05_3_критерии согласия (Лекции), страница 2

k - число степеней свободы; k = s - 1 - r ; s - число групп (s = 5);

r - число параметров распределения, оцениваемых по выборке ( r = 1).

Находим ²_кр(0,05 ; 5-1-1) = ²_кр(0,05 ; 3) = 7,8 .

Так как ²_набл =4,9501 меньше ²_кр = 7,8

то гипотезу о показательном распределении следует принимать.

Пример 2

Задана выборка , полученная для дискретной случайной величины X.

	x i	0	1	2	3	4	5
	n i	355	186	59	22	8	3

Используя критерий Пирсона проверить гипотезу о том, что случайная величина подчиняется распределению Пуассона ( уровень значимости  = 0.05) .

Н

5

еобходимо по формуле Пуассона подсчитать вероятности каждого из значений x _{i ,} затем теоретические частоты n^ _i , и сравнить их с n _i по критерию Пирсона.

В пуассоновском распределении вероятности каждого из возможных значений подсчитываются по формуле Пуассона :

( 2 )

Входящий сюда параметр a совпадает с математическим ожиданием . Поэтому его можно оценить по выборке как выборочную среднюю :

Объем выборки равен 633.

Итак, формулируем гипотезу о виде закона распределения:

H ₀ : случайная величина распределена по закону Пуассона с параметром a = 0,6588 .

Находим по формуле Пуассона вероятности p _i каждого из значений x _{i ,} по ним теоретические частоты n^ _i = p _i  n. Результаты заносим в таблицу:

	x i	0	1	2	3	4	5
	n i	355	186	59	22	8	3
	p i	0,5175	0,3409	0,1123	0,0247	0,0041	0,0005
	n  i	327,58	215,79	71,09	15,64	2,60	0,32

Объединяем малочисленные группы : три последних группы объединяем в одну.

	n i	355	186	59	33
	n  i	327,58	215,79	71,09	18,56

Подставляем частоты в формулу критерия Пирсона и находим наблюдаемое значение критерия

По таблицам критических точек критерия ² находим ²_кр( k)

 = 0,05 - уровень значимости;

k - число степеней свободы: k = s - 1 - r ; s - число групп (s = 4) ;

r - число параметров распределения, оцениваемых по выборке ( r = 1).

Находим ²_кр(0,05 ; 4-1-1) = ²_кр(0,05 ; 2) = 6,0 .

Так как ²_набл = 17,64 больше ²_кр = 6,0 то

гипотезу о распределении Пуассона следует отвергнуть.

6

1. КРИТЕРИЙ КОЛМОГОРОВА .

В критерии Пирсона сравниваются теоретические и экспериментальные ряд распределения (для дискретной случайной величины) или плотность распределения (для непрерывной случайной величины).

В критерии Колмогорова сравниваются функции распределения, теоретическая F(x) и эмпирическая (статистическая) F^(x) . Если они отклоняются друг от друга незначительно, то гипотезу о виде закона распределения принимаем; если отклонение значительное, то гипотезу отвергаем.

Замечание : при пользовании критерием Колмогорова параметры распределения не оцениваются по выборке, а предполагаются уже известными величинами.

По имеющейся выборке ( x ₁ , x ₂ , x ₃ , . . . x _n ) строится эмпирическая функция распределения F^(x) . Вы знаете, что в точках x _i она имеет скачок , равный относительной частоте w _i . Т. е., в каждой экспериментальной точке x _i следует брать два значения - предел слева F^(x_i - 0) и предел справа F^(x_i + 0).

В этих же экспериментальных точках x _i подсчитывается значение теоретической функции распределения F( x _i ) по предполагаемой формуле. Понятно, что теоретические и эмпирические значения не совпадают. Если они различаются незначительно, то гипотезу о предполагаемом законе распределения следует принять. Если различие значительно, то гипотезу надо отвергать. В критерии Колмогорова величина, характеризующая различие между F^(x) и F(x) - это наибольшая из разностей

 _i =  F^(x _i) - F(x _i) 

Наибольшая из этих разностей как раз и служит мерой отклонения между двумя функциями . Если она не превосходит критического значения _{, n} ( ,n) , определяемого по специальным таблицам , то гипотеза принимается. Если превосходит, то отвергается.

7

Пример 3.

Задана выборка.

0,45

2,51

1,64

3,35

0,54

3,90

1,36

2,65

1,32

3,06

Используя критерий Колмогорова, проверить гипотезу о том, что это выборка из предлагаемого распределения.

H ₀ : равномерное распределение на интервале (0 ; 4)

1. Найдем эмпирическую функцию распределения F^(x) .

Для этого сначала запишем вариационный ряд :

0,45

0,54

1,32

1,36

1,64

2,51

2,65

3,06

3,35

3,90

Данные не повторяются, поэтому относительная частота каждого из них равна 1/n .

Объем выборки равен 10, значит w _i = 0,1 . Так как эмпирическая функция распределения накапливает относительные частоты, то каждый раз при переходе через очередную экспериментальную точку она будет увеличивать на 0,1 .При этом в самой экспериментальной точке она разрывна, происходит скачок на 0,1.

Значение функции в точке разрыва совпадает с пределом слева. Занесем в таблицу значения F^(x_i) причем будем записывать значения справа и слева от экспериментальной точки, т.е. F^(x_i-0) и F^(x_i+0) .

1. Запишем теоретическую функцию распределения F(x) .

Для равномерного распределения она хорошо известна :

( Если задана плотность распределения f(x) то сначала нужно найти функцию распределения по известной формуле .)

Подсчитаем функцию распределения в экспериментальных точках, т.е., F(x _i).

Результаты занесем в таблицу.

8

x i	0,45	0,54	1,32	1,36	1,64	2,51	2,65	3,06	3,35	3,90
F(xi)	0,1125	0,1350	0,3300	0,3400	0,4100	0,6275	0,6625	0,7650	0,8375	0,9750
F(xi-0)	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
F(xi+0)	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
i	0,1125	0,0650	0,1300	0,0600	0,0900	0,1275	0,0625	0,0650	0,0625	0,0750

Для каждого x_i подсчитываем разность между значением теоретической функции распределения F(x_i) и значениями эмпирической функции распределения справа и слева от экспериментальной точки, т.е. F^(x_i-0) и F^(x_i+0) . Из этих разностей выбираем большую по модулю _i и записываем ее в последний ряд таблицы. Затем выбираем наибольшее из чисел _i в последней строке, т.е., находим _i^max = 0,1300 . Этим числом и измеряется отклонение.

Теперь по таблицам критерия Колмогорова находим для n =10 и  = 0,05

значение  _{ , n} = 0,40925 .

Так как отклонение _i^max = 0,1300 меньше критического  _{ , n} = 0,40925 ,

то гипотезу о том, что это выборка именно из предполагаемого равномерного распределения, следует принимать.