11 Как вычислить функции r(t) и фи(t) (Е.И. Кугушев - Лекции)

11-3

Лекция 11

Как вычислить функции и .

Вспоминаем, что .

Из интеграла энергии получаем квадратуры

Интеграл берется с помощью замены (Объяснить!!!)

, ,

Уравнение для называется уравнением Кеплера.

- эксцентрическая аномалия

- средняя аномалия

Геометрический смысл эксцентрической аномалии изображен на рисунке. Это угол поворота радиус-вектора, соединяющего центр эллипса и точку отсчитываемый от перицентра .

Задача. Доказать это.

Решение. !!!

- истинная аномалия

Задача. Доказать, что

Решение. !!!

Движение точки в произвольном центральном поле.

Задача. Доказать, что гладкое центральное поле потенциально.

Решение. !!!

Пусть потенциал центрального поля сил имеет вид . Поскольку сила центральная, то, как мы уже доказали, орбиты плоские. В полярных координатах имеем следующие уравнения движения

Из второго уравнения следует интеграл площадей . Воспользовавшись этим и доказанной леммой о том, что , первое равенство переписываем в виде

Рассмотрим сначала движение в обратных единицах. Полагая , , получаем и

Это уравнение движения точки по прямой с потенциалом . Фазовые кривые – это уровни интеграла энергии. В потенциальной яме это замкнутые кривые, т.е. совершает периодические движения от одного края ямы к другому.

Вернемся к исходным координатам. Интеграл энергии или

(*)

Члены, в которые не входит скорость составляют эффективный потенциал:

Индекс в наименовании отражает то, что потенциал отвечает заданному значению константы интеграла площадей.

Область возможности движения (ОВД) на плоскости определяется так:

На плоскости - это некий набор колец .

Решение сводится к квадратурам. Сначала находим , интегрируя (*), а затем из интеграла площадей.

Как устроены орбиты. Обозначим . Из интеграла площадей получаем . Перепишем (*): или

Интегрируя, например, по положительной ветви, получаем

Пусть ОВД содержит отрезок в качестве компоненты связности, и , (т.е. невырожденное кольцо). Тогда

и при

Траектория совершает периодические колебания от до . За одно колебание угол изменится на величину

- она называется апсидальный угол.

Если соизмерим с (т.е., ), то траектория периодическая. Иначе – заполняет кольцо всюду плотно.

Вопрос. Чему равен апсидальный угол в задаче Кеплера.

Ответ. Поскольку орбита замкнута на одном обороте, то . (знак определяется знаком константы интеграла площадей )

Теорема. (Бертран) В центральном поле сил все ограниченные орбиты замкнуты тогда и только тогда, когда потенциал либо гравитационный ( ), либо упругий ( ).

Доказательство. Без доказательства.

Задача. Решить уравнения движения точки в поле сил с потенциалом .

Указание. Удобнее действовать в декартовой системекоординат.

Сведение задачи двух тел к задаче Кеплера.

Задача двух тел – это задача о движении двух гравитирующих точек. Силы потенциальны

Это можно проверить непосредственным дифференцированием. Например, сила действующая на первую точку

Но

Поэтому

Значит

Что и требовалось показать.

Уравнения движения

,

Делим на массы и вычитаем второе из первого. Получаем

Полагая , , получаем уравнение задачи Кеплера.

Сумма всех сил в системе равна нулю (система замкнута) следовательно, центр масс движется равномерно и прямолинейно. (Напомним, что это – следствие теоремы об изменении импульса системы точек.)

Эти соображения позволяют полностью получить решение задачи двух тел.

Задача. Показать, что в инерциальной системе с началом в центре тяжести

а) Точки движутся в одной плоскости.

б) каждая точка движется так, как будто другой точки нет, и она притягивается к началу координат, в котором сосредоточена масса равная суммарной массе обоих тел. (Проверить!!!)

Решение.

а) Кинетический момент в приведенной задаче Кеплера лежит в неподвижной плоскости. Центр тяжести лежит на отрезке, соединяющем точки. Это и доказывает утверждение.

б) Решить!!!

Начальные сведения о задаче n тел.

Это задача о движении материальных точек, взаимодействующих по гравитационному закону.

Уравнения движения

,

Первые интегралы (система замкнутая)

1. Импульс: . Выбором инерциальной системы координат с началом в центре тя можно сделать эту постоянную равной нулю.

2. Кинетический момент: .

3. Энергия: ,

Определение. Движение в задаче тел называется устойчивым, если ,

а) (нет столкновений)

б) , где - общая постоянная для всех . (точки не разбегаются далеко друг от друга).

Теорема. (Якоби) Если движение устойчиво, то полная энергия - отрицательна в системе координат, в которой центр масс покоится.

Доказательство. Продифференцируем момент инерции

,

Второе слагаемое равно

Функция однородная по , степень однородности равна , поэтому по теореме Эйлера об однородных функциях это выражение равно .

Итак, .

Пусть . Тогда, в силу положительности имеем: .

Таким образом, - выпуклая функция и, следовательно, не может быть ограниченной на .

Задача. Доказать это.

Указание. Дать!!!

Остается воспользоваться Тождеством Лагранжа

Доказательство теоремы Якоби завершено.

Докажем формулу Лагранжа.

Отсюда все следует.

Вопросы к материалу.

• Квадратуры в задаче Кеплера.

• Уравнение Кеплера. Эксцентрическая аномалия.

• Истинная аномалия и ее связь с эксцентрической аномалией.

• Движение в центральном поле сил. ОВД. Сведение к квадратурам.

• Апсидальный угол.

• Теорема Бертрана.

• Сведение задачи двух тел к задаче Кеплера.

• Задача тел. Первые интегралы. Устойчивость. Теорема Якоби.