05_Нормальное распределение (Лекции)
Описание файла
Файл "05_Нормальное распределение" внутри архива находится в следующих папках: Лекции, 03_Простейшие законы распределения. Документ из архива "Лекции", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "05_Нормальное распределение"
Текст из документа "05_Нормальное распределение"
Нормальное распределение.
I.Стандартное нормальное распределение.
Непрерывная с.в. Z с с возможными значениями (-∞;+∞) распределена по стандартному нормальному закону, если плотность распределения задана формуой:
f(Z)
C
Z
Анализ распределения.
-
с - ?
Эйлера-Пуассона
Для плотности распределения получаем формулу:
Функция Гаусса:
функция симметрична φ(-3,7)=φ(3,7)
mz=0 mz=me=m0
-
Dz - -?
Dz =1 σz=1 (5)
-
F(z) - ?
Сводится к интегралу вычисляется , это спец.ф-ия,
Эйлера-Пуассона т.н. ф-ия Лапласа
Для функции Лапласа имеются таблицы.
График функции Лапласа:
Ф(z)
1
0.5
z
0
5) Асимметрия и эксцесс:
Sz = 0
Ez = 0
6)Вер-ть попадания в заданный интервал:
P(α<z<β) = Ф(β) - Ф(α) (8)
Общий случай нормального распределения
F(x)
x
a
Cохраняя особенности графика плотности растянем его вдоль оси абсцисс в σ раз; чтобы площадь осталась равной единице, он во столько же раз должен сжаться по оси ординат, и перенесем точку симметрии из нуля в т.а. ..Получим общий случай нормальной с.в. Х
(
Х = σ*z+a
9) (10)Анализ распределения
-
f(x) - ?
(11)
f(x)
x
a
2)mx - ?
M[x] = M[σ*z+a] =σ*mz+a = a
Mx = m0 = me = a (12)
3)Dx - ?
D[x] = D[σ*z+a] = σ*Dz +0 = σ2
Dx =σ2
(13)
σx =σ
(14)
Замечание: в ф-ле плотности нормального распределения два параметра а и σ. а совпадает с мат.ожиданием, а σ – со среднеквадратическим отклонением.
4
Sx = 0
)
Ex = 0
-
F(x) - ?
Получаем из стандартного нормального распределения заменой z по формуле (10)
Например: Нормальная с.в. имеет mx=3 и Dx=16.
-
записать формулы F(x) и f(x);
-
найти P(2<x<5);
mx=3=a
-
Вероятность отклонения от математического ожидания:
δ=σ P(|x-a|<σ)=2Φ(1)=0.6826
δ=2σ P(|x-a|<2σ)=2Φ(2)=0.9546
δ=3σ P(|x-a|<3σ)=3Φ(3)=0.9973
Замечание: хотя теоретически возможные значения распределены на всей числовой оси от -∞ до +∞, практически все возможные значения сосредоточены недалеко от mx. Вер-ть того, что с.в. выйдет за пределы интервала (a-3σ; a+3σ) равна 0,0026, т.е. ≈ 0. В статистике это наз-ся правилом трех сигм
Найти вероятность попадания случайной величины X в заданный интервал (;), если она распределена по указанному закону:
а) равномерное распределение на интервале (a;b);
-
показательное распределение с математическим ожиданием, равным b;
-
нормальное распределение с математическим ожиданием, равным a и среднеквадратическим отклонением, равным .
Для каждого из записанных распределений известны формулы, позволяющие подсчитывать вероятность попадания в заданный интервал :
Равномерное на промежутке (a;b):
при условии, что (;) целиком лежит внутри (a;b)
Показательное с параметром :
Нормальное с параметрами a, :
Пользуясь этими формулами, находим:
Равномерное на интервале (5;10):
здесь интервал (3;7) не лежит целиком внутри (5;10);
Показательное с параметром =1/mx = 1/10:
Нормальное с параметрами a=5, =3 :
В последней формуле воспользовались таблицами значений функции Лапласа Ф(x).
.