Показательное распределение

С.в. Х распределена по показательному закону, если плотность распределения описывается формулой:

(1)

f(x)

c c=λ

x

Все возможные значения с.в. 0. В распределении один параметр λ, который можно менять.

Подробный анализ распределения

1. с - ?

С = λ

(2)

1. m_x - ?

M_x =

m_x=

1. m₀ = 0

2. D_x - ?

D_x=M[x²]-m_x²

M[x²]=

D_x=

D_x=

_σx=

1. F(x) - ?

F(x)=

: F(x)=0

: F(x)=

(3)

f (x)

1

x

1. P(α<X<β) - ?

α,β>0 : P(α<X<β) =[1-e^-λβ]-[1-e^-λα] - e^-λα - e^-λβ

P(α<X<β) = e^-λα - e^-λβ

(4)

M₀=0 D_x= _σx=

(5)

Применение:

1. в задачах расчета надежности системы

2. в задачах, вязанных с потоками событий (см. распределение Пуассона).

1. Надежность системы - это вероятность ее безотказной работы в течение заданного времени. Она зависит от того, какое время рассматривается – час или год.

Рассмотрим с.в. Т – время безотказной работы системы ( от начала работы до отказа). Возможны значения {T₆ (0;+ )}. Непрерывная с.в. ф-цей надежности R(t) наз-ся ф-ия, значения кот. Равны вер-ти того, что время Т безотказной работы системы окажется больше, чем аргумент.

1. R(t) = P ( T > t )

   - надежность системы в течение времени t

Ф-ла (6) и есть зависимость надежности от времени.

R(2) – надежность системы в течение 2 часов. Ф-ция распределения для с.в. Т:

F(t) = P (T < t) = 1 - P (T < t) = 1 – R (t)

F(t) = 1 – R (t)

(7)

f(t) = F’ (t) = - R’ (t)

(8)

Если задать ф-лу для ф-ции надежности, то сразу получим и ф-цию, и плотность распределения для с.в.Т.

R(t)

1 R(0)=1

R(+ )=0

T

Естественно предположить, что ф-цию надежности можо описать показательной зависимостью:

R (t) = e ^-λt

F (t) = 1 – e ^-λt

f(t) = λ e ^-λt

(9)

(10)

(11)

Если для ф-ции надежности принять показат.зависимость (9), то с.в. Т подчиняется показат.распределению (10), (11).

Замечание: Если для ф-ции надежности R(t) взять др. выр-ние, то и з/п-н распределения для с.в. Т будет другой. В задачах на расчет надежности наряду с показат. Распределением исп-ся распределение Вейбулла.

Параметр λ в ф-лах (9), (10), (11), регулирующий скорость убывания надежности связан с мат.ожиданием:

M_t = = T_cp λ= (12)

T_cp – среднее время безотказной работы система данного типа.

Например: ср. время безотказной работы приборов данной серии = 50 ч. Найти вер-ть того, что наугад взятый прибор из этой серии:

А) проработает >100ч;

Б) откажет до истечения 10 чел.;

В) отказ произойдет в интервале от 30 до 40 ч.

Решение:

Считаем, что с.в. Т подчиняется показат.з-ну с параметром λ= . λ=

R(t) = e^-0.02t

F(t) = 1 - e^-0.02t

f(t) = 0.02* e^-0.02t

a) P (T>100) = R(100) = e^-0.02*100= e^-2=1/e²

б) P (T<10) = F(10) = 1 - e^-0.02*10= 1 - e^-0.2=

в) P (30<T>40) = e^- λ ^*30- e^- λ ^*40= e^-30/50- e^-40/50=e^-0.6- e^-0.8

Ср. время безотказной работы приборов данной серии = 20 ч. Какая вер-ть , что оба наугад взятых прибора проработают не меньше 50 ч.

соб. А₁ – 1 прибор проработает > 50 чел.

А₁ = (Т₁>50)

соб. А₂ – 2 прибор проработает > 50 чел.

А₂ = (Т₂>50)

С.в. Т₁ – время безотказной работы 1-го прибора

С.в. Т₂ – время безотказной работы 2-го прибора

С.в. разные, хотя з-ны распределения у них одинаковые. То показат. З/п-н с параметром λ.

Р(А₁)= P (T₁ >50) = R₁ (50) = e^-λ*50= e^-50.20=e^-2,5

Р(А₂)= P (T₂ >50) = R₂ (50) = e^-λ*50= e^-50.20=e^-2,5

Соб. А – оба прибора проработают >50 ч.

А= А₁* А₂ {независимые}

P(A) = Р(А₁) Р(А₂)= (e^-2,5)²= e^-5