04_3 Стат оценка Метод моментов (Лекции)
Описание файла
Файл "04_3 Стат оценка Метод моментов" внутри архива находится в следующих папках: Лекции, Матстат 2 конспект. Документ из архива "Лекции", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "04_3 Стат оценка Метод моментов"
Текст из документа "04_3 Стат оценка Метод моментов"
§4. Статистическая оценка параметров распределения
Общие принципы
2. У любой случайной величины есть числовые характеристики:
-
математическое ожидание, мода, медиана ;
-
дисперсия, среднеквадратическое отклонение и т. д..
Их мы тоже можем определить по опытным данным и тоже только приблизительно. Числа, которые мы подсчитаем по опытным данным и возьмем вместо математического ожидания, дисперсии и т.д., называют точечными оценками параметров распределения.
Задача 1.
4
Задана выборка, полученная для дискретной случайной величины X :
| 5 | 4 | 7 | 2 | 4 | 7 | 7 | 3 | 4 | 1 | 1 | 2 | 5 | 3 | 2 | |
| 6 | 5 | 1 | 7 | 4 | 6 | 3 | 2 | 2 | 5 | 6 | 5 | 3 | 2 | 5 |
Обработав ее, построить:
-
Вариационный ряд.
-
Статистическое распределение выборки в частотах и относительных частотах.
-
Полигон частот.
-
Числовые характеристики выборки.
-
Найти точечные оценки параметров распределения.
1). В представленной выборке опытные данные записаны в порядке их получения.
Это - простой статистический ряд .
В выборке 30 опытных данных, т.е., объем выборки n = 30.
Вариационный ряд - это опытные данные, записанные в порядке возрастания:
| 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | |
| 4 | 4 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 6 | 6 | 6 | 7 | 7 | 7 | 7 |
-
Группируем опытные данные по повторяемости.
В таблицу заносим варианты x i (первая строка) и их частоты n i , т.е. число повторений (вторая строка) . Подсчитаем и занесем в ту же таблицу относительные частоты : w i = n i / n = n i / 30 .
| x i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
| n i | 3 | 6 | 4 | 4 | 6 | 3 | 4 | |
| w i | 0,1 | 0,2 | 0,1333 | 0,1333 | 0,2 | 0,1 | 0,1333 |
Это и есть статистическое распределение выборки в частотах и относительных частотах. Так как относительные частоты w i - это найденные опытным путем вероятности p i , то записанная таблица дает представление о ряде распределения.
-
Строим полигон частот. По оси абсцисс откладываем x i , по оси ординат n i .
-
Н
5
аходим числовые характеристики выборки:
Выборочная средняя 
.
Статистическая мода m o - варианта с наибольшей частотой. Здесь их две:
(m o)1 = 2, (m o)2 = 5 .
Статистическая медиана m e - варианта стоящая посередине вариационного ряда.
Так как число вариант равно 30, берем среднее между 15 и 16 вариантами :
m e = 4.
Статистические дисперсия Dв и среднеквадратическое отклонение в (характеризует разброс данных в выборке):
Удобнее пользоваться вспомогательной формулой :
-
Точечные оценки параметров распределения :
Найденные числовые характеристики выборки используем для оценки параметров распределения.
Статистической оценкой для математического ожидания служит выборочная средняя:
Статистической оценкой для дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия:
Статистической оценкой для среднеквадратического отклонения служит исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение:
Задача 2.
6
Задана выборка, полученная для непрерывной случайной величины :
| 3,65 | 0,42 | -2,89 | 4,53 | 6,11 | 0,33 | -0,18 | 2,24 | 9,48 | 3,68 | |
| -1,24 | 0,44 | 1,59 | 3,91 | -0,12 | 4,57 | 1,17 | 3,96 | 8,42 | 3,97 | |
| 5,59 | 2,43 | -0,35 | 2,12 | 4,65 | 1,92 | 5,44 | 1,11 | 4,93 | 1,75 |
Обработав ее, построить:
-
Вариационный ряд.
-
Выполнить интервальную группировку данных.
-
Построить гистограмму относительных частот.
-
Найти числовые характеристики выборки.
-
Найти точечные оценки параметров распределения.
Имеем 30 опытных данных, т.е., объем выборки n = 30.
-
Строим вариационный ряд, т.е. располагаем данные в порядке возрастания:
| -2,89 | -1,24 | -0,35 | -0,18 | -0,12 | 0,33 | 0,42 | 0,44 | 1,11 | 1,17 | |
| 1,59 | 1,75 | 1,92 | 2,12 | 2,24 | 2,43 | 3,65 | 3,68 | 3,91 | 3,96 | |
| 3,97 | 4,53 | 4,57 | 4,65 | 4,93 | 5,44 | 5,59 | 6,11 | 8,42 | 9,48 |
-
Выполняем интервальную группировку данных. Для этого разбиваем интервал от x min = -2,89 до x max =9,51 на элементарные интервалы. Число этих интервалов принимается равным:
k 1 + ln n = 1 + ln 30 = 4,4
Принимаем k = 5 . Тогда длина каждого элементарного интервала:
Округляем до x = 2,5 и первый интервал начнем с точки (-3) . Записываем в таблицу эти элементарные интервалы и для каждого из них частоту n i попадания в него ( количество опытных данных, попавших в каждый интервал). Сюда же занесем относительные частоты : w i = n i / n = n i / 30 . Оформляем таблицу, оставляя в ней еще две пустые строки сверху и снизу:
| (x i ;x i+1) | (-3,0; -0,5) | (-0,5; 2,0) | (2,0; 4,5) | (4,5; 7,0) | (7,0; 9,5) | |
| n i | 2 | 11 | 8 | 7 | 2 | |
| w i | 0,0667 | 0,3667 | 0,2667 | 0,2333 | 0,0667 | |
-
С
7
троим гистограмму относительных частот.
Для этого на каждом элементарном интервале строим прямоугольник, по площади равный относительной частоте попадания в интервал.
Высоты этих прямоугольников равны: 
.
Заносим результаты в таблицу в нижний ряд:
| (x i ;x i+1) | (-3,0; -0,5) | (-0,5; 2,0) | (2,0; 4,5) | (4,5; 7,0) | (7,0; 9,5) | |
| n i | 2 | 11 | 8 | 7 | 2 | |
| w i | 0,0667 | 0,3667 | 0,2667 | 0,2333 | 0,0667 | |
| h i | 0,0267 | 0,1467 | 0,1067 | 0,0933 | 0,0267 |
Строим гистограмму:
