1 О предмете классической механики (Е.И. Кугушев - Лекции)

1-3

Классическая механика.

Кафедра теоретической механики и мехатроники

2004-2005 г.

Литература:

• В.И. Арнольд Математические методы классической механики.

• Е.Н. Березкин Курс теоретической механики.

• В.Г. Вильке Теоретическая механика.

• Ю.Ф. Голубев Основы теоретической механики.

• А.П. Маркеев Теоретическая механика.

• Я.В. Татаринов Лекции по классической динамике.

О предмете классической механики.

Мы будем изучать классическую динамику систем с конечным числом степеней свободы.

Классическая – значит не квантовая и не релятивистская.

Динамика – значит, мы изучаем движение системы и его свойства.

Конечное число степеней свободы – значит положение системы задается конечным числом числовых параметров. Альтернативой здесь является механика сплошной среды (т.е. механика систем с бесконечным числом степеней свободы).

Механика – наука о моделях и их свойствах – в указанных рамках.

Кинематика.

В классической механике принято выделять в отдельный раздел Кинематику – науку о геометрии движения. О том, как система (модель) может в принципе двигаться. Кинематика изучает движение вне зависимости от причин его вызывающих. Можно считать, что кинематика – это дифференциальная геометрия объектов в трехмерном евклидовом пространстве.

В классической механике считается, что имеется абсолютное пространство и абсолютное время. Это – модель, верная лишь приближенно.

Пространство – это евклидово трехмерное пространство , которое является предметом изучения аналитической геометрии. “Евклидово” – значит наделенное скалярным произведением.

Система отсчета – это ортонормировнааный репер

Ориентация – для определенности в механике обычно принято использовать правые системы отсчета. В такой системе которых из конца вектора поворот от к происходит против часовой стрелки.

Векторное произведение.

Ориентация пространства влияет только на знак векторного произведения

, где (1) , (2) , (3) репер - правый – выполнено правило буравчика. В координатной записи

,

Свойства векторного произведения.

а) Билинейность: , и

б) Кососимметричность:

в) Тождество Якоби:

Задача. Проверьте тождество Якоби для векторного произведения.

Замечание. Между прочим, линейное пространство (не обязательно трехмерное, и даже не обязательно конечномерное), в котором определена бинарная операция со свойствами а), б), в), называется алгеброй Ли.

Абсолютное время

Движение системы рассматривается в абсолютном времени , т.е. параметризуется этим параметром, который называется абсолютным временем.

Производную по времени обычно обозначают точкой .

Движение точки.

Первая механическая система, которую мы рассмотрим – это материальная точка в трехмерном пространстве . Формально движение точки – это непрерывное отображение интервала времени I в .

,

Если положение точки задано радиус-вектором , то движение задается функцией . В координатах .

Определение (Def.) Образ называется траекторией движения.

Def. - скорость точки, - ускорение точки.

В координатах

,

Заметим, что здесь существенно используется неподвижность координатного репера .

Если , то в соответствующей точке определена касательная к траектории. Иначе, точка траектории является особой.

Задача. Предложите такое движение, чтобы у траектории все точки были особые.

Ответ.

Примеры

1. Прямолинейное равномерное движение.

, , , .

2. Математический бильярд в области (бильярд Биркгофа)

Внутри области движение прямолинейное равномерное, а отскок от границы происходит по закону “угол падения равен углу отражения” с сохранением модуля скорости.

Пусть - единичная внутренняя нормаль к границе в точке удара обозначим , где - скорость до удара, - скорость после удара.

Задача. Показать, что .

Задача. Привести пример биллиарда и движения, у которого будет бесконечное число особых точек (ударов) на конечном интервале времени.

3. Движение точки по окружности в плоскости .

Окружность параметризуем центральным углом

, ,

Движение точки задается функцией .

Если , то говорят, что точка совершает равномерное движение по окружности.

Предупреждение. Не следует величину называть угловой скоростью точки. Понятие угловой скорости связано с движением тела и будет дано позже. Лучше говорить о скорости изменения угловой координаты при движении точки по окружности.

Вычислим скорость:

, ,

, где - единичный касательный вектор к окружности.

Вычислим ускорение:

, ,

, где - внутренняя нормаль к окружности.

Величина - это проекция скорости на положительно ориентированную касательную (длина вектора скорости со знаком). Тогда

,

Слагаемое называется нормальным ускорением (или центростремительным. Слагаемое называется касательным ускорением.

4. Циклоидальное движение

Задача. Циклоида – это траектория точки обода колеса, катящегося по прямой без проскальзывания.

Имеем , поэтому

, ,

Значит

при , и при ,

Дифференцируя по времени, получаем

, ,

При имеем . Т.е. нижние точки циклоиды – особые. В верхних точках значит .

Вычислим ускорения

, ,

При имеем . Т.е. в нижней точке ускорение направлено вверх.

Рассмотрим циклоиду в окрестности нижней точки , т.е. при малых . Разлагая в ряд до первых значащих членов, получаем

,

Заметим, что и . Отсюда

Отсюда можно доказать, что особенность имеет вид

Это задача на дом

Решение. Выносим за скобки, тогда

Отсюда

Вопросы к материалу.

• Предмет классической механики

• Кинематика.

• Абсолютное пространство, система отсчета.

• Траектория, скорость, ускорение точки в пространстве.

• Прямолинейное равномерное движение.

• Бильярд в области на плоскости.

• Движение точки по окружности.

• Циклоидальное движение.