действительного движения системы можно добавить некие силы – реакции связей , так, что, при отбрасывании связей, движение останется таким же.

Содержательность этой аксиомы состоит в том, что - это Ньтоновские силы, т.е. они зависят только от положения и скорости точек системы . И можно говорить, например, о работе этих сил на перемещениях и т.п.

Определение. Пусть к точкам системы приложены силы . Элементарной работой этих сил на виртуальном перемещении называется величина

Определение. Связи называются идеальными, если (для любого действительного движения системы) элементарная работа реакций связей на любом виртуальном перемещении равна нулю:

, - виртуального перемещения.

Примеры идеальных связей.

(1) Математический маятник.

(2) Твердое тело.

Из третьего закона Ньютона . Реакция приложенная к одной точке

Предложение. Пусть . Тогда связи в твердом теле идеальные.

Доказательство. Поскольку , то виртуальные перемещения определяются уравнениями

Выписываем элементарную работу реакции связей

Что и требовалось показать.

(3) Шар, катящийся без проскальзывания по шероховатой плоскости.

Связь идеальная, т.к. реакция приложена только к точке касания шара и плоскости (нижней точки). Все виртуальные перемещения для нее – нулевые. , где - виртуальное перемещение нижней точки.

В самом деле, пусть - точка касания шара и плоскости. Условие связи состоит в том, что . По определению виртуальных перемещений .

(4) Движение материальной точки по поверхности.

Виртуальные перемещения – касательные вектора к поверхности. Следовательно, связь идеальная тогда и только тогда, когда ( - нормаль к поверхности). Нормальная компонента называется нормальной реакцией, касательная – силой трения. Связь идеально тогда и только тогда, когда нет трения.

Принцип Даламбера-Лагранжа.

Утверждение. Если связи наложенные на систему идеальны, то на любом действительном движении системы для любого виртуального перемещения выполнено

(*)

Доказательство. Из аксиомы освобождения от связей получаем

Подставив это в определение идеальности связей, получим требуемое утверждение.

Принцип Даламбера –Лагранжа состоит – это аксиома говорящая, что верно не только прямое утверждение, но и обратное.

Формулировка. Если связи, наложенные на систему идеальны, то кривая является действительным движением системы тогда и только тогда, когда в любой момент времени, для любого виртуального перемещения выполнено (*).

Можно показать, что, если связи невырождены, то из (*) траектория восстанавливается однозначно, если заданы начальные условия.

Общие теоремы динамики для систем со связями.

Теорема. (Об изменении импульса.) Пусть связи, наложенные на систему, идеальны и допускают поступательное перемещение системы как твердого тела вдоль фиксированного направления . Тогда скорость изменения импульса системы в проекции на это направление равна сумме внешних активных сил в проекции на это направление.

, - сумма внешних активных сил (реакции связей и активные внутренние силы сюда не входят).

Доказательство. Условие теоремы означает, что среди виртуальных перемещений есть такие:

,

это скорости точек при поступательном движении системы вдоль оси с единичной скоростью.

с-057

Из принципа Даламбера-Лагранжа . Значит,

Замечаем, что , и, что . Доказательство завершено.

Пример. Палочка на льду.

- проекция центра масс на ось движется с постоянной скоростью. То же и для другой оси.

В частности, если в начальный момент палочка покоилась, то .

Напоминание. Кинетический момент относительно точки : Сдвигаем начало координат в , тогда

Кинетический момент относительно направленной оси , проходящей через точку : Пусть - направляющей вектор оси , тогда

Задача. Покажите, что не зависит от выбора точки на оси.

Решение.

Аналогично определяется момент сил относительно точки и оси

,

Теорема. (Об изменении кинетического момента относительно оси).

Если связи, наложенные на систему, идеальны и допускают поворот всей системы как твердого тела вокруг оси , то скорость изменения кинетического момента относительно этой оси равна моменту внешних активных сил относительно этой оси.

,

Следствие. Если связи допускают поворот всей системы как твердого тела вокруг точки , то скорость изменения кинетического момента относительно этой точки равна моменту внешних активных сил относительно этой точки.

Доказательство теоремы. По условию теоремы среди виртуальных перемещений есть такие:

, ,

это скорости точек при повороте системы вокруг оси с единичной угловой скоростью. Подставляем это виртуальное перемещение в принцип Даламбера-Лагранжа

Замечаем, что

Значит

Кроме того, для внутренних сил , поэтому

Значит

Это и доказывает теорему.

Пример. Физический маятник.

Задача. Доказать, что

а) . б) , где - некий коэффициент.

Вопросы к материалу.

• Реакции связей.

• Аксиома освобождения от связей.

• Элементарная работа.

• Идеальные связи.

• Идеальность связей математического маятника.

• Идеальность связей твердого тела.

• Идеальность связей качения без проскальзывания.

• Идеальность движения точки по поверхности.

• Принцип Даламбера-Лагранжа.

• Общие теоремы динамики для систем со связями.

• Теорема об изменении импульса.

• Кинетический момент относительно точки и оси.

• Теорема об изменении кинетического момента.