00_Предварительные сведения (Лекции)

§1. Предварительные сведения

К моменту изучения данной темы вам уже знакомы такие понятия, как:

• случайная величина (С.В.);

• закон распределения и способы его задания;

• числовые характеристики распределений.

В зависимости от того, дискретная или непрерывная случайная величина рассматривается, закон распределения может быть задан одним из трех способов:

ряд распределения ; (только для дискретных С.В.)

функция распределения: F ( x ) = Р ( Х < х ); (для всех С.В.)

плотность распределения: f ( х ) = F  ( х ). (только для непрерывных С.В.)

Если закон распределения в той или иной форме задан, то случайная величина полностью определена и с ней можно вести любые необходимые расчеты. Можно определять различные числовые характеристики, а главное, прогнозиро­вать поведение случайной величины, предсказывать вероятность того, что она примет то или иное значение, попадет в тот или иной интервал. Для непрерывной случайной величины, например, мы можем это сделать по известным формулам:

Р

( 1 )

Но все это можно вычислять, если закон распределения уже известен. При этом до сих пор ничего не говорилось о том, откуда его взять.

Для получения конкретного закона распределения есть два пути: теория и эксперимент. Если о характере поведения случайной величины, с которой приходится работать, ничего неизвестно, то для отыскания закона распределения есть только один путь - проведение опытов с последующим анализом полученных результатов. 0 том, как путем обработки опытных данных получить ряд, функцию или плотность распределения, определить входящие в закон распределения параметры, вы узнаете, изучая соот­ветствующие разделы математической статистики.

В этом разделе мы узнаем, что существует много случаев, когда закон распределения случайной величины, с которой приходится работать, можно предсказать из теоретических соображений. Рассмотрим несколько простейших законов. Здесь мы только перечислим их названия, а в последующих параграфах познакомимся с ними подробнее.

1. Равномерное распределение.

2. Показательное распределение.

3. Биномиальное распределение.

4. Распределение Пуассона.

5. Нормальное распределение.

6. Распределения, связанные с нормальным:

• Стьюдента,

• Фишера,

•  ² ( хи – квадрат ).

Для каждого из них мы выполним следующее:

• рассмотрим способ задания закона распределения

(ряд, функцию или плотность),

• найдем числовые характеристики,

• запишем формулы для подсчета вероятностей,

• разберем важнейшие случаи, когда это распределение применяется.