03_Числовые характеристики выборки (Лекции)

§3. Числовые характеристики выборки

1. Выборочная средняя - это среднее арифметическое всех опытных значений.

(6)

для повторяющихся значений

Статистическая мода для повторяющихся данных - это варианта с наибольшей частотой, для неповторяющихся данных – середина интервала с наибольшей частотой.

Статистическая медиана - варианта, стоящая посредине вариационного ряда (по числу вариант).

Статистическая или выборная дисперсия D_в:

(7)

для повторяющихся данных

Статистическое или выборочное среднеквадратичное отклонение:

(8)

(9)

среднее квадратов минус квадрат среднего

(10)

D_в, σ_в характеризуют разброс данных выборки.

1. Статистические моменты : начальные и центральные.

Начальные моменты к-го поряка – это среднее значение к-тых степеней.

(11)

Центральные моменты к-го порядка – это среднее значение отклонений в к-тых степенях.

(12)

(13) (14)

Другие характеристики:

(15) – размах варьирования

(16) – коэффициент вариации

При изучении теории вероятностей мы рассмотрели два различных типа случайностей: случайные события и случайные величины.

Выяснили, что во многих случаях можно теоретическим путем рассчитывать вероятности случайных событий (классическое определение вероятности). В то же время существуют ситуации (и таких, вообще говоря, гораздо больше), когда классическое определение применить невозможно. Тогда единственным путем для определения вероятности случайных событий остается эксперимент, наблюдения.

При изучении случайных величин оказалось, что мы можем прогнозировать их поведение, предсказывать вероятности попаданий случайных величин в любые интересующие нас интервалы, если только нам известен закон распределения. При этом во многих случаях теория может предсказать, с каким законом распределения мы имеем дело в данной конкретной ситуации. А как быть в тех случаях, когда о характере закона распределения мы ничего сказать не можем? Единственный выход – проведение эксперимента, наблюдений над случайной величиной и построение закона распределения по результатам этих наблюдений.

Замечание: О содержании понятия опыт, эксперимент.

В инженерных науках, в технике, в физике и т. д. это специально создаваемые исследователем условия для появления интересующего нас явления, для измерений интересующей нас величины. Такой эксперимент (опыт) называют активным экспериментом.

В экономике, в социологии и в ряде других наук гораздо чаще приходится добывать интересующую нас информацию, не вмешиваясь активно в условия, а только наблюдая происходящие независимо от исследователя явления. Это иногда называют пассивными экспериментом. Здесь правильнее использовать термин «наблюдение».

Что касается определения вероятностей случайных событий опытным путем, то это вопрос уже нами обсуждался, причем в самом начале курса теории вероятностей (см. статистическое определение вероятности ). Вероятность оценивается по данным наблюдений с помощью относительной частоты появления события A:

( 1 )

Здесь знаменатель N – число опытов (проведенных наблюдений);

числитель M – число наблюдений, в которых событие появилось.

Подсчитанное таким образом число, это приблизительное значение вероятности, оценка для вероятности. Чем больше проведено наблюдений, тем ближе относительная частота к истинному значению вероятности.

Что же касается закона распределения, то его построение по результатам наблюдений требует проведения специальной последовательности действий и специально анализа.

Предметом математической статистики является разработка методов отбора, обработки и анализа опытных данных для получения информации о случайных величинах и их взаимосвязи.

Основные задачи математической статистики.

1. Построение закона распределения по опытным данным.

2. Статистическая оценка параметров распределения.

3. Статистическая проверка статистических гипотез.

4. Определение взаимосвязи между случайными величинами статистическим путем.

5. И т.д.

Математическая статистика решает также многие другие задачи, но они уже выходят за пределы нашего курса.

При разработке методов и формул математической статистики непосредственно используют результаты из теории вероятностей. В то же время информация, полученная путем статистического анализа, служит исходной базой для вероятностных расчетов. Так что эти два раздела математики очень тесно взаимосвязаны и переплетены между собой, они составляют неразрывное целое.

В то же время, многие разделы статистики, связанные в первую очередь с практическим применением, исторически создавались параллельно, а иногда и независимо от теории вероятности. Поэтому здесь сложилась своя терминология, которая иногда немного отличается от той, которая использовалась в теории вероятностей. Те же самые понятия здесь часто получали другое название, поэтому в учебниках по математической статистике, особенно написанных людьми, которые занимаются исключительно практическими задачами, можно обнаружить много новых параллельных названий для уже известных из теории вероятностей понятий.