Распределения, связанные с нормальным

1. распределение Х² (хи-квадрат)

2. распределение Стьюдента

3. распределение Фишера

I.

В распределении один параметр k – число степеней свободы

- т.н. гамма – функция

для целых К

f(x)

k=1

0.5 k=2

k=6

0.1

0 2 4 6 8 10 x

Числовые характеристики:

M_x =k

D_x = 2/k

M₀ = k-2 при

S =

E = 3+

При к→∞ распределение медленно приближается к нормальному.

Связь с нормальным распределением

1.Z_i – стандартные нормальные с.в.

с.в. имеет распределение Х² с числом степеней свободы k=n.

2. Пусть х₁,х₂…х_n – одинаково распределенные норм.величины с m_i=a, σ_i=σ и . Тогда

k=n-1

П. Распределение Стьюдента (Госсета)

С.в. Т

В распределении один параметр К – число степеней свободы:

f(x)

z

T(k=3)

x

m_x=m_e=m₀=0

при k>2

S_x=0

E_x=0

При k→∞ распределение быстро приближается к нормальному, при k>30 уже можно пользоваться формулами нормального закона.

Связь с нормальным распределением.

1. Пусть х₁, х₂…х_n - независимые, нормальные, одинаково распределенные. m_x=a, σ_x=σ

Тогда

1. Пусть х₁, х₂…х_n -- независимые, нормальные, одинаково распределенные с параметрами a_x, σ.

y₁, y₂…y_n -- независимые, нормальные, одинаково распределенные с параметрами a_y, σ.

Тогда

K=m+n-2

III. Распределение Фишера.

С.в. F

В распределении два параметра к₁ и к₂ – числа степеней свободы.

При к →∞ стремится к нормальному. (к_1,2>30)

Связь с нормальным распределением.

х₁, х₂…х_n -- независимые, нормальные с параметрами a_x, σ_х.

y₁, y₂…y_n -- независимые, нормальные с параметрами a_y, σ_y.

Тогда