Центральная предельная теорема.

Пусть имеется с.в. Х₁ со своим законом распределения и с.в. Х₂, закон распределения которой тоже известен. Есть формулы которые позволяют закон распределения суммы. Он будет отличатся от законов распределения слагаемых. Например, если складываются два равномерных распределения:

то закон распределения суммы выглядит так:

Доказано, что, если складывается два нормальных распределения, то закон распределения суммы будет нормальным.

Все формулировки центральной пред. теоремы говорят о том, что если число слагаемых увеличивается, то закон распределения суммы приближается к нормальному закону. При n→∞ f(y)→нормальному закону.

Простейшая формулировка: пусть с.в. Y представляет собой сумму и все слагаемые x_i имеют одинаковое распределение, тогда при n→∞ закон распределения суммы стремится к нормальному.

Другие формулировки (Чебышева, Ляпунова и др.) отличаются тем, что накладываю другие ограничения на слагаемые. Они не требуют одинакового распределения, нужно, чтобы ни у одного из слагаемых дисперсия не была больше, чем у всех остальных, вместе взятых.

Например: ,

Все х_i – равномерные на (2;4).

Найти Р(100<Y<50).

По УПТ з/п-н распределения можно приблизительно считать нормальным.

Р(100<Y<50)=

M[y] = M[ ] = = = 50*3 = 150

D[y] = D[ ] = = = 50* =

Р(100<Y<50)= = Ф(0) – Ф(-12,25) = 0+ 0,5 =0,5

Рекомендация: формулами норм.распределения можно пользоваться, если n 25 30

Следствие из ЦПТ – теорема Муавра-Лапласа: в биномаильном распределении при большом числе опытом вместо ф-лы Бернулли можно пользоваться ф-лами норм.распределения.

Доказательство

В биномиальном распределении рассматриваем с.в. Х – число появления соб.А в серии из N опытов. Ее можно представить в виде суммы Х=Х₁+Х₂+ ..+Х_n, где X_i – число появления события в одном опыте. По ЦПТ с возрастанием числа опытов N з/п-н распределения суммы приближается к нормальному.

Случайная величина Y представляет собой сумму

Все X_i распределены по закону Пуассона с параметром a = 0,1. Найти P(Y >12).

По центральной предельной теореме случайная величина Y распределена по нормальному закону. Найдем параметры этого нормального закона, пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии :

Все X _i распределены по закону Пуассона с параметром a = 0,1. Для распределения Пуассона математическое ожидание и дисперсия равны :

m _x = D _x = a .

Тогда m _y = 100 a = 10; D _y = 100 a = 10 . .

Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина Y попадет в заданную область, равна:

Случайная величина Y представляет собой сумму

Все X_i распределены по показательному закону с параметром  = 50.

Найти P(Y-m_y >5).

По центральной предельной теореме случайная величина Y распределена по нормальному закону. Найдем параметры этого нормального закона, пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии :

Все X _i распределены по показательному закону с параметром  = 50. Для показательного распределения математическое ожидание и дисперсия равны :

m _x = 1/; D _x = 1/² .

Тогда m _y = 100/50 = 2; D _y = 100/50² = 0,04 . .

Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина Y отклонится от своего математического ожидания больше, чем на 5 , равна: